Данная тема разрабатывалась на основе следующего опыта:
а) решение уравнений в базовых классах по учебнику А.Н.Колмогорова;
б) решение уравнений в базовом классе по учебнику А.Г.Мордковича;
в) решение уравнений в классе-ВУЗе по методике А.Г.Мордковича.
Работа по учебнику А.Н.Колмогорова “Алгебра и начала анализа” при решении тригонометрических уравнений показалась мне не очень удачной по нескольким причинам – это и недостаточный практический материал, и слишком краткое теоретическое обоснование; приходилось много добавлять из других источников.
УМК А.Г.Мордковича выгодно отличается по нескольким причинам – это и обилие практического материала разных уровней, что даёт возможность осуществлять дифференцированный подход, это и подробное изложение теоретического материала живым языком, это и реализация развивающей концепции математического моделирования и математического языка.
В учебнике А.Г.Мордковича “Алгебра и начала анализа” построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии.
Изучение раздела “Тригонометрия”, как и любого класса функций, уравнений, выражений, осуществляется по жесткой схеме:
функция – уравнение – преобразование.
Некоторый опыт работы по этому УМК позволяет сделать для себя следующие выводы.
Большое внимание следует уделить числовой окружности.
Учащийся, хорошо овладевший понятием “числовая окружность”, свободно работающий с ней, достаточно уверенно обращается и с тригонометрическими функциями, и с простыми тригонометрическими уравнениями, и с простыми тригонометрическими неравенствами.
Необходимо в первую очередь отработать соответствие между действительными числами и точками окружности.
Для наиболее используемых точек прорабатываются два макета числовой окружности: а) окружность поделена на 8 частей, около каждой из восьми точек записаны их “имена”; б) окружность поделена на 12 частей, около каждой из двенадцати точек записаны их “имена”.
Далее отрабатывается связь между числовой окружностью и декартовой прямоугольной системой координат, на макетах, кроме “имён точек”, появляются их декартовы координаты – опыт показывает, что это даёт лучшие результаты, чем заучивание таблиц; в практических заданиях уже идет подготовка к решению простейших тригонометрических уравнений.
По теме “Введение и отработка понятий синуса и косинуса” приведу примерную разработку первого урока:
Тема урока: Синус и косинус.
Цель урока: Ввести определение синуса и косинуса, опираясь на отработанную связь числовой окружности и координатной плоскости.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
2. Проверка домашнего задания.
Выборочно проверить решение заданий из домашней работы (№ 29-49), при проверке особое внимание обратить на проговаривание сочетаний
“абсцисса точки числовой окружности, ордината точки числовой окружности”.
Сделать вывод: можем найти декартовы координаты у нескольких точек, а как быть с остальными?
Создаём проблему, которую надо разрешить.
3. Изучение нового материала.
а) Мы путешествуем по единичной окружности и потерпели аварию в какой-то точке. Мы знаем свою координату в радианах, а у спасателей карта только с декартовыми координатами. Как быть?
Возникает потребность любой точке единичной окружности поставить в соответствие пару чисел, t —> (x,y).
Математики (как люди ленивые) придумали короткие обозначения для такого соответствия. Вводятся определения синуса и косинуса, работа с рисунками задачника.
б) Устная работа с макетами (на макетах нанесены абсциссы и ординаты точек); устно находим sint и cost в заданиях № 50-54 (в, г) и t из заданного отрезка при известных sint и cost в заданиях №65, 66 (б, г).
в) Самостоятельно: № 55 (в, г), 56 (в, г), двое работают за доской.
г) Вспоминаем знаки координат в четвертях координатной плоскости. Переходим к знакам синуса и косинуса. Делаем № 69-71 (в, г) у доски с “путешествием” по единичной окружности.
д) Самостоятельно: № 69-71 (а, б), двое работают за доской.
Итог урока:
а) Ввели определение синуса и косинуса (вспомнить!);
б) Знаем знаки синуса и косинуса в каждой четверти (вспомнить!).
Записываем домашнее задание.
И уже на следующем уроке мы решаем простейшие уравнения типа sin t =0,5, cost=-0,5 и т.д., опираясь на определения и на связь числовой окружности с координатной плоскостью.
Введение функций y = sin x, y = cos x целесообразно. В
частности, опираясь на построенные графики
функций, решаем уравнения вида sin x = x+
, cos x = x2+1 и т.д.
И при доказательстве свойств функции мы опять
используем числовую окружность!
Переходим к решению тригонометрических уравнений в общем виде. Для “хороших” углов решение находили, но решить уравнение sin x = 0,3 пока не можем.
Возникает проблемная ситуация, возникает потребность введения понятий арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Вводим понятия и делаем общий вывод о решении уравнений, не забывая частные случаи ( sin x = 0 и т.д.).
Здесь же разбираем основные методы решений тригонометрических уравнений:
а) введение новой переменной;
б) разложение на множители;
как один из примеров применения этих методов – решение однородных уравнений первой и второй степени.
При решении уравнений в “сильных” классах необходимо остановиться на объединении множеств решений при применении способа разложения на множители.
Придерживаясь основной схемы: функция – уравнение – преобразование, используя область значений функций, решаем уравнения вида sinmx+cosnx=2 (или –2), sinmxcosnx=1 (или –1).
Последовательно идет введение новых формул и применение их при решении уравнений:
а) синус и косинус суммы, разности аргументов;
б) тангенс суммы и разности аргументов;
в) формулы двойного аргумента;
г) формулы понижения степени;
д) преобразование сумм в произведение;
е) преобразование произведений в суммы;
ж) преобразование выражения Asinx+Bcosx в Csin(x+t);
6. В “сильных” классах целесообразно рассмотреть следующие случаи способа подстановки:
а) универсальная подстановка (t = tgx/2 );
б) в уравнениях вида R(sinx+cosx, sinxcosx) = 0,
t = sinx+cosx, тогда sinxcosx = (t2 – 1)/2;
7. Решение уравнений на ограниченном промежутке.
Следует подчеркнуть, что решения уравнений sinx=a или cosx=a в данном случае удобнее расписывать в виде двух серий, а не в виде общей формулы.
8. В “сильных” классах целесообразно
рассмотреть комбинированные уравнения, типа x+sin x/3=1, 2cos x/6+3=2x (график,
подбор корня, обоснование единственности).
При изучении тригонометрических уравнений можно применять различные формы деятельности; проверка знаний осуществляется с помощью самостоятельных работ, зачетов, контрольных работ. Богатый материал для этого есть в УМК А.Г.Мордковича.
Одна из форм проверки знаний – игра Брейн-ринг.
По приведённому ниже сценарию можно провести итоговый урок по теме “Тригонометрические функции и тригонометрические уравнения”.
Сценарий игры “Брейн-ринг”
В классе 4 команды по 6 человек.
Игра проходит в два тура, игроки по жребию определяют соперников в первом туре.
Ведущий (возможно, сам учитель), двое наблюдающих за столами.
“Зелёный” и “красный” столы определяются цветом воздушного шарика и цветом карточки, которая поднимается при готовом ответе.
За верный ответ даётся одно очко, если нет ответа, за следующий ответ даётся два очка.
Победители и активные участники получают хорошие и отличные оценки.
Предлагаемые вопросы:
- Найдите длины дуг единичной окружности (по данным карточкам).
- Сравнить и обосновать результат: sin3 и sin4, cos1 и cos2, sin5 и sin6, cos2 и cos3, sin1 и sin2, sin2 и cos5, sec1/2 и sec1 и т.д.
- Определить наибольшее и наименьшее значение функции: y=3-4cosx, y=2-5cosx, y=3-cos2x.
- Решить уравнения: sinx=-x, sinx=-2x, sinx+3x=0, cosx+(x-) +1=0, sinx+|x+ /2| +1=0.
- Решить уравнения: sin7x+sinx=0, sin15x+sin5x=0, sinx+sin2x+sin3x =0.
- Решить уравнения: sinx-cosx=1, cosx-sinx=1; sin2x+cosx3=2, sin2xcos3x=1.
- Может ли уравнение cosx=|kx| иметь 2005 решений?
- Сколько корней у уравнения cosx=x/13?
- Найдите arccoscos2, arcsinsin3/2, cos(arcsin4/5), tg(arcsin(-4/5)) и т.д.
Опыт показывает, что несмотря на “солидный” возраст, ребята играют с большим азартом и удовольствием, добираясь таки до верных ответов.
В итоге, опираясь на результаты экзаменов разных уровней, можно сделать вывод о более результативном обучении по комплекту А.Г. Мордковича.