Урок-лекция по теме: "Логарифмическая функция"

Подберезина Зоя Ивановна

Логарифмическая функция

См. приложение 1.

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа в по основанию а ( а > 0, а не равно1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в, т.е.

log_а в = х или а^х = в.

Например:

log₂ 8 =3 т.к. 2³ =8

log₄ = -4 т.к. 4^-4 =

log

125= -3 т.к.

=125

log₄ 2= т.к. =2

Необходимо запомнить следующие соотношения:

1) log _а 1 = 0; 2) log _а а = 1; 3) log _а а ^т;

4) если а > 1, то log _a в > 0 и log _а в< 0 при 0< в < 1;

5) если 0< а < 1, то log _ав < 0 при в > 1 и log _а в > 0 при 0 < в < 1.

Например: 1) log ₅1=0, т.к. 5⁰ =1;

2) Log₇ 7=1, т.к. 7¹ =7;

3) Log₃ 3 ⁴=4, т.к. log₃ 3 ⁴= 4 log₃ 3;

4) а>1, а=2, в > 1, в=16, то Log₂ 16 =4,

0 < в < 1, в = , то Log₂ = -4< 0;

5) 0< а <1, а=, в >1, в=27, то Log 27=-3

0< в <1, в = , а =, то log=3.

Поскольку логарифм определен для положительных чисел, а, значит, для натуральных чисел N, то его определение можно сформулировать следующим образом:

Логарифм числа N по основанию а (обозначает log_aN) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число N, т.е b=log_aN, если a^b=N.

По определению логарифма справедливо равенство

из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь М, N и k – положительные числа):

Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает и сокращает сложные вычисления.

При выполнении преобразований логарифмических выражений часто используют свойства степеней:

а^m+n= а^m+ аⁿ; а ^m-n = ; (а ^m)ⁿ = а ^mn = (аⁿ)^m.

Из определения следует, что а ^{log а в}₌в - это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Например:

, т.к

Свойства логарифмов

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Например:

Если а,b,c-положительные числа, причем а не равно 1, то справедливо равенство

Например:

Если a и b- положительные числа, причем а не равно 1, то для любого числа r справедливо равенство .

Если а,b и с – положительные числа, то

Если основанием логарифма является число е=2,71828…, то логарифм называется натуральным и обозначается ln x = log _e x.

При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg:

lg N =log ₁₀ N.

См. приложение 2.

Функция , ее свойства

Мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида

о ее графике и свойствах. Этим мы и займемся .

Рассмотрим одновременно две функции: показательную

у = а^х и логарифмическую у = log_aх. Пусть точка (b;с) принадлежит графику функции у = а^х; это значит, что справедливо равенство с = a^b. Перепишем это равенство “на языке логарифмов”: . Последнее равенство означает, что точка (с; b) принадлежит графику функции .

Итак, если точка (b;с) принадлежит графику функции у = а^x, то точка (с; b) принадлежит графику функции у = log_ax.

В связи с тем, что точки координатной плоскости хОу с координатами (b;с) и (с;b) симметричны относительно прямой у=х (рис. 1).

рис.1.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

График функции у = log_a х симметричен графику функции у = а^x относительно прямой у = х.

На рис.2 схематически изображены графики функций у = а^x и у = log_aх в случае, когда a>1; на рис.3 схематически изображены графики функций у = а^x и у = log_aх в случае, когда 0 < a < 1.

рис.2.

рис.3.

График функции у = log_aх называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная на координатной плоскости.

Если значение основания а указано, то график логарифмической функции можно построить по точкам. Пусть, например, нужно построить график функции у=Iog₂х. Составляя таблицу контрольных точек, будем руководствоваться соотношением Iog₂2^r = r. Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы включим числа, являющиеся степенями числа 2.

Имеем:

log₂

= log₂2^-2 = -2,log₂

= log₂2^-1 = -1,

log₂1 = log₂2⁰ = 0,

log₂2 = log₂2¹ = 1,

log₂4 = log₂2² = 2,

log₂8 = log₂2³ = 3.

рис.4.

Сведем полученные результаты в таблицу:

X	1	1	1	2	4	8
У = Iog₂ х	-2	-1	0	1	2	3

Построив на координатной плоскости точки (;-2), (;-1), (1;0), (2;1), (4;2), (8;3), проводим через них логарифмическую кривую (рис. 4).

Свойства функции у = log_ax, a > 1.

Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 2.

1) D(f) = (0; +);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; + );

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) Е(f) = (-; +);

8) выпукла вверх.

Замечание. Сравните график функции у = log_ax, изображенный на рис.2, и график функции у = х^r (0 < r < 1). Не правда ли, они похожи (при х > а)? На самом деле между ними есть принципиальная разница: график функции у = х^r“набирает обороты” быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х ордината графика степенной функции у=х^r( при 0<r<1 и уж тем более при r >= 1) значительно больше соответствующей ординаты графика логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что при а>1 и r>0 выполняется равенство

Свойства функции у = log_ax, 0 < a < 1.

Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис.3.

1) D(f) = (0; +);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) убывает на (0; + );

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) E(f) = (-;+);

8) выпукла вниз.

Отметим, что ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1, ив случае, когда 0<a<1.

Краткое содержание темы

Логарифмическая функция

Функция х=а^у, или, что то же самое у=log_ax, где а – заданное число, большее нуля и не равное единице

а>1 0>а>1

х - степень и потому х>0. График правее оси ординат.
а⁰=1 и потому если х=1, то у=0. График проходит через точку (1;0)
(а>1) >у=log_ax возрастающая. График ниже оси абсцисс, приближается к оси ординат, но не пересекает ее. (0<а<1)>у=log_ax убывающая. График выше оси абсцисс, приближается к оси ординат, но не пересекает ее.

Примеры выполнения заданий на нахождение области определения логарифмических функций и построение графиков.

Пример 1. Построить графики функций.

А) б) в)

Решение. В этом примере нужно выполнить различные преобразования графика функции (см рис 5)

а) перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-2;-3) (пунктирные прямые х=-2 и у=-3 на рис 6) 2Привяжем” график функции к новой системе координат – это и будет требуемый график (рис 6)

б) Напомним, что график функции симметричен графику функции относительно оси у. Учтя это, строим график функции , а затем, подвергнув его преобразованию симметрии относительно оси у, получаем график функции рис 7.

в) Построение графика функции осуществим в несколько шагов.

Построим график функции (пунктирная линия на рисунке 8)
Осуществим растяжение построенного графика от оси х с коэффициентом 3 и симметрию “растянутого” графика относительно оси х. Получим график функции (тонкая линия на рис 8).
Осуществим сжатие построенного графика к оси у с коэффициентом (т.е растяжение графика от оси у с коэффициентом 2). Получим график функции (жирная линия на рис 8).

Пример 2.Найдем область определения функции .

Область определения логарифмической функции - множество R₊. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых , т.е. при . Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (-;0,8).

Пример 3. Найдем область определения функции .

Как и в предыдущем примере, функция f определена для всех тех х, при которых . Решая это квадратное неравенство, получаем что D(f) – объединение интервалов (-; -1) и (4;).