Очень важно, чтобы материал, с которым учащиеся познакомятся на уроке, вызвал у них интерес.
О теореме Пифагора
Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир ее увидит взор,
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу,
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
(А. фон Шамиссо, перевод Хованского)
Пифагор, VI в. до н. э. (580 – 500), древнегреческий философ и математик. Первым заложил основы математики как науки, имел свою школу (школа Пифагора). Ему приписывают и открытие так называемой теоремы Пифагора, хотя геометрическая интерпретация этой проблемы была известна и раньше.
Задача на смекалку
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины”. Сколько учеников было у Пифагора?
РЕШЕНИЕ:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:
ОТВЕТ: 28 учеников.
Начнем урок в школе Пифагора.
1. Практическая работа
(Несколько человек работают у доски, остальные в тетрадях).
Задание 1. Построить треугольник по трем сторонам, если стороны равны.
а) 3, 4, 5;
б) 6, 8, 10;
в) 5, 12, 13 (единицы измерения указывать не обязательно).
Задание 2. Измерить больший угол этих треугольников.
Ответы близки к 90о.
Учитель предлагает внимательно посмотреть на построенные треугольники, найти отличия и определить, чем эти треугольники похожи друг на друга. Класс постепенно находит нужную формулировку: “Если треугольник имеет стороны a, b, c и a2+b2=c2, то угол, противолежащий стороне с, прямой”.
Доказательство этой теоремы – обратной к теореме Пифагора.
2. Устная работа
1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5. Найдите второй катет.
2) в прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу.
3) определите вид треугольника, стороны которого равны 6, 8, 10.
3. Практическая работа
На тонкой веревке делают метрии, делящие ее на 12 равных частей, связывают концы, а затем растягивают веревку в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывается прямым.
ВЫВОД: если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник прямоугольный.
Учитель говорит учащимся, что этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы.
(Звучит музыка. Демонстрация слайдов с изображением античных дворцов, храмов, египетских пирамид).
Перед тем как перейти к следующему этапу урока, ученики вместе с учителем еще раз делают вывод, что безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора. Проверяют еще раз эту теорему на треугольнике со сторонами 3, 4, 5: 32 + 42 = 52. Далее можно сказать, что в общем виде уравнение записывается следующим образом: а2 + b2 = с2. Необходимо проверить есть ли еще корни у этого уравнения.
Учащиеся проверяют этот факт. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами:
- 5, 12, 13;
- 8, 15, 17;
- 7, 24, 25.
Далее учитель сообщает, что прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.
Учитель предлагает тем учащимся, которых заинтересовала данная тема, дома доказать, что катеты a, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами:
а = 2mn, b = m2 - n2, c = m2 + n2,
где m и n – любые натуральные числа, такие, что m > n.
В финале урока уместно прочитать известные стихи, посвященные теореме Пифагора.
Теорема Пифагора
Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
(И. Дырченко)