Урок-семинар "Комплексные числа"

Разделы: Математика


Тема “комплексные числа” традиционно считается сложной для изучения. Завершая проходящую через весь школьный курс линию последовательного расширения числовых множеств, она связана и с другим не менее важным разделом – решение уравнений – и вместе с тем даёт возможность установления теснейших связей с геометрией. Богатое идейное и логическое содержание этой темы реализуется в задачах сравнительно высокого технического уровня.

Урок-семинар является последним завершающим в изучении темы “комплексные числа”.

Цели урока

  1. Применение знаний, полученных в ходе изучения темы “Комплексные числа” при решении нестандартных задач.
  2. Развитие познавательного интереса через привлечение исторического материала и прикладных задач.
  3. Систематизация знаний, умений и навыков учащихся по теме “Комплексные числа” через разбор различных методов задач.
  4. Активизация мыслительной деятельности учащихся.

ПЛАН УРОКА

1. Историческая справка

2. Работа по группам

Формируются несколько групп по 3-4 человека в каждой. Им задаются задания, подобранные таким образом, чтобы привлекался материал из различных разделов математики: условие равноудалённости точки от любых точек плоскости, определение модуля комплексного числа, уравнение окружности (задача №1); использование теоремы Виета для многочлена второй степени, изображение комплексных чисел на комплексной плоскости (задача №2); задание с параметром и определение аргумента комплексного числа (задача №3); использование формулы Муавра для возведения комплексного числа в n-ю степень (задача №4).

3. Выступление учащихся с задачами повышенной сложности (3 чел.)

Задачи предложены из экзаменационных работ.

4. Работа по группам

В каждой группе по 2 учащихся.

Для учащихся предоставляются семь задач. Цель которых одна - изобразить на комплексной плоскости все такие числа z, которые удовлетворяют различным заданным условиям. Здесь учащиеся должны упростить заданное выражение, получить либо уравнение, либо неравенство. Затем построить графики и найти нужный на доске. В это время на доске находятся все графики. Все графики различны. Они такие как: парабола, окружность, гипербола, круг, прямая , часть “кольца” и полуплоскость. Каждой задаче соответствует буква. В результате учащиеся должны получить определённое слово. (Это слово – отлично).

  • Учителем приводится задача по физике, в которой можно использовать теорию комплексных чисел.
  • В конце семинара проводится самостоятельная работа.
    Самостоятельная работа состоит из шести задач. Эти задачи составлены по возрастанию степени сложности. Ученикам необходимо набрать нужное количество баллов, чтобы получить “5”, “4” или “3”.
  • Подводится итог урока, сообщаются оценки учащимся.

Ход урока

1. Историческая справка

Если говорить об эволюции понятия числа, надо сказать, что не всегда первым толчком к расширению понятия числа были непосредственно практические потребности людей, в узком смысле этого слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений.

Уже в VII в.н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = -9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Первым учёным, предложившим ввести числа новой природы, был Джорж Кордано. Он предложил ·= a. Кордано назвал такие величины “чисто отрицательными” или даже “софистически отрицательными”, считая их бесполезными и стремился не применять их.

И всё-таки пришлось допустить такие корни в науку, когда другой итальянский учёный Бомбелли в 1572 году выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название “мнимые числа” ввёл в 1637году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы); этот символ вошёл во всеобщее употребление.

В течение XVIII века продолжалось осуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развилась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII-XVIIIв.в. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра: =.

В конце XVIII-начале XIX в.было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой М(а,в) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобнее изображать число не самой точкой, а вектором , идущим в эту точку из начала координат.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полёт ракет и самолётов. Они применяются при вычерчивании географических карт, и многих других науках.

Работа по группам.

I. Множество Е состоит из всех комплексных чисел z, таких, что, . Найдите все такие числа zо, что для любых z1 и z2 из Е

Решение.

2+9у2 = (х+4)2 + (у-8)2

2 – х2 – 8х – 16 + 9у2 – у2 + 16у – 64 =0

2 – 8х – 16 + 8у2 + 16у – 64 =0

х2 – х – 2 + у2 + 2у – 8 =0

(х – 0,5)2 + (у + 1)2 = 11,25

Окружность с центром (0,5; -1)

Ответ: zо = 0,5 – i

II. Пусть Р(z) – многочлен второй степени. Известно, что его корнями являются числа -1 и i, а Р(0) = 2. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел, таких, что P(z) – действительное число.

Решение.

Заменим многочлен второй степени в общем виде на b.

P(z) = az2 +bz + c.

Т.к -1 и i – корни, то по теореме Виета

P(z) = a(z2 + (1-i)z – i)

z = x + yi

т. к P(o) = 2, то

P(0) = а(0+ 0 – i)

а( – i) = 2

; a = 2i

Тогда имеем

b = 2i + 2

; c = – 2i2 ; с = 2

P(z)= P(x + yi)= 2i(x + yi)2 + (2i + 2)(x + yi) + 2=

= 2i(x2 +2xyi + y2i2) + 2xi + 2x + 2yi2 + 2yi + 2=

= 2x2i + 4xyi2 – 2y2i + 2xy + 4x + 2yi2 + 4yi +2=

= (– 4xy + 2x + 2 – 2y) + (2x2 – 2y2 + 2x + 2y)i

Т.к. по условию P(x + yi) – действительное число, то

x2 – y2 + x + y = 0

(x – y)(x + y) + (x + y) = 0

(x + y)(x – y + 1) = 0

Две прямые

III. Среди всех комплексных чисел z, таких, что , есть ровно одно число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Решение.

Т.к. аргумент равен , то его действительная и мнимая части противоположны. Причём действительная часть со знаком “-”, а мнимая “+”, тогда z = – x +xi, x > 0

(2 – x)2 + (x – 3)2 = a2

4 – 4x + x2 + x2 – 6x + 9 = a2

2(x – 2,5)2 – 12,5 + 13 = а2

2(x – 2,5)2 = а2 – 0,5

(x – 2,5)2 = 0,5(а2 – 0,5)

По условию ровно одно число удовлетворяет этому соотношению. Значит, уравнение должно иметь кратный корень, что возможно только лишь при  (а – число неотрицательное).

x = 5/2  = 2,5

Ответ: z = – 2,5 + 2,5i

IV. Пусть . Найдите модуль и один из аргументов числа

Решение.

Ответ:

№1

Изобразить на комплексной плоскости чисел z, удовлетворяющие условиям и получить слово.

Решение.

z = x + yi

Парабола

№2

Пусть М – совокупность всех точек комплексной плоскости, таких что (ReU)2 + (ZnU)2 = 1. изобразить на чертеже множество всех точек вида: U = Z + i + 1

Решение.

Z= x + yi : U=x + yi + 1=(x + 1) + (y + 1)i

(x + 1)2 + (y + 1)2 = 1

Окружность с R=1, центр (-1;1)

№3

Решение.

№4

img1.jpg (7892 bytes)

Решение

 

№5

Решение

Круг с центром (0;2) R=1

№6

 

 №7

Решение

полуплоскость

Физическая задача

Найти равнодействующую двух сил в 30 Н и 40 Н, действующих на точку тела под углом 300 друг другу.

Решение

Будем считать, что точка приложения сил совпадает с началом координат, а сила сонаправлена с действительной осью. Тогда силе соответствует действительное число 30, а силе комплексное число Откуда модуль равнодействующей будет равен

Самостоятельная работа.

1. Дано: z1= 3 + i; z2= 2i (3 б.)

Найдите

Решение

Ответ:

2. При каких   числа  и будут равными?

Решение

z = y – 3 + x2i – 2i = (y – 3) + (x2 – 2)

Для того, чтобы числа были равными необходимо решить систему:

Ответ: (1;4) и (-1;4)

3. Представить число в тригонометрической форме

а)  (4 б)

Решение

б) (5 б)

Решение

4. Составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющие корни х1= – 1; х2= 3+4i (5 б).

Решение

x1= -1; x2=3+4i; x3=3 – 4i

(x+1)(x – 3 – 4i)(x – 3+4i) = 0

Ответ: х3 – 5х2 + 19х + 25 = 0

5. Решить уравнение на множестве комплексных чисел 10х4 + 39х3 + 49х2 + 39х + 10 = 0 (6 б).

Решение

1) 2)

Ответ:

6. Найти все действительные значения а, при которых уравнение имеет только комплексные корни

(a – 3)z4 – 2(3a – 4)z2 + 7a + 6 = 0 (10 б)

Решение

Заменим z2 = t

Получим уравнение (a – 3)t2 – 2(3a – 4)t + 7a + 6 = 0

Таким образом, это уравнение имеет два действительных корня t1, t2. Для того, чтобы у исходного уравнения корни были комплексными, необходимо, чтобы t1, t2 были отрицательными.

По теореме Виета, если t1 и t2 – отрицательные, то

Ответ: решений нет.

Ученик, который набрал 16 баллов – “5”

(15 – 13) баллов – “4”

(12 – 10) баллов – “3”

Те задачи, которые ученики не успеют решить в классе, задаются на дом.