Числа правят миром!

“Математикой нужно заниматься не ради ее приложения.
А во имя той духовной прибыли, которая связана с ней”

• образовательная – расширение и углубление знаний, умений и навыков по программному материалу (теория графов, геометрия масс).
• развивающая – приобщение учащихся к творческой деятельности, расширение математического кругозора и представлений о практической значимости математики.
• воспитательная – развитие у учащихся интереса к математике и ее приложениям, воспитание чувства гордости и любви к родному краю, к своему народу посредством художественной литературы.

План урока:

Постановка цели – 1 мин
Введение – 4 мин
Повторение пройденного материала (свойства квадратичной функции). – 10 мин
Изучение нового материала (теория графов) – 15 мин
Закрепление и обобщение изучаемого материала по геометрии (барицентрический метод решения задач) – 10 мин
Заключение, подведение итогов – 5 мин

ХОД УРОКА

II. Введение.

Математика неисчерпаема и многогранна. Кого-то покоряет в математике ее логическая стойкость, другой ценит в ней полезность. Великий немецкий математик Гаусс назвал математику царицей наук. Я думаю, что именно тесная связь математики с другими науками, ее роль в создании новых дисциплин и теорий на стыке наук придает ей красоту и ценность.

В VI в. до н.э. на острове Самос жил известный вам Пифагор. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе. Его ученики уверяли даже, что он был сыном солнечного бога Аполлона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, та вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора.

Пифагор очень много сделал для развития науки (хотя начинал он не как ученый, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!). Потом он занялся музыкой и установил связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел. “Числа правят миром!” - провозгласил он.

III. Повторение свойств квадратичной функции.

В рассказе Л. Н. Толстого “Много ли человеку земли нужно?” башкиры продают кулаку Пахому землю по цене “1000 рублей за день”. Под этим подразумевается участок земли, который можно обойти за день. Толстой рассказывает, как жадный Пахом побежал так быстро, что к концу дня упал замертво.

Способ измерения площадей по длине обхода предполагает, что фигуры равной площади имеют и равные периметры, и что равные периметры охватывают равные площади. Это предположение неверно, однако это неверное правило применяли не только башкиры, но и другие народы.

Применяя свойства квадратичной функции, докажите, что из всех прямоугольников, имеющих равные периметры, квадрат имеет наибольшую площадь.

Пусть х – длина, y – ширина прямоугольника. Тогда из формулы P=2(x+y) имеем .

А значит, или . Учитывая, что ветви параболы направлены вниз, заметим, что наибольшее значение площади достигается в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины: ; ; . При этом значении х найдем у: . Значит, квадрат имеет наибольшую площадь.

Если бы Пахом в рассказе Толстого вздумал выделить себе участок земли в виде прямоугольного поля, он захватил бы наибольшее количество земли, обходя квадратный участок.

IV. Знакомство с новым материалом.

В “Физико-математической хрестоматии” Лямина 1914 года издания приводится так называемая задача о кенигсбергских мостах. Город Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на берегах и двух островах реки Прегель. Различные части города были соединены семью мостами, как показано на рисунке 1. Можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти только один раз по каждому мосту?



Эта задача была предложена в 1759 году великим немецким математиком Леонардо Эйлером. С его именем связывают возникновение теории графов. Изобразим план города в виде графа, вершины которого А, В, С, Д изображают части города, а ребра а, в, с, d, e, f, g – мосты, соединяющие части города (рис.1). Если в каждой вершине графа сходится четное число ребер, то такой граф называется “эйлеров”. Эйлеров граф допускает непрерывный замкнутый обход (цикл), проходящий по каждому ребру ровно один раз.



В задаче о кенигсбергских мостах граф не является эйлеровым, поэтому требуемого маршрута не существует. Графы придают условиям задач наглядность, упрощают решение, выявляют сходство задач (рис.2). Сейчас в любой отрасли науки и техники встречаются с графами: в электротехнике – при построении электрических схем, в химии и биологии – при изучении молекул и их цепочек, в экономике – при решении задач о выборе оптимального пути для потоков транспорта. Благодаря графам в социологии создана теория отношений и теория групп.

Задача Эйлера о парижских мостах. (рис. 3)



Можно ли прогуляться по Парижу, пройдя в точности один раз по каждому из 15 мостов? Возвращаться в начальную точку не обязательно. Если такой обход существует, найти его. Если нет, объясните, почему не может существовать такой маршрут. Изобразите план города в виде графа.

V. Повторение барицентрического метода решения геометрических задач.

Для решения следующей задачи, предложенной на городской олимпиаде учителей математике, вспомним основные положения геометрии масс, придуманной Архимедом.

1. Всякая система точек имеет единственный центр масс или барицентр.
2. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется архимедовым

правилом рычага (“золотое правило механики”): (рис.4)



3. Если массы материальных точек перенести в их центр масс, то положение центра масс системы не изменится.

Задача. Точка пересечения биссектрис треугольника делит две из них в отношении 3:1 и 2:1, считая от вершины. В каком отношении эта точка делит третью биссектрису, считая от вершины? (рис.5)



Решение задачи: Так как , то по правилу рычага точка А имеет массу 6 г., точка N – 18 г. Так как , то в точке С можно поместить 8 г., а в точке М – 16 г. Тогда центром масс системы точек А и N и системы точек C и M является точка О с массой 24 г. Если рассмотреть как рычаги систему точек А и В с центром масс в точке М и систему точек В и С с центром масс в точке N, то очевидно, что в точке В должна быть сосредоточена масса в 10 г. Если считать точку К центром масс системы точек А и С, то нетрудно заметить, что в точке К масса 14 г. Тогда по правилу рычага .

Ответ. 7:5.

Красота математике более наглядна в ее приложении к другим наукам, в ее прикладном характере. На стыке математики и других наук созданы такие дисциплины, как математическая физика, математическая биология, математическая география, математическое языкознание, математическая теория живописи, теория фехтования основана на математических принципах. Да, числа правят миром!

Мечтатели, сибиллы и пророки,
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли – вне сознания – далеко,
Туда, где светят царственные числа.
Предчувствие нелицемерным светит:
Едва откроется намек случайный,
Объемлет нас непересказный трепет.
Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!
Свободные, бесплотные, как тени,
Вы радугой связующей повисли
К раздумиям с вершины вдохновения!

(Валерий Брюсов).

1. Физико – математическая хрестоматия. Москва, 1914
2. В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва, “Просвещение”, 1989.
3. М.Б. Балк, В.Г. Болтянский. Геометрия масс. Москва, “Наука”, 1987
4. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва, “Просвещение”, 1989
5. Л.Н. Толстой. Повести и рассказы. Уфа, Башкирское книжное издательство, 1979.