Как правило, одно и тоже уравнение можно решить несколькими способами.
Для уравнений приведённых ниже, рациональным вариантом решения является метод оценки значений её левой и правой части.
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
Так как 
при 
, то областью
допустимых значений переменной уравнения
является любое число.
Пусть 
В силу ограниченности косинуса 
поэтому 
Равенство 
возможно, если значения функций равны по единице.
Решим уравнение (2).
или 
является
корнем уравнения (1).
При 
Ответ: 0.
Пример 2. Решить уравнение
(1)
Решение. Уравнение (1) заменим равносильным
, (2)
= 
При 
Так как 
при
всех 
, то к левой части уравнения
(2) применим неравенство Коши:
Откуда 
Получили, что левая часть уравнения (2) не меньше четырёх, а правая не больше четырёх.
Равенство достигается, если
Решим уравнение (4).
При 
уравнение
(3) обращается в верное равенство
Ответ: 2.
Пример 3. Решить уравнение
(1)
Решение. Допустимые значения 
определяются системой
неравенств.
откуда 
Так как 
и 
- функции
возрастающие и
, то 
, 
- функция
убывающая 
и 
при 
, то 
Решениями уравнения (1) будут являться значения
переменной , при
которых каждое слагаемое уравнения (1) равно нулю,
при этом
где
Решим уравнение (2).
При 
уравнения
(3) и (4) обращаются в верные равенства.
Следовательно,
единственный корень уравнения (1).
Ответ: 0.
Пример 4. Решить уравнение
(1)
Решение. 
, 
- функция
возрастающая, значит,
, т.е. 
при 
.
, 
, 
, при .
Значит, уравнение (1) будет иметь корни только в том случае, если
Решением уравнения (2) является 
, 
. (4)
Запишем решение уравнения (3):
, 
, 
,
, 
, 
Должно выполняться равенство 
поэтому
, 
Число 
будет целым, если
, 
.
Тогда решением уравнения (1) является
, .
Ответ: 
, .
Пример 5. Решить уравнение
. (1)
Решение. Левая часть уравнения (1) не превосходит четырёх, так как
, а правая не
меньше четырёх. Отсюда следует, что уравнение (1)
может иметь решения только при одновременном
выполнении условий:
, (2)
(3)
Если справедливо равенство (2), то
, 
, 
.
, (4)
, . (5)
Из (4) и (5) следует, что равенство (3) верно только
тогда, когда 
,
т.е. когда число 
делится на 3 без остатка.
Числа вида 
делятся на 3 при 
,
, 
, ...т.е. при
, 
, следовательно,
, 
.
Ответ: 
, .
Пример 6. Решить уравнение
. (1)
Решение. Запишем уравнение (1) в виде
. (2)
Так как 
, а 
,
то уравнение (2), а значит, и уравнение (1) имеют решения тогда и только тогда, когда
Решением уравнения (3) являются числа 
, 
, а уравнения (4)
, 
.
Решением системы будут являться числа 
, 
.
Ответ: , .
Пример 7. Решить уравнение
. (1)
Решение. Оценим левую часть уравнения (1).
.
Если 
, то
(
- функция возрастающая).
Оценим правую часть уравнения (1):
.
Уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда
Решением уравнения (3)
является 
.
При 
уравнение
(2) примет вид
, 
(верно).
Следовательно,
является корнем уравнения (1).
Ответ: 1.
Пример 8. Найти все пары чисел 
, удовлетворяющие условию
. (1)
Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению (2).
. (2)
Преобразуем обе части уравнения (2).
. (3)
При 
выражение
(3) принимает своё наименьшее значение, равное
восьми.
При 
, 
, выражение (4) принимает своё
наибольшее значение, равное восьми.
Следовательно, уравнение (2), значит, и (1) будут
иметь решения, если обе части уравнения (2)
принимают значения, равные восьми.
При 
, 
, 
.
При 
, 
, 
.
Ответ: (2;
);
(-2; 2+ 
), .
Пример 9. Решить уравнение
(1)
Решение. 
,
. Равенство (1)
выполняется, если выполняются условия
При 
, 
, .
При 
уравнение
(3) обращается в верное равенство.
При 
(4)
Уравнение (4), значит и (1) корней не имеет, т.к. 
Ответ: При 
, , при уравнение корней не имеет.