Как правило, одно и тоже уравнение можно решить несколькими способами.

Для уравнений приведённых ниже, рациональным вариантом решения является метод оценки значений её левой и правой части.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Так как при , то областью допустимых значений переменной уравнения является любое число.

Пусть

В силу ограниченности косинуса поэтому

Равенство возможно, если значения функций равны по единице.

Решим уравнение (2).

или

является корнем уравнения (1).

При

Ответ: 0.

Пример 2. Решить уравнение

(1)

Решение. Уравнение (1) заменим равносильным

, (2)

=

При

Так как при всех , то к левой части уравнения (2) применим неравенство Коши:

Откуда

Получили, что левая часть уравнения (2) не меньше четырёх, а правая не больше четырёх.

Равенство достигается, если

Решим уравнение (4).

При уравнение (3) обращается в верное равенство

Ответ: 2.

Пример 3. Решить уравнение

(1)

Решение. Допустимые значения определяются системой неравенств.

откуда

Так как и - функции возрастающие и

, то ,

- функция убывающая и при , то

Решениями уравнения (1) будут являться значения переменной , при которых каждое слагаемое уравнения (1) равно нулю, при этом

где

Решим уравнение (2).

При уравнения (3) и (4) обращаются в верные равенства.

Следовательно, единственный корень уравнения (1).

Ответ: 0.

Пример 4. Решить уравнение

(1)

Решение. , - функция возрастающая, значит,

, т.е. при .

, , , при .

Значит, уравнение (1) будет иметь корни только в том случае, если

Решением уравнения (2) является , . (4)

Запишем решение уравнения (3):

, , ,

, ,

Должно выполняться равенство

поэтому

, Число будет целым, если

, .

Тогда решением уравнения (1) является

, .

Ответ: , .

Пример 5. Решить уравнение

. (1)

Решение. Левая часть уравнения (1) не превосходит четырёх, так как

, а правая не меньше четырёх. Отсюда следует, что уравнение (1) может иметь решения только при одновременном выполнении условий:

, (2)

(3)

Если справедливо равенство (2), то

, , .

, (4)

, . (5)

Из (4) и (5) следует, что равенство (3) верно только тогда, когда ,

т.е. когда число делится на 3 без остатка.

Числа вида делятся на 3 при , , , ...т.е. при

, , следовательно,

, .

Ответ: , .

Пример 6. Решить уравнение

. (1)

Решение. Запишем уравнение (1) в виде

. (2)

Так как , а ,

то уравнение (2), а значит, и уравнение (1) имеют решения тогда и только тогда, когда

Решением уравнения (3) являются числа , , а уравнения (4)

, .

Решением системы будут являться числа , .

Ответ: , .

Пример 7. Решить уравнение

. (1)

Решение. Оценим левую часть уравнения (1).

.

Если , то

( - функция возрастающая).

Оценим правую часть уравнения (1):

.

Уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда

Решением уравнения (3)

является .

При уравнение (2) примет вид

, (верно).

Следовательно, является корнем уравнения (1).

Ответ: 1.

Пример 8. Найти все пары чисел , удовлетворяющие условию

. (1)

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению (2).

. (2)

Преобразуем обе части уравнения (2).

. (3)

При выражение (3) принимает своё наименьшее значение, равное восьми.

При , , выражение (4) принимает своё наибольшее значение, равное восьми. Следовательно, уравнение (2), значит, и (1) будут иметь решения, если обе части уравнения (2) принимают значения, равные восьми.

При , , .

При , , .

Ответ: (2; ); (-2; 2+ ), .

Пример 9. Решить уравнение

(1)

Решение. ,

. Равенство (1) выполняется, если выполняются условия

При , , .

При уравнение (3) обращается в верное равенство.

При (4)

Уравнение (4), значит и (1) корней не имеет, т.к.

Ответ: При , , при уравнение корней не имеет.