Урок по теме: "Функция у = к/х и ее график". 9 класс

Разделы: Математика

Цели:

  • научить построению графиков и выявлению свойств функции у =k/x;
  • развивать умения наблюдать, сравнивать, анализировать, обобщать, классифицировать, делать выводы;
  • воспитывать самостоятельность, графическую культуру, аккуратность, интерес к предмету.

Методическая цель:

  • показать реализацию межпредметных связей и прикладной направленности.

Методы работы:

  • словесный;
  • репродуктивный;
  • поисковый;
  • самостоятельной работы.

Материально-техническое обеспечение урока:

  1. разноуровневые дидактические материалы;
  2. чертежные принадлежности;
  3. карточки-задания для работы в парах;
  4. рабочие тетради, учебники;
  5. цветной мел.

План урока

I. Организационный момент

  • объявление темы, постановка целей урока;
  • объявление условий проведения урока, критериев оценки.

II. Актуализация опорных знаний

  • устная работа с разноуровневым дидактическим материалом.

III. Изучение нового материала

  • самостоятельная работа в парах под руководством учителя;
  • обобщение полученного материала;
  • о происхождении термина “гипербола”.

IV. Решение практических задач

  • примеры обратно-пропорциональной зависимости физических величин;
  • решение практических задач.

V. Подведение итогов урока

Ход урока

Известно много способов воспитания думающего человека. Один из них – применение сравнений всюду, где это разумно.

Урок начинается с актуализации опорных знаний учащихся. На каждой парте лежит задание: см. Приложение1. Класс разбит на три группы: ученикам с высокими учебными возможностями предлагается обдумать ответы на вопросы С, D, Е; со средними учебными возможностями – на вопросы А, В; а учитель в это время проводит фронтальную устную работу с учащимися с низкими учебными возможностями по вопросам 1, 2, 3, 4, 5; затем отвечают ученики первой и второй групп на вопросы А, В, С, D, Е.

Далее начинаем выполнять в рабочих тетрадях обучающую самостоятельную работу в парах (см. Приложение 2). Учитель по своему усмотрению, в зависимости от учебных возможностей ребят, раздает на каждую парту одну карточку с заданием (всего различных вариантов шесть). Эта самостоятельная работа проходит под руководством и контролем учителя. Первый верно выполнивший задание ученик изображает цветным мелом график на доске. В итоге этой работы на доске появляются две системы координат, в каждой из которых изображено три соответствующих графика: см. Приложение 3. Вновь используя прием сравнения, учащиеся сами делают выводы о свойствах функции у = k/x при k<0 и k>0. Учитель дает время для того, чтобы у каждого ученика в рабочей тетради появился такой же рисунок и краткие выводы. В итоге выполнения этого задания все учащиеся приобретают навык в построении графика функции у = k/x при конкретных значениях k.

После такой плодотворной работы необходимо отдохнуть; дежурные на каждую парту раздают Приложение 4; все внимательно слушают своего товарища, который заранее приготовил сообщение.

Сообщение ученика. Наряду с окружностью заслуженными “старожилами” в математике являются конические сечения – эллипс, парабола и полученная нами кривая, которая называется гиперболой. Одним из первых, кто начал изучать эти кривые, был, по-видимому, ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: “А что получится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей? Какие кривые предстанут нашему взору?”. Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс – если угол при вершине конуса острый; параболу – если угол прямой; одну ветвь гиперболы, если угол тупой (рис. 1). Названия этих кривых предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг “Конические сечения”. Аполлоний показал, что эллипс, параболу и гиперболу можно получить, проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причем любого. При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а простирается за нее, тогда у некоторых сечений образуется две ветви (рис. 2).

Описывая эллипс, параболу и гиперболу языком алгебры, математик выберет в плоскости сечения такую прямоугольную систему координат, в которой уравнения кривых имеют наиболее простой вид (рис. 3): у2 = 2рх +kх2, где р и к некоторые постоянные, причем р=0. Если к=0, то уравнение описывает параболу, если k < 0 – эллипс, если k > 0 – гиперболу.

Происхождение названий кривых объясняет рис.4. Построим в вершине каждой из трех кривых любой прямоугольник высотой 2р, к нему “приставим” квадрат, касающийся вершиной кривой, а стороной – оси симметрии. Тогда в параболе площади квадрата и прямоугольника равны, в эллипсе площадь квадрата меньше, а в гиперболе больше, чем прямоугольника. В переводе с греческого “параболе” – сопоставление, сравнение, прикладывание; “эллепсис” – выпадение; “хиперболе” – преувеличение. Теперь становится ясно, почему таким же словом “гипербола” называется стилистический прием, состоящий в образном преувеличении, например: “редкая птица долетит до середины Днепра”, “стал Иванушка ниже былинки в поле”, “наметали стог выше тучи”.

Учитель сообщает, что функция у = k/x при k > 0 выражает обратно пропорциональную зависимость между х и у. Такая зависимость между величинами часто встречается в физике, технике, экономике и т. д.

  1. V(р) =k/p, где V– объем газа, р – давление, k – коэффициент пропорциональности.
  2. р(S) = F/S, где р – давление, S – площадь, F – сила.
  3. I =q/t, где I – сила тока, q – заряд, t – время.
  4. I =U/R, где I – сила тока, R – сопротивление, U – напряжение.
  5. Ц =C/K, где Ц – цена товара, С – стоимость, К – количество товара.
  6. N = A/t, где N – производительность труда, А – объем работы, t – время.
  7. V =m/p, где V – объем, m – масса, p – плотность вещества.

Все перечисленные формулы можно написать цветным мелом на доске или на отдельных листах бумаги и во время рассказа последовательно прикреплять их магнитом на доску. Кроме того, здесь же можно поместить следующие соотношения: s = vt, А = Nt, U = IR и т. д. и сформулировать задание: посмотрите внимательно на зависимости между различными величинами и разбейте их на две группы по какому-либо признаку, т. е. что можно положить в основу классификации? В конечном итоге ребята приходят к выводу, что во всех рассмотренных случаях ситуации описываются с помощью всего лишь двух математических формул: у = kх и у =k/x. Это и есть простейшие математические модели прямой и обратной пропорциональности.

Следующий этап урока – решение практических задач.

Задача 1. В цилиндре под поршнем при постоянной температуре находится газ. Объем V (литров) газа при давлении р (атмосфер) вычисляется по формуле V =12/p.

  1. Найти объем, занимаемый газом при 4 атм.; 5 атм.; 10 атм.
  2. Вычислить, при каком давлении газ имеет объем 3 л, 5л, 15л.
  3. Построить график зависимости объема газа от его давления.

Задача 2. Сила тока в реостате I (в амперах) вычисляется по формуле I =U/R, где U – напряжение (в вольтах). R – сопротивление (в омах).

  1. Построить график зависимости I(R) при U=6.
  2. По графику приближенно найти:

    3. а) силу тока при сопротивлении, равном 6, 12, 20 Ом;
    б) сопротивление реостата при силе тока, равной 10, 5, 1,2 А.

Ребятам с более высокими учебными возможностями в это же время можно предложить обдумать решение такой задачи:

Задача 3. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 150 м со скоростью 60 км/ч. Найти центростремительное ускорение автомобиля. Увеличится или уменьшится центростремительное ускорение, если скорость автомобиля останется прежней, а радиус закругления дороги увеличится?

Заканчиваем урок сообщением: см. Приложение 5, Приложение 6.