Работа с задачами является важным аспектом обучения математике, а так же, при правильном ее построении существенно способствует прогрессу в общем развитии школьников. Возникает следующий вопрос: как поставить обучение решению задач в начальных классах, чтобы оно способствовало общему развитию учащихся, а вместе с тем овладению арифметическими знаниями и навыками?
Правильно также и то, что для решения задачи надо понять связь между вопросом задачи и ее данными, а для этого необходимо различать условие задачи и вопрос задачи. Это нельзя оспаривать. Однако центральным является вопрос о том, как поставить работу, чтобы школьник действительно разобрался в зависимости между данными и искомыми задачи. Мы проанализировали учебники математики для начальной школы и сделали вывод: в существующих учебниках дается большое число задач на сложение и вычитание с одним и тем же построением, с одной и той же формулировкой вопроса задачи.
При таком обучении решению задач отсутствуют условия для продвижения детей в их общем развитии. Мало того, ребята приучаются к тому, чтобы идти наиболее легким путем и избегать трудностей в умственной работе. Иначе говоря, у них вырабатывается леность мысли.
Отвергая подобное построение обучения решению задач, мы не отрицаем, разумеется, работы над аналогичными задачами. Однако для того, чтобы эта работа принесла пользу, необходимо соблюдение ряда дополнительных условий. Решение аналогичных задач в непосредственном их следовании друг за другом нельзя вводить в систему. Оно должно практиковаться лишь в тех случаях, когда некоторый вид задач представляет значительную сложность для первоклассников, тогда представляется целесообразным два или даже три раза подряд проделать один и тот же путь разбора задачи и рассуждения. Вообще же решение двух аналогичных задач следует разделять по времени: решив одну, давать другую только через несколько дней. Такой подход направлен против механического запоминания школьниками хода решения задач, против выбора действия по внешним приметам. Он способствует разбору содержания задачи по существу и осмысленному поиску арифметических действий по указанной в условии зависимости между числами.
По мнению Л.В. Занкова, исходя из упомянутых соображений, не следует торопиться с обучением решению задач в 1-м классе. Мы воздерживаемся от того, чтобы рекомендовать какой-то определенный временной пункт, когда следует приступить к решению задач. Может быть, это окажется целесообразным в конце первой учебной четверти, а может быть только во второй. Это зависит от конкретных условий работы в данном классе. Одно только ясно: не следует начинать решение задач прежде, чем ребята будут способны разобраться в довольно сложных зависимостях между данными и искомыми задачи. Очень важно, чтобы школьники дифференцировали решение примера и решение задачи. Ведь одним из характерных признаков арифметической задачи в начальных классах является тот, что зависимость между данными и искомыми отражена в виде определенной жизненной ситуации. Уяснение жизненной ситуации, фигурирующей в тексте задачи, это анализ соответствующего жизненного явления и органически связанное с ним осмысливание соотношений между числовыми данными задачи и искомыми. Разобраться в жизненном явлении, описанном в задаче, и найти способ решения задачи чрезвычайно важно не только для усвоения арифметики, но и для умственного развития детей.
Откладывая решение задач до того момента, когда первоклассники действительно становятся способными "распутать клубок", имеющийся в тексте задачи, мы полагаем, что простые прямые задачи не следует давать для решения, поскольку они не содержат материала для сколько-нибудь серьезной умственной работы. Может быть, и целесообразно решить 3-4 простые задачи для того, чтобы ознакомить ребят с некоторыми терминами, и только. Ведь простые задачи с прямым ходом решения — это те же примеры, предлагаемые в виде текста, рассказывающего о том или ином случае, в котором может иметь место, данное соотношение чисел. Вычислительными операциями ребенок овладевает при решении примеров.
Рекомендуем давать простые задачи только в виде задач ''обратных'' (задачи, выраженных в косвенной форме).
Например: "Когда с полки взяли 5 книг, то там осталось 4 книги. Сколько книг стояло на полке вначале?" Решая эту задачу, школьник уже не может выбрать действия, руководствуясь внешними приметами, то есть по форме вопроса и последовательности числовых данных. Чтобы выбрать арифметическое действие, надо представить себе, как происходило дело в действительности.
Конечно, и подбор обратных задач не всегда может привести к успеху. Если давать подряд в значительном количестве обратные задачи одного и того же вида, то в этом случае у школьника при решении их выработается шаблон. Значит, дело заключается в том, чтобы соблюдать уже ранее упомянутое нами требование, а именно — чередовать задачи, решаемые различными способами.
Полезно давать задачи, которые по типу аналогичны уже ранее решенным, а по содержанию, по тематике значительно отличаются. Так, например, можно дать следующие обратные задачи: "Папа задумал число. Если к этому числу прибавить 3, то получится 9. Какое число задумал папа?"; "Коля сделал 7 флажков. После этого ему осталось сделать еще 5 флажков. Сколько всего флажков должен был сделать Коля?"
Наряду с обратными задачами в одно действие надо вводить гораздо раньше, задачи в два действия.
Необходимо соблюдение приемов обучения детей решению задач:
- постепенное усложнение и развитие задачи;
- изменение условий задачи при сохранении ее вопроса;
- изменение вопроса задачи при сохранении ее условия; преобразование задачи; решение задачи несколькими способами.
Против этих приемов как таковых не приходится возражать.
Среди приемов, используемых нами в обучении решению задач, большое место занимает сопоставление. Быстрое развитие первоклассников позволяет начать сопоставление задач вскоре после того, как дети приступили к решению задач. Так, например, мы даем следующую задачу: "Для уроков труда Саша принес 5 листов бумаги, а Оля принесла еще несколько листов. Тогда стало 9 листов бумаги. Сколько листов бумаги принесла Оля?" Ребята решают эту задачу. Затем предлагаем другую задачу: "Для уроков труда Саша принес 5 листов бумаги, а Оля принесла 4 листа. Сколько всего бумаги принесли Саша и Оля?" Ребята решают и эту задачу. После того, как обе задачи решены, проводится сопоставление их. Учитель делит классную доску пополам вертикальной чертой. Слева от этой черты учитель записывает первую задачу и ее решение, а справа — вторую и ее решение. Затем происходит разбор, чем отличается первая задача от второй и как от этого различия зависит ход решения каждой задачи.
В тех случаях, когда разбор текста задачи не помогает, можно наглядно представить ее содержание в виде инсценировки, использовать картинки и т. п. Однако задерживаться на этих приемах не следует. Самое главное — осмысление текста задачи и способа ее решения путем сопоставления с другой задачей.
Сейчас разъясним это подробнее. Возьмем такую задачу. Учительница пишет на доске:
Саша — 5 листов
Тогда стало — 9 листов
Оля — ?9 л.— 5 л. = 4 л.
Саша — 5 листов
Оля — 4 листа
Тогда стало — ?5 л. + 4 л. = 9 л.
Разбор надо производить так: ставить перед ребятами вопросы и лишь в тех случаях, когда никто из них не сможет ответить, помогать в этом.
Почему в первой задаче мы из 9 листов вычитали (отнимали) 5 листов? Потому что 9 листов — это вся та бумага, которую принесли Саша и Оля. Но ведь Саша принес 5 листов. А сколько листов принесла Оля, мы не знаем. Однако нам известно, что Саша и Оля вместе принесли 9 листов. Саша принес 5 листов, а Оля принесла остальные. Чтобы узнать, сколько листов бумаги принесла Оля, нужно из всего количества бумаги (то есть из 9 листов) вычесть 5 листов, которые принес Саша.
Примерно так выглядит весь ход рассуждения. Однако он будет развертываться по частям в связи с отдельными вопросами, которые будут ставить ребята и учительница. При этом следует обращаться к сокращенной записи задачи и ее решения на доске. (Те же указания относятся и к разбору второй задачи).
А почему во второй задаче надо складывать 5 и 4 листа (к 5 л. прибавить 4 л.)? Потому что 5 листов принес Саша, а 4 листа принесла Оля. А сколько всего листов принесли Саша и Оля вместе, мы не знаем. Но ведь то количество листов, которое принесли Саша и Оля вместе, состоит из той бумаги, которую принес Саша (т.е. 5 л.), и из той бумаги, которую принесла Оля (т. е. 4 л.). Значит, чтобы узнать, сколько всего листов бумаги принесли Саша и Оля вместе, надо сложить 5 листов и 4.
Этот путь обучения является гораздо более продуктивным и экономным, чем многократное повторение решения прямых задач в одно действие. Он помогает ребятам разобраться в том, что такое арифметическая задача и каковы ее составные элементы.
Сопоставление может проводиться не только в виде сравнения прямой и обратной задач. Мы считаем полезным, в частности, сопоставление таких задач, которые отличаются прежде всего и главным образом тем, какая жизненная ситуация отражена в каждой из них. Если при этом в задачах фигурируют одни и те же лица, одни и те же их действия, одни и те же объекты, тогда зависимость хода решения задачи от своеобразия проведенной в ней жизненной ситуации выступает наиболее выпукло.
Вот три задачи, которые могут служить материалом для сопоставления.
Задача 1. Мальчик выстругал несколько палочек. Три палочки он отдал сестре, и тогда у него осталось 15 палочек. Сколько палочек выстругал мальчик?
Задача 2. Мальчик выстругал 7 палочек, а всего ему нужно выстругать 12 палочек. Сколько палочек ему осталось выстругать?
Задача 3. Один мальчик выстругал 6 палочек, другой мальчик выстругал 9 палочек, но 2 палочки у него сломались. Сколько целых палочек осталось у двух мальчиков?
Слово "осталось" фигурирует во всех трех задачах, однако оно имеет различный смысл: в 1-й задаче надо применить сложение, а во 2-й и в 3-й задачах — вычитание. Хотя в двух последних задачах слово "осталось" связано с вычитанием, тем не менее, в каждой из них это арифметическое действие играет свою особую роль.
Сопоставление в таких задачах существенно для формирования вдумчивого подхода первоклассников к решению задач. Учитель может специально обратить внимание детей на необходимость такого подхода. Например, подытоживая проделанную работу, он отмечает: "Хотя во всех трех задачах говорится о том, что мальчики стругают палочки, эти задачи решаются по-разному. Значит, когда вы решаете задачи, надо хорошенько разобраться в том, о чем говорится в каждой из них".
Для того чтобы дети лучше осмыслили соотношение между условием, вопросом задачи и ходом ее решения, полезны такие приемы, которые часто рекомендуются методистами и нашли отражение в учебниках арифметики. Мы говорим о таком случае, когда дается условие задачи, а вопрос должны поставить сами ребята. Например, учитель читает условие задачи: "Один охотник принес с охоты 8 уток, а второй — 6 уток" — и предлагает детям поставить разные вопросы к этому условию, а затем спрашивает, как в зависимости от того или иного вопроса следует решать задачу.
Можно применить другой прием, а именно — предложить поставить вопрос к прочитанному условию так, чтобы задача решалась одним действием или двумя действиями. В этих целях может быть использовано, например, такое условие задачи:
"В одном аквариуме 12 рыбок, а в другом на 3 рыбки больше".
Имея в виду оптимальную эффективность обучения для общего развития детей, мы предлагаем им задачи в такой последовательности и такого содержания, чтобы каждая из них представляла собой нечто новое. При этом условии будет предупреждено возникновение шаблона.
Когда будет накоплен значительный опыт в сопоставлении и решении разнообразных задач, дети сами придут к группированию задач по общности приемов их решения. Это будет закономерным итогом содержательной мыслительной деятельности.
Следующий важный вопрос касается решения простых и составных задач. С математической точки зрения простой называют задачу, которая решается одним действием. Всякая числовая задача, разрешимая не одним, а несколькими действиями, в соответствующем порядке их следования, называется составной задачей.
Наличие этого разделения вовсе не означает, что оно может быть прямо перенесено в методику обучения решению задач. Здесь должен быть выработан педагогически целесообразный путь, способствующий оптимальной эффективности методических приемов для общего и математического развития школьников.
Когда вы убедитесь в том, что ребята освоились с зависимостью между данными задачи и искомыми могут осмысленно найти способ решения, можно перейти к задачам в два действия. И здесь надо применить сопоставление.
Возьмем задачу в одно действие: "Соня купила сначала 6 тетрадей, а затем еще 2. Сколько всего тетрадей купила Соня?" Дети решают задачу. Затем включается задача в два действия.
Учительница записывает на доске:
Сначала — 6 тетр.
Потом — 2 тетр.
Всего — ?6 т. + 2 т. = 8 т.
Сначала — 6 тетр.
Потом — 2 тетр.
Дала брату — 3 тетр.
Осталось у Сони?
Вот мы и решили первую задачу и узнали, что Соня купила всего 8 тетрадей. Как же мы будем решать вторую задачу? Что в ней спрашивается? [Сколько тетрадей осталось у Сони.]
А почему спрашивается, сколько тетрадей осталось у Сони? [Потому что она 3 тетради дала брату.] Можно ли узнать, сколько тетрадей осталось у Сони, если мы не знаем, сколько всего тетрадей она купила? [Нет, нельзя.] А как узнать, сколько всего тетрадей она купила? [Надо сложить 6 тетрадей и 2 тетради, потому что Соня купила сначала 6 тетрадей, а потом еще 2 тетради.] Складываем. [8 тетрадей.] Значит, Соня купила всего 8 тетрадей. Из этих 8 тетрадей 3 тетради Соня дала брату. Как же узнать, сколько тетрадей осталось у Сони, если она купила всего 8 тетрадей, а брату дала 3 тетради? [Надо из 8 тетрадей вычесть 3 тетради. Получится 5 тетрадей. Значит, у Сони осталось 5 тетрадей].
Учительница записывает ход решения на доске в правом столбце.
6 т. + 2 т. = 8 т.
8 т. - 3 т. = 5 т.
Тогда на доске появляется такая запись решения первой и второй задачи:
6 т. + 2 т. = 8 т.
6 т. + 2 т. = 8 т.
8 т. - 3 т. = 5 т.
Чем же отличаются друг от друга первая и вторая задачи?
Первая решается одним действием, вторая — двумя действиями. Когда решаем первую, мы сразу можем ответить на вопрос задачи. Когда решаем вторую, сразу на вопрос задачи ответить не можем. Поэтому первая задача решается одним действием, вторая — двумя.
Ни в коем случае не следует гнаться за количеством задач, которые решают ребята. Самое главное — в том, чтобы дети осмыслили содержание задачи и способ ее решения, логически правильно рассуждали. Если ребята основательно поработают над двумя задачами, это несравненно лучше, чем, если они решат десяток-другой задач, не понимая хода решения.
Надо всегда руководствоваться правилом: не впадать в панику, если ребята не овладевают материалом, не становиться на путь спешки и тренировки, найти свою ошибку и исправить ее, настойчиво работая, прежде всего над общим развитием детей.
Что касается записи решения задач, то следует практиковать разные формы ее. Когда дети решают задачи в два действия и более, в первое время полезна постановка вопросов в письменном виде. Это позволит более отчетливо осознать ход решения задачи. Само собою разумеется, что в таких случаях составлять отдельно письменный план решения задачи не нужно, так как вопросы, написанные детьми,— это и есть план решения. Когда школьники приобретут некоторый опыт в решении задач, формулирование вопросов в письменном виде не обязательно. Лучше удовлетвориться кратким письменным объяснением результата, полученного при выполнении каждого действия.
В начальных классах обычно широко практикуется составление школьниками задач. Встречается и такое мнение, согласно которому составление задач учащимися считают чуть ли не главным средством формирования осмысленного отношения школьника к арифметической задаче.
В 1-м классе вообще не следует практиковать составление задач детьми. Если дети составляют задачи, следуя указаниям учителя, это не имеет сколько-нибудь существенной ценности, поскольку не дает простора мысли ребят. Когда ученики составляют задачи самостоятельно, эти задачи неизбежно очень примитивны, а нередко и нелепы. Ведь процесс придумывания задачи учеником, по сути дела, таков: школьник исходит из числового примера (скажем, 9 — 5 = 4) или из хорошо знакомой задачи и присочиняет тот или иной случай, соответствующий данному примеру, задаче. Получается новая задача: "Миша встретил в лесу 9 медведей. Пять медведей он убил. Сколько осталось?"
Помимо фактической бессмыслицы, которая часто получается, когда дети составляют задачи, отрицательные последствия таких занятий заключаются еще и в том, что они противодействуют созданию той установки на "распутывание клубка" при решении задачи, которая так нужна и так ценна.
Неудачи в обучении решению задач проистекают, по-видимому, из того, что дети не осмысливают способа решения задачи в его связи с жизненной ситуацией, которая изображена в задаче. Надо поработать с детьми над решением обратных задач в одно действие, а затем заняться задачами в два действия. Я еще раз повторяю: стараться, во что бы то ни стало как можно скорее давать сложный материал не нужно. Если же вы дали его и замечаете, что ребята не осмысливают, надо сразу же опуститься на более низкую ступеньку. Если дети, несмотря на разбор и объяснения, не справляются с задачами в 2 действия, следует временно оставить их и решать обратные задачи в 1 действие.
Время от времени, однако, следует решать задачи с вопросами в письменном виде, особенно при переходе к следующей, более трудной ступеньке, например, когда дети начинают решать задачи в три действия или когда предстоит решить "запутанную" обратную задачу.