"Методы решения систем уравнений". Факультатив по математике

Разделы: Математика

При планировании внеклассной работы, ставлю перед собой цель: вызвать интерес учащихся к предмету. Факультативы способствуют развитию математического кругозора, творческих способностей учащегося, привитию навыков самостоятельной работы и тем самым повышению качества математической подготовки учащегося.

Данный факультатив провела в 9 классе после изучения темы, как повторительно-обобщающий, позволяющий не только обобщить и закрепить полученные знания. На это занятие приглашены 10 участников 7 класса, в котором я работаю (из них 2 содокладчика).

Тема: “Методы решения систем уравнений”.

Тип урока – пресс-конференция.

Цели:

  1. поиск различных способов и методов решения систем уравнений, умение выступать перед аудиторией с подготовленными сообщениями.
  2. стимулирование творческого мышления нестандартными методами.
  3. обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме, приучать работе со справочной и дополнительной литературой.
  4. развитие математического мышления, взаимовыручки, взаимопомощи, умению вести культурную дискуссию, правильной математической речи.
  5. воспитание чувства ответственности.

Оборудование: плакаты, таблицы, схема, карточки - смотри Приложение 1

Председатель: учитель

Экспертная группа: учитель, родитель, ученик.

Повестка (план конференции):

  1. Сообщение 1. Из истории решения систем уравнения   /Оглоблина О./ 9 класс
  2. Сообщение 2. Решение систем методом подстановки   /Хохлов Д./ 9 класс
  3. Сообщение 3. Системы симметричных уравнений   /Троянова К./ 9 класс
  4. Сообщение 4. Системы линейных уравнений с параметрами  /Заблоцкий Н./ 7 класс
  5. Сообщение 5. Геометрические приемы решения систем уравнений  /Кравец В./ 9 класс
  6. Сообщение 6. Метод Крамера или метод определителей  /Трифонова Е./ 9 класс

Решение (Заключение)

Творческая работа – выпуск стенгазеты “Вести с конференции”

1 сообщение

Из истории решения систем уравнений.

Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII - XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж (портреты находятся на стенде в кабинете).

В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

Решение этой системы выражается формулами

Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным решать системы уравнений графически.

В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени. Например, Задача № 20. Площади двух своих квадратов я сложил: 25. Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5. Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат, получаем у2 = х2 + х + 25,

подставив, получаем 1х2 + 6 х = , решая уравнение, находим х, затем у.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.

Задача 21. “Найти два натуральных числа, зная, что их сумма = 20, а сумма их квадратов 208”.

Задачу так же решали составлением системы уравнений,

но решал Диофант, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, т.е.

Далее

x2 + y2 = (z + 10)2 + (10 – z)2 = 2z2 + 200, а по условию =208

2z2 + 200 = 208

z = ± 2 z = - 2- не уд. услов. задачи

поэтому, если z = 2 x = 12, а у = 8.

2 сообщение

Решение систем методом подстановки.

С системами уравнений мы познакомились в курсе алгебры 7-го класса, но это были системы специального вида – системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Алгоритм, который был выработан в 7 классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений с двумя переменными х и у.

  1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
  2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
  3. Решить полученное уравнение относительно х.
  4. Подставить поочередно каждый из найденных на 3 шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
  5. Записать ответ в виде пар значений (х;у).

Покажу как работает этот метод при решении более сложных систем. /Кравец В./

х2 – ху – 2у2 = 0

решим полученное уравнение относительно х

Д = у2 - 4•1 (- 2у2) = 9у2 , = 3 | y |

3 сообщение

Решение систем симметрических уравнений.

1)

Существует универсальный метод решения: вводится подстановка

Преобразуем первое уравнение системы, прибавив к обеим частям ху

х2 + ху + ху + у2 = 4 + ху

х2 + 2ху + у2 = 4 + ху

( х + у)2 = 4 + ху

Получим систему

Применим универсальную подстановку

Рассмотрим решение еще одной системы

( х + у)5 = х5 + 5х4у + 10х3у2 + 10х2у3 + 5ху4 + у5 = ( х5 + у5) + 5ху (х3 + у3) + 10х2у2(х + у)

х3 + у3 = ( х + у)3 – 3ху ( х + у), используем формулу (2)

55 = 275 + 5z • 53 – 15z2 •5 + 10z2 + 5 / : 25

53 = 11 + 25z – 3z2 + 2z2, z2 – 25z + 114 = 0

Д = 169, z1 = 19 z2 = 6

4 докладчик

Системы линейных уравнений с параметром

Напомню на примерах три случая:

а) когда коэффициенты при х и у не пропорциональны

б) когда коэффициенты все пропорциональны

в) коэффициенты при х пропорциональны коэффициентам при у, но не пропорциональны свободным членам.

Эти знания необходимы при решении следующих заданий:

*Определите все значения параметра а, при которых система уравнений

Решение

5 сообщение

Геометрический прием решения систем уравнений

Решение

По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х2 + у2 =32 , числа х и у являются катетами АBD ( D – прямой) с гипотенузой АВ = 3.

Рассматривая второе уравнение у2 + z2 = 16, построим BDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза.

Третье уравнение y2 = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках АВС = 900

АС = ( х + z ) = = 5,

Тогда AB2 = AD • AC, 9 = х • 5, х =

BC2 = DC • AC, 16 = z • 5, z =

BD2 = y2 = x • z =·

BD = = y.

Такой прием дает потерю корней, легко убедиться,

что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для данной системы задания могут быть и другие.

Например, чему равно значение выражения

ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;

6 сообщение

Метод Крамера

Система вида называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными, где а1; а2; в1; в2; с1 и с2 – числа. И а12 + в12 ? 0 а22 + в22 ? 0.

Одним из основных методов решения данной системы является метод Крамера или метод определителей. По коэффициентам данной системы составляем три определителя: (главный), х – определитель неизвестного х; у – определитель неизвестного у.

* Решить систему

*Найдите все значения параметра b, при которых система имеет единственное решение

Творческая работа по карточкам взаимотренажера “Рисуем координатами”.

Решите системы и постройте фигуру по координатам.

Конференция закончилась. Я верю, что у вас появилось желание попробовать свои силы в решении систем. Возьмите задания и приступайте к творческой работе.

А теперь наступило время оформить следующий выпуск математический газеты “Вести с конференции”.

Список литературы

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе”

2. И.Я. Депман “За страницами учебника алгебры”

3. М.Л. Галицкий А.М.Гольдман “Сборник задач по алгебре 8-9”

4. А.Г. Мордкович “Алгебра 9”. “Алгебра 7”

5. Ю.Н. Макарычев “Алгебра 9”. “Алгебра 7”

Приложение