Разработка открытого урока по теме: "Применение производной к исследованию функций"

За время данного урока был повторен теоретический материал, решена задача на оптимизацию, с помощью производной построен график функции и решено уравнение f (x) = a, найдено наименьшее значение функции, с помощью тестовых заданий проверена техника дифференцирования каждого ученика. Урок достиг своей цели. Хочу подробнее остановиться на тестовом контроле, который я провожу с применением компьютера.

Работая в классах с углублённым изучением математики, я систематически провожу зачётные уроки в конце изученных тем с применением тестового контроля. Тесты для зачётов составляю сама, используя дидактические материалы, дополнительную литературу, учитывая возможности каждого ребёнка, что позволяет осуществлять дифференцированный подход. Как правило, тесты имеют 4 варианта ответов. Выбор правильного ответа является своего рода игровым элементом, и это ещё одно положительное качество теста, так как оно позволяет развивать интуицию и логическое мышление учеников. Составленный тест отдаю ученику 11-го класса, который ещё в сентябре назначается учителем информатики для работы со мной. Он, используя язык программирования, составляет компьютерный вариант тестов. Эта работа засчитывается одиннадцатикласснику как дипломная при получении профессии оператор ЭВМ. Учитель информатики на данных уроках преследует свою цель: проверить знание языка программирования. В результате работы с тестом ученик получает две оценки: по математике и информатике. Проведение уроков математики с применением компьютера позволяет мне значительно повысить качество обучения, улучшить успеваемость учеников.

План-конспект урока-игры “Детектив-шоу” в 10-м классе

Урок проходит в компьютерном классе.

Эпиграф урока: “Величие человека — в его способности мыслить” (Паскаль).

Цели урока:

• систематизировать знания по теме,
• закрепить навыки дифференцирования,
• подготовиться к контрольной работе.

Развивающая цель: развитие устойчивости внимания, переключение внимания, математической речи.
Воспитательная цель: воспитание сотрудничества, уверенности в себе.

Оборудование: кодоскоп, карточки-задания, сопроводительные рисунки к этапам урока (см. рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3, рисунок 4).

План урока

1. Организационный момент.
2. Устные упражнения.
3. Работа с тестом. (Проверка техники дифференцирования).
4. Построение графика функции с помощью производной.
5. Решение задач.
6. Построение графика квадратичной функции.
7. Итог урока. Задание на дом.

Ход урока

1. Организационный момент (ввод в сюжет)

Учитель. Сегодня у нас заключительный урок по теме: “Применение производной к исследованию функции”, на котором мы должны, систематизируя знания и умения, подготовиться к контрольной работе.

Наш урок пройдёт в форме игры “Детектив-шоу”. Четыре команды: “Мисс Марпл”, “Анастасия Каменская”, “Эркюль Пуаро” и “Шерлок Холмс” примут участие в расследовании преступления. Я с вашего позволения буду ведущим детективом, главными детективами будут…

Экспертом у нас работает ученик 11-го класса …

Как и в любом детективе, у нас есть потерпевший — ученик 10-го класса…

Потерпевший, расскажите, что с вами произошло.

— Час назад со мной связался мой шеф и сказал, чтобы я срочно вылетел в Сингапур для заключения очень выгодной для нашей фирмы сделки. Для меня уже заказан билет. Необходимые бумаги уложены в папку и оставлены в кабинете шефа. В моём распоряжении 2 часа. Я беру такси, приезжаю в офис, захожу в кабинет и вижу: до меня здесь уже побывали. Вещи все разбросаны, папки нет. Помогите найти важные документы как можно скорее, иначе я не успею в командировку, сорвётся сделка. Я даже не знаю, была ли папка на столе или, может быть, она лежит в сейфе, шифр к которому я не знаю.

Учитель: Прошу задавать вопросы потерпевшему.

Ученики. Знаете ли вы шифр сейфа? Кто из сотрудников имеет доступ в кабинет? И т. д.

Учитель. Команды, предлагайте ход расследования.

Ученики предлагают.

Учитель. Давайте обобщим ход нашего следствия и попытаемся в течение урока разобраться в происшествии.

Итак, план поиска:

1. Отпечатки пальцев.
2. Определение количества преступников.
3. Поиск шифра к сейфу.
4. Поиск свидетелей.

Приступим к первому пункту нашего плана.

2. Устные упражнения (поиск отпечатков пальцев)

Чтобы снять отпечатки пальцев вам необходимо предварительно ответить на ряд теоретических вопросов по теме: “Производная”, зарабатывая, таким образом, очки (по 0.5 балла) для своих команд. Эксперт и потерпевший фиксируют правильные ответы.

• Что называется производной?
• В чём состоит геометрический смысл производной?
• Если на дороге произошла авария, то инспектора ГАИ интересует скорость в момент аварии. Как она называется? (Мгновенная).
• Как связана мгновенная скорость с производной? Производная координаты пути по времени).
• У Л. Н. Толстого есть рассказ “Много ли человеку земли надо”. О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желаемую сумму, предстал перед требованием старшины: “Сколько за день земли обойдёшь, вся твоя будет за 1000 руб. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои денежки”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырёхугольник периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? (Кодоскоп):

(Нет. Должен быть квадрат, а = 10 км).

• Почему функции y = 1/x, y = tg x, y = x³+x+2, y =  - 1/x³ не имеют экстремумов? (Производная на всей D(у) имеет один знак).
• Глядя на данную таблицу, постройте схематично график функции (кодоскоп).

• В какой точке производная функции y = |x+5| не существует? (x = -5)
• В чём различие понятий “точка экстремума” и “экстремум функции”? (абсцисса точки и ордината точки).

3. Работа с тестом. (Определение количества преступников)

Учитель. С отпечатками пальцев мы разобрались, переходим к определению количества преступников.

Проводим небольшую проверку техники дифференцирования. Используем для этого компьютеры. Каждый детектив получает свою оценку, команде засчитывается средний балл.

Тест (текст программы, написанной на языке BASIC, см. приложение 1).

4. Построение графика. (Поиск шифра к сейфу)

Учитель. Судя по всему, преступник был один. Теперь попробуем угадать шифр сейфа.

Строим график функции и выясняем, сколько корней имеет уравнение f (x) = a в зависимости от a. Кто справится с решением первым, подходит к эксперту (по одному детективу от команды). Первый детектив приносит команде 5 баллов, второй — 4.5 баллов и т. д.

f (x) = ;

x_max = 1; y_max = f(1) = 1/2

Проверяем на кодоскопе.

При a = 1/2 и a = 0 — 1 корень.
При a є (0; 1/2) — 2 корня.
При a є (1/2; )

5. Решение задач. (Поиск свидетелей)

Учитель. Итак, шифр 120012120 угадан. Открываем сейф и с большим сожалением видим, что он пуст. Продолжаем поиски, ищем свидетелей.

Перед вами лежат условия задач. У меня также они написаны на карточках. Представители команд, подойдите ко мне и выберите карточку. Решайте свои задачи у доски. В случае затруднений помощь своему детективу оказывают товарищи. Если детективы, сидящие за столами, решили свои задания, они работают с другими и, по необходимости, оказывают помощь коллегам из других команд. Оценка ставится в зависимости от правильности и скорости решения.

(Тексты в конвертах).

• Дана функция f (x) = |x-1|+x²/2. Построить график функции y = f ‘ (x).
• При каких значениях m функция f(x) = 2x³- 3(m+2)x²+48mx+6x-3 возрастает на всей числовой прямой?
• Найти наименьшее значение a, при котором x = 6 является точкой экстремума функции y = (x-a)³ - 3x+a.
• При каких значениях параметра a, функция f (x) = 2ax³+9ax²+30ax+60 убывает при всех значениях x?

Учитель. К нашему огорчению, найденные свидетели ничем следствию не помогли, кроме того, что подтвердили, что преступник был один. Остаётся последнее средство. Поскольку я являюсь ведущим детективом (смею надеяться, заслуженно), у меня есть идея, которой я поделюсь с вами, если вы быстро решите не совсем стандартное задание.

Найдите наименьшее значение функции f (x) = 3x+27/x на

(кодоскоп)

f' (x) = 6-27/x² = 0; x₁ = 3, x₂ = -3

f (1) = 30, f (3) = 18; f (6) = 18+27/6

min_[1;6] f (x) = f (3) = 18

6. Построение графика квадратичной функции. (Нахождение украденных документов)

Учитель. Молодцы. А теперь возьмите в руки план классной комнаты (см. рисунок 5). Вам необходимо построить в данной системе координат график функции y = (x-5)²-6 и найти кратчайшее расстояние от точки минимума до прямой x = -4. Точка, в которую вы попадете, укажет, где спрятана папка. (Детективы находят нужную точку и видят спрятанную под столом папку).

Уважаемый потерпевший, это ваша вещь?

Потерпевший благодарит команды за помощь.

7.  Итог урока. Задание на дом

Итак, в нашей игре “Детектив-шоу” победила команда _______.

Все участники получают оценки за тест.

Кроме этого, _____.

Задание на дом.

Стр. 173 № 10 (а, б); № 11. 2) а, б; 3) а, б.