Формирование единой картины мира на уроках математики

Какими дети рождаются, это ни от кого не зависит, но чтобы они путем правильного воспитания сделались хорошими – это в нашей власти.

Плутарх.

Предмет нашей деятельности духовный мир ребенка. Знания важны, это бесспорно, но общая образованность важнее. Это не только знания, но и созданный интеллектуальный потенциал. И одна из важнейших целей преподавания – организовать перевод знаний в убеждения. В связи с этим, ведущим принципом совершенствования методической системы обучения математике является системный подход и гуманизация математического образования, т.е. его ориентация на развитие человеческой личности.

В основе преподавания предмета должен лежать “принцип окна”. Это один из принципов школы “Экология и диалектика”, и я согласна с ним. Через разные предметы реализуется изучение граней одного и того же мира, причем границы между этими гранями достаточно условны и подвижны. Такая математика должна “вырастать” из самой жизни и быть тесно связана с жизнью. Роль интеграции в учебном процессе велика. Она непосредственно влияет на достижение обучающей, развивающей и воспитывающей целей обучения. Интеграция формирует у учащихся научное мировоззрение, помогает видеть мир в движении и развитии, позволяет сформировать такую систему знаний, которая предстает перед учащимися не как застывшая, а как динамичная, качественно изменяющаяся, сокращает затраты времени.

Существует два основных уровня интеграции в обучении: уровень “вторжения в чужую область” и уровень “использования общих методологических принципов”. Примером интеграции на первом уровне могут служить уроки, которые проводились с учителем физики в 10 классе по теме “Применение производной в физике и технике”, “Интеграл и его применение в физике”. Одна из целей данных уроков – показать, что производная и интеграл относится к числу понятий, которые имеют прямой выход в физику, теоретическую механику. К этому же уровню интеграции относится урок по теме “Координатная плоскость”, который проводился в 6 классе совместно с учителем географии. Интеграция через исследование общих методологических основ базируется на двух принципах – принципе фундаментальности вероятностных закономерностей и принципе симметрии. В первом случае речь идет о диалектике необходимого и случайного, а во втором – о диалектике симметрии и асимметрии. Более подробно об этом можно прочитать в работах Л.В.Тарасова.

Задачи, которые ставит перед выпускником средней школы жизнь, в большинстве своем связаны с необходимостью анализа влияния случайных фактов и принятия решения в ситуациях, имеющих вероятностную основу. С элементами теории вероятностей я знакомлю учащихся 6-7 классов на спецкурсе “Закономерности окружающего мира”. Основой курса послужила книга Л.В.Тарасова “Неслучайная случайность”.

Обычно о симметрии говорят в чисто геометрическом плане как о симметрии формы, симметрии положений. Но понятие симметрии значительно шире. Проходя тему “Симметрия”, я читаю лекцию “Симметрия в окружающем нас мире”. Идеи симметрии определяют в значительной мере наше видение мира, приводят к пониманию красоты мира, его внутренней сбалансированности и его развития, позволяют проникать в самую суть всего сущего.

У многих учащихся познавательные интересы имеются. В тех случаях, когда математика не входит в сферу интересов ученика, необходимо использовать каждую возможность привлечь внимание учащихся к любой особенности, ко всему тому, что способно расположить к математике. Богатый материал для этого можно найти в книге И.Г.Зенкевича “Эстетика урока математики”.

Искусственное включение в урок математики какого-то литературного или художественного фрагмента не всегда достигает цели, не всегда оставляет след в душе ребенка, поэтому очень важно определить место и время наглядной демонстрации связей математики и искусства. Удачным, на мой взгляд, является урок - устный журнал по теме “Математические основы законов красоты”, который я провожу после изучения темы “Пропорция”.

Математика слишком заметная тема жизни, чтобы не стать темой литературы. Поэтому я, по возможности, включаю в урок такие математические фрагменты из художественных произведений. Например, 10 класс, в теме “Решение задач на наибольшее и наименьшее значение функции” можно использовать рассказ Л.Толстого “Много ли человеку земли надо”. 7 класс, начать тему “Решение задач с помощью уравнений” можно с рассказа А.Чехова “Репетитор”, в котором Петя Зиберов предлагает решить задачу с помощью х и у. Большую помощь в изучении свойств функции могут оказать пословицы.

А вообще, понятие функции помогает связать воедино окружающий мир, увидеть его гармонию. Урок об этом я провожу в 6 классе при обобщении темы “Функция”.

Для того чтобы сделать математику доступной и увлекательной, нужно вызвать восхищение и удивление ребят, предложить им такой материал, который незаметно вовлечет их в полезную целенаправленную деятельность. Так, изучая теорию делимости в 5 классе, мы обращаемся к истории ее развития в халдейской, египетской, индусской, китайской древнейших культур, из которой узнаем, что древняя наука была связана с суеверием.

Математиками станет лишь небольшая доля наших учеников. Подавляющее большинство выберет профессию не связанную тесно с математикой. Что даст математика их будущей профессии? Вот на какой вопрос мы должны дать ответ каждому школьнику, чтобы он видел живую и непосредственную связь математических методов с задачами естествознания.

Фрагмент урока “Координаты и координатная плоскость”.

“На свете существует очень много наук, и все науки тесно связаны друг с другом. Нельзя заниматься химией, не зная физики, биологией, не зная химии, географией, не зная биологии.… Но есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это – математика. Ее понятия, представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки… Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед и с огромной точностью ход вещей”.

Этими словами Соболева начала урок учитель математики.

Затем учащиеся с учителем географии повторили, как определяются географические координаты, находили долготу и широту географического объекта, и объект по известным координатам.

На следующем этапе учитель математики рассмотрела нулевой меридиан и нулевую параллель, и учащиеся сделали вывод, что если на них указать положительное направление, то мы получим две координатные прямые, которые пересекаются в начале отсчета. Таким образом была введена координатная плоскость и ее составляющие. Далее учащиеся сделали сообщения: “О координатной плоскости”, “Рене Декарт”.

После этого рассмотрели ситуации, в которых можно встретить применение координатного метода:

• Адресная система;
• Зрительные места в кинотеатре;
• Шахматы;
• Морской бой;
• Схемы для вышивания и вязания;
• Рисование по клеточкам (палетка).

Дальше были математика и география вперемешку. Учащимся были предложены занимательные задачи на нахождение географических координат знаменитых водопадов, горных вершин, а также построение точек на координатной плоскости и нахождение координат заданных точек. На дом ребята получили задание нарисовать на координатной плоскости какую-нибудь фигуру и определить координаты узловых точек.

Фрагменты лекции “Симметрия в окружающем нас мире” для 10 класса.

На лекции рассматриваются вопросы: симметрия в строении животных, поворотная симметрия цветов, винтовая симметрия, которая в биологии носит название филлотаксиса, симметрия кристаллов, симметрия в архитектуре, симметрия в стихе, музыке и т.д.

Известный математик Г.Вейль отмечал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту, совершенство”.

Вот, например, симметрия в стихотворении проявляется при переносе от одной строки к другой через рифмы, через одно и то же число ударных слогов. Наверное, отсюда такая музыкальность в стихотворении. Обращаясь к словам как к символам, ориентированным в одном направлении, находим слова-палиндромы типа “радар”, “заказ”, читающимися одинаково во всех направлениях. Существуют даже палиндромные предложения, а то и маленькие рассказы и стихи. (“Торт с кофе не фокстрот”, “Я не мил – и не женили меня”). У поэта Д.Авалиани есть такие строки:

Море могуче. В тон ему,
Шумен, отвечу Гомером:
Море, веру буди – ярок,
Скор, я иду буривером.

Но палиндромы существуют не только в русском языке.

Draw pupil^,s lip upward! – Подтяни вверх губу ученика!

Мелодии так же можно рассматривать как звуки, упорядоченные во времени. В XY веке было модно сочинять палиндромные каноны, в которых побочная тема лишь повторяла с конца к началу главную тему. Ярким примером служит “Искусство фуги” Баха, которую можно включить во время этого фрагмента лекции.

Симметрия связана с сохранением. Как известно “все течет, все изменяется”, всюду действуют случайности. И тем не менее, “все возвращается на круги своя”; совершаются круговороты, за летом неумолимо следует осень, деревья ежегодно сбрасывают листья. Мы часто не задумываясь, предсказываем то, что будет завтра, просто потому, что так было всегда. Так из обычных наблюдений родились народные приметы:

Кошка на печи – к стуже, а кошка на полу – к теплу.

Если летом ночью не было росы, назавтра будет дождь. И т.д.

Конечно, в жизни не бывает абсолютной симметрии. И все-таки, законы природы не меняются со временем, и поэтому – чтобы ни происходило, а энергия сохраняется.

Симметрия выделяет общее в объектах и явлениях. Мир многообразен, но одновременно и един. Выделяя общее, симметрия позволяет широко использовать метод аналогий. Формула ДНК моделируется как винт, спин макрочастицы моделируется в виде своеобразного волчка. Аналогия между различными процессами позволяет описать их общими уравнениями. Одно и то же уравнение описывает процесс радиоактивного распада, разрядку конденсатора, уменьшение интенсивности светового пучка по мере прохождения через среду, это дифференциальное уравнение экспоненциального убывания.

Симметрия предопределяет необходимость: она действует в направлении сокращений числа вариантов. Так существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Симметрия налагает ограничения на разнообразие структур молекул и кристаллов. Во Вселенной мириады атомов. Но благодаря тому, что все электроны тождественны, т.е. симметричны относительно взаимных перестановок, равно как тождественны все протоны и вообще все частицы одного и того же типа, все эти мириады атомов реализуют относительно малое число вариантов, систематизированных в периодической системе элементов. Законы сохранения – это правила запретов. Так закон сохранения энергии запрещает вечный двигатель, а закон сохранения импульса запрещает самого себя поднять за волосы.

“Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности”, - В.Вернадский.

Фрагменты урока (устный журнал) в 6 классе по теме “Математические основы законов красоты в искусстве”

(после изучения пропорциональной зависимости).

Первая страница знакомит ребят с пропорциями в Древней Греции, вторая рассказывает, как записывались пропорции, на третьей – решаются задачи на пропорциональное деление из арифметики Магницкого. Четвертая страница знакомит учащихся с “Гармонической пропорцией”, в это время звучит легкая мажорная музыка.

Каждое настоящее искусство имеет свою теорию. Часто эту теорию можно выразить в терминах математики. Так, в школе Пифагора получила свое первоначальное оформление теория музыки.

Длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из благозвучных аккордов – мажорный, удовлетворяют пропорции, получившей название “музыкальной” или “гармонической пропорцией”. А числа колебаний этих струн образуют непрерывную арифметическую пропорцию.

Т.о., приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам и нам становятся понятны слова пушкинского Сальери:

…Проверил
Я алгеброй гармонию. Тогда
Уже дерзнул, в науке искушенный,
Предаться нею творческой мечты,
Я стал творить…

Становление музыки как искусства в древности и вся ее последующая история теснейшим образом связаны с математикой и физикой. Математическому анализу подлежит и звук, и тембр, и лад, и гармония.

Пятая страница повествует о “золотом сечении”.

Скульптура. “Созерцая совершенное, прекрасное человеческое лицо и тело, невольно приходишь к мысли о каком-то скрытом математическом изяществе его форм”. (Н.И.Крюковский).

х а-х а:х = х:(а-х) = 1,61804…

Такое отношение называют “золотое сечение”. Идеально сложенное человеческое тело всецело построено на принципе “золотого сечения”. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела придется как раз на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура, и художники знают, что вопреки общему мнению, мужчины красивее сложены, чем женщины. Этот закон был известен древним грекам, но честь воскрешения его принадлежит немецкому ученому Цейзингу.

Архитектура. В архитектуре “золотое сечение” применяется сознательно и играет огромную роль. Для примера можно рассмотреть одно из знаменитейших произведений древнегреческой архитектуры – Парфенон.

Священный холм и храм
Божественной Афины,
Великолепный Парфенон.
Похоронив забытые руины,
К богам Олимпа устремлен. (Н.А.Васютинский).

Если внимательно присмотреться к башням Московского Кремля, тоже можно найти “золотое сечение”.

Священная красота Египетских пирамид также объясняется этой пропорцией.

Природа. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена на месте “золотого сечения”. Эта связь между листорасположением и “золотым сечением” была открыта в первой половине XIX столетия уже упомянутым ранее Цейзингом.

Урок сопровождается мультимедийной презентацией. (См. приложение 1).

Фрагменты урока в 7 классе по теме “Как функция может связать воедино окружающий нас мир”.

Этот урок начинается с вопросов: “Какого цвета миллион? Как звучит таблица умножения?”

Используя понятие “функция” можно понять самую неожиданную связь между величинами.

“Установить соответствие и задать функцию означает одно и то же” (Маркушевич). Устанавливая соответствие, можно связать воедино окружающий нас мир.

Устанавливаем соответствие между натуральными числами и нотами: 1 – до, 2 – ре, 3 – ми, 4 – фа, 5 – соль, 6 – ля, 7 – си, 8 – снова до и т.д. Вот и зазвучали числа. Чтобы, например, определить как звучит 30, нужно 30:7=4(2) – следовательно, как число 2 – ре.

Солнечный спектр состоит из 7 цветов - красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Значит числу 1 можно поставить в соответствие красный цвет, 2 – оранжевый и т.д. Теперь не только можно ответить какого цвета миллион, но и как он звучит.

1000000:7=142857(1) – красный цвет, нота до.

Значит музыку можно представить, увидеть, т.е., можно нарисовать пейзаж, который передаст музыка, или портрет человека, характер которого слышен в музыке. Некоторые композиторы обладали способностью видеть звук, окрашенный в тот или иной цвет. Эта способность называется синопсинт. Ею обладал Римский – Корсаков. Но только Скрябин претворил эту способность в своем творчестве. Он предвидел огромную силу воздействия образов, возникающих в сочетании причудливой игры звуков и красок. Его произведения назывались “Поэма огня”, “Темное пламя”, “Прометей”.

“Будь благословенно божественное число, породившее богов и людей” (Пифагор). Да, число со времен Пифагора обожествляли, связывали с ним удачу и неудачу, происходившие вокруг события. Далее рассматривается зависимость в представлении астрологов.

После этого рассматриваем цветную таблицу умножения, слушаем как она звучит.

Урок заканчивается словами Б.Рассела “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой холодной и суровой, подобно красоте скульптуры… возвышенно чистая, способная к такому строгому совершенству, которое доступно только величайшему искусству”.

Функциональная зависимость в представлении астрологов

Таблица умножения

Больше пользы приносит рассмотрение одного и того же предмета с десяти различных сторон, чем обучение разным предметам с одной стороны. А.Дистервег

Презентация