Обобщающий урок по теме «Показательные функции, уравнения, неравенства»
Цель урока: обобщить и закрепить знания методов решения показательных уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции.
Оборудование:
- Доска.
- Кодоскоп с кодопозитивами.
- Индивидуальные карточки с заданиями.
План урока:
- Устный счет.
- Решение упражнений.
- Применение показательной функции в природе и технике.
- Проверочная работа «Лабиринт».
Ход урока:
I. Организационный момент.
II. Устный счет:
За каждый правильный ответ выдается жетон. По окончании работы ученики, получившие большее количество жетонов, получают оценку.
1. Какая функция называется показательной?
2. Какова область определения функции y=0,3x?
3. Какова область определения показательной функции?
4. Какова область значения функции y=0,3x?
5. Какими свойствами может обладать функция?
6. Дайте определение возрастающей, убывающей функции.
7. При каком условии показательная функция является возрастающей?
8. При каком условии показательная функция является убывающей?
9. Возрастает или убывает показательная функция
10. Для чего необходимо знать свойства возрастающей и убывающей функции?
11. Сравните: 
12. Зная свойства возрастающей и убывающей показательной функции, решите неравенства
13. Какое уравнение называется показательным?
14. Решите уравнение: 3x=1
Чтобы решить это уравнение, необходимо знать, что a0=1.
Вычислить 7,80; 9,80
15. Указать способ решения показательных уравнений:
Почему?
Проверочная работа.
Указать способы решения показательных уравнений.
Результаты занесите в таблицу:
| Приведение к одному основанию | Вынесение общего множителя за скобки | Замена переменного (приведение к квадратному) |
| 2, 5, 10, 12 | 1, 7, 9, 11 | 3, 4, 6, 8 |
Задание выполняется на листочках. После выполнения пары меняются листочками. Проверка по кодоскопу.
Таким образом мы повторили свойства показательной функции, методы решения показательных уравнений.
III. Решение упражнений:
№ 4.59 (сборник Дорофеева)
Какие свойства степени использовали при решении уравнения?
Какие методы решения показательных уравнений использовали?
№ 4.111.
№ 4.121
Ответ: (1/4; 1,5)
IV. Применение показательной функции в природе и технике.
Тема «Показательная функция» является основополагающей при изучении таких тем, как «Производная показательной функции», «Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», используется для решения некоторых задач судовождения.
Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:
T=(T1-T0)e-kt+T1,
где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.
При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины.
Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.
Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.
Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.
Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: s=Ae-ktsin(?t+?). Так как множитель е-kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.
Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество.
Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.
Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.
Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:
Пьер Кюри - 1903 г.
Ричардсон Оуэн - 1928 г.
Игорь Тамм - 1958 г.
Альварес Луис - 1968 г.
Альфвен Ханнес - 1970 г.
Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.
Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора).
V. Проверочная работа: Лабиринт. Выполняется на листочках, по окончании работы сдается.
Работа в парах. Решение начинается с карточки с указанным в таблице номером. Корень уравнения является номером следующей для решения карточки и т.д.
Таблица для лабиринта:
| 1. | 3 |
| 2. | 2 |
| 3. | 2 |
| 4. | 2 |
| 5. | 2; 0 |
| 6. | 1 |
| 7. | 5 |
| 8. | 2 |
| 9. | 3 |
| 10. | 1 |
| 11. | 3 |
| 12. | 3 |
| 13. | 1 |
| 14. | 2 |
Итог урока: Сегодня мы с вами повторили и обобщили знания методов решения показательных уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции. Мы сказали, что понятие показательной функции было введено в XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в этой области находятся на уровне знаний ученых того времени. Сейчас на дворе XXI век. Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте, достигайте уровня ученых наших дней.