Введение переменных и составление уравнений в задачах

Цели и задачи урока:

• Систематизировать способы введения переменной в текстовых задачах через повторение вариантов составления уравнений и закрепление навыков составления краткой записи.
• Развивать логическое мышление учащихся, учить сравнивать, анализировать, выбирать наиболее рациональное решение, формировать правильную математическую речь.
• Развивать навыки самостоятельности, самообучения.

Форма урока: урок обобщения навыков, исследовательская работа.

Оборудование урока:

• Магнитная доска.
• Индивидуальные доски учащихся, фломастеры.
• Таблички для обобщения, формулировки выводов.
• Кружки разного размера для работы на доске.
• Раздаточный материал для учащихся с текстом задач /приложение 1/.

Структура урока:

1. Организационный этап. (2 мин)

2. Пропедевтический этап. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (3 мин).

3. Постановка цели и задач урока (1 мин).

4. Выбор переменной в задачах (10 мин).

5. Способы составления уравнений (15 мин).

6. Итог урока (3 мин)

7. Комментирование домашнего задания (1 мин).

8. Самостоятельная работа (10 мин)

На доске:

• Тема урока, число (центральная доска слева).
• Примеры для устного счета (дополнительная доска слева).
• Домашнее задание (дополнительная доска справа)
• Тексты задач 1д, 1е из раздаточного материала (доп.доска справа внутри, т.е. не видна в начале урока)

1. Организационный этап (2 мин).

Перед началом урока (до звонка) учитель собирает тетради с домашней работой.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Откройте тетради, запишите число. В дневник запишите домашнее задание (показывает на доске): №1373в, задача №3 в приложении.

Закройте дневники, подготовьте доски, поиграем в «молчанку».

2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. (3 мин).

Учитель раскрывает дополнительную доску, учащиеся пишут ответы на индивидуальных досках:

• Привести подобные слагаемые:
  
• Записать в виде десятичной дроби: 40%; 20%; 185%; 7%.
• Выразить значение десятичной дроби в процентах: 0,35; 02; 0,03; 1,25.
• Найти 2/3 oт     x; 5/7 от     a.
• Найти число, если 3/4 его составляют r. Найти число, если 5/7 его составляют n;
• Выделить целую часть 5/3; 3/2; 8/3.

Учащиеся по просьбе учителя записывают ответ на индивидуальной доске, показывают учителю ответ. При затруднении кто – либо из учащихся комментирует решение. При значительном затруднении решение записывается в тетрадь. Но к данному уроку эти задания должны быть достаточно отработаны и только повторяются.

3. Постановка цели и задач урока (1 мин).

Учитель: Мы говорили ранее, что умение решать задачи является основным. Задачи можно решать по-разному. Одним из способов является решение с помощью составления уравнения. Этим способом мы с вами только начинаем овладевать. Важным моментом для умения решения задачи с помощью уравнений является выбор переменной. Ведь это самое начало решения! А как начнешь дело, так и его закончишь.

Сегодня на уроке мы повторим некоторые возможные способы выбора переменной, рассмотрим достоинства и недостатки этих способов.

А в конце урока мы должны будем определиться в ответе на вопрос: как же вводить переменную и составить уравнение, чтобы задача легче решалась? Запишите тему урока.

4. Выбор переменной в задачах (10 мин).

Предлагаем отработанный блок вопросов для работы с условием текстовой задачи:

Учитель: Посмотрите на задачу 1а (см. Приложение 1). Прочитайте условие задачи.

• О чем говориться в задаче? (Предполагаемый ответ: в задаче говорится о поле)
• На какие части можно условно разделить поле в задаче? (I участок, II участок)
• Какая величина характеризует поле? (Площадь поля)
• В чем она измеряется? (Гектарах)
• Какова площадь поля? (2,4 га)
• Какова площадь первого участка? (Неизвестна)
• Какова площадь второго участка? (Неизвестна)
• Какова зависимость между неизвестными величинами? (s1>s2 на 0,8 га)
  В процессе беседы по типовым вопросам на доске и в тетрадях учащихся появляется краткая запись условия задачи

• Какую смысловую нагрузку несет значение величины s=2,4га? (Если к площади первого участка прибавить площадь второго участка, то получим значение площади всего поля или 2,4 га по условию задачи).

Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо ввести переменную и составить уравнение.

• Значение какой величины можно обозначить через переменную? (Площадь второго поля обозначим через х, т.к. она меньшая)
• Как выразить другую величину? ((х+0,8)га)
• Можно ли обозначить буквой значение другой величины? (Да: площадь первого поля обозначим через у)

В результате этой части беседы краткая запись дополняется кружками, обозначающими зависимость между величинами:

• Каким из этих способов предпочтительнее вводить переменную? (Первым, но незначительно. Способы практически равнозначны)

Разберем в парах введение переменной в задаче 1б (см. Приложение 1)

Учащиеся работают в парах с соседом по парте. Один ученик задает вопросы, другой отвечает. Считаем необходимым отметить, что одним из навыков решения задачи является умение задавать вопросы самому себе. К данному уроку работа над умением задавать вопросы велась неоднократно. Две пары учеников выполняют работу на доске. После пары проверяют записи на доске друг у друга вместе с классом. Лучшую запись оставляют на доске. Ответы учащихся оцениваются друг другом. Учитель комментирует сам или требует комментариев от учащихся по вопросу выставления оценок. В результате на доске остается запись:

• Какой способ введения переменной рациональнее? (Первый)
• Можно ли вводить переменную вторым способом? (Да, если выполнить преобразования: y : 3 = y * 1/3 = 1/3 y)

Аналогично организовать работу над задачами 1в, 1г.

Получить на доске краткие записи работы:

В соответствии с уровнем подготовки школьников следует уделять внимание логическим пояснениям и математическим преобразованиям в каждом случае. Обязательно подвести учащихся к выводу, что любой способ введения переменной является правильным, но не любой – самым легким для последующего решения.

Учитель: Какие зависимости между неизвестными величинами мы уже рассмотрели? (Больше – меньше, одна величина является частью от другой, в том числе процентной) Рассмотрим другие случаи зависимости: (тексты дублировать на дополнительной доске, краткая запись – в результате беседы)

Необходимо отметить, что мы уделяем особое внимание символическим обозначениям. Мы вводим свои условные знаки, которые являются как бы мостиком при переводе информации с русского на математический язык. Так, зависимость между величинами мы обозначаем кружками, которые позволяют легче усвоить смысл уравнивания величин с помощью весов, а разность обозначаем в виде гири, которая к этому времени трансформировалась в прямоугольник. Поэтому наиболее тяжелая для учащихся зависимость «разность чисел» легко переформулируется в «больше - меньше».

Учитель: Подведем итог нашей работы.

Нужно, чтобы учащиеся самостоятельно сделали ряд выводов:

• Существуют различные зависимости между величинами (больше – меньше, часть – целое, сумма, разность)
• Выбор переменной может быть любым.
• От выбора переменной зависит дальнейшее решение задачи.

5. Способы составления уравнений (15 мин).

Учитель: Мы уже отметили, что умение ввести переменную для решения задачи очень важно. Но в тексте задачи обычно несколько условий, характеризующих зависимость между величинами. Причем никогда не сообщается, при помощи какого условия надо вводить переменную. Кроме того, решение не ограничивается введением переменной. Давайте вспомним, как расчленять условие задачи на отдельные части.

Прочитайте задачу №2 (см.Приложение)

1. О чем говорится в задаче? (В задаче говорится о возрасте)
2. На какие части можно условно разделить возраст? (Возраст отца и возраст сына)
3. Знаем ли мы возраст отца? (Нет)
4. Знаем ли мы возраст сына? (Нет)
5. Прочитайте условие, которое связывает возраст отца и возраст сына. (Их два: сын младше отца в 4 раза; отец старше сына на 27 лет)
6. Переформулирем эти условия так, чтобы использовалась уже известная зависимость. (Возраст сына в 4 раза меньше, чем возраст отца; возраст отца на 27 лет больше возраста сына)
7. Переформулируем условия так, чтобы сравнивался возраст отца с возрастом сына. (Возраст отца больше возраста сына в 4 раза, возраст отца больше возраста сына на 27 лет)
8. Переформулируем условия так, чтобы сравнивался возраст сына с возрастом отца. (Возраст сына меньше возраста отца на 27 лет. Возраст сына меньше возраста отца в 4 раза.).

В результате на доске и в тетрадях учащихся появляется основная краткая запись (учащиеся в тетради её не делают, но на доске эта запись будет в работе в течение всего решения):

9. В задаче выделились два условия и вопрос. (Вопрос: сколько лет отцу?)
10. Каким способом можно решать задачу? (Задачу можно решать с помощью уравнения, так как значения обеих величин неизвестны, а известна зависимость между ними)
11. С помощью какого условия можно ввести переменную? (Возраст сына на 27 лет меньше, чем возраст отца).
12. Для чего тогда можно использовать второе условие? (Второе условие можно использовать для составления уравнения.) На доске прикрепляются таблички:

    Для введения переменной

    Для составления уравнения

13. Составьте в тетради и на доске краткую запись:

    

14. Составьте схемы уравнений и сами уравнения по второму условию. Учащиеся составляют в тетради и на доске схемы и уравнения по ним:

    

15. Какой вариант кажется вам рациональнее? (Обычно учащиеся выбирают третье уравнение. Остальные решать пока не умеем. Обводим его в рамку.) Желательно учителю выписывать выбранные уравнения на отдельной доске для того, чтобы учащиеся сделали общий вывод.

16. Возможно ли обозначить переменной значение другой величины? Введите переменную по-другому, составьте схемы уравнений, сами уравнения, сделайте вывод.

Дети составляют краткую запись, схемы уравнений, уравнения самостоятельно в тетрадях. На дополнительных досках работают два ученика. Вместе выбираем уравнение, которое наиболее удобно для решения. Сравниваем его с первоначальным, делаем выводы: схемы для составления уравнений одинаковые, т.к. условие для составления уравнения не изменилось. Схемы можно было не составлять. Уравнения отличаются незначительно.

17. Можно ли было использовать первое условие для составления уравнения, а второе – для введения переменной. (Да) Меняем таблички с надписями «для составления уравнения», «для введения переменной» местами в основной краткой записи.

Учащиеся самостоятельно составляют схемы уравнений, уравнения. На доске записываем только то, которое они считают рациональным.



18. Можно ли ввести переменную по-другому, используя условия для тех же целей? (Да)

Составляем краткую запись, схемы уравнений, уравнения самостоятельно в тетрадях. Вместе выбираем уравнение, которое наиболее удобно для решения, записываем его на доске.

6. Итог урока (3 мин).

При подведении итога урока учащиеся просматривают вторую часть классной работы, подсчитывают количество возможных вариантов составления уравнения в зависимости от введения переменной в задачу (пишут: I способ, II способ…). Повторяют вывод, уже сделанный для каждого способа. Учителю при самостоятельной работе учащихся необходимо следить за тем, чтобы наиболее рациональные варианты стояли на различных местах по порядку, иначе учащиеся могут сделать неправильный вывод.

7. Комментирование домашнего задания (1 мин).

Учитель: Дома вы будете решать пример (№1373в) и задачу № 3 из приложения. Каким способом будете вводить переменную? Верно, каждый своим способом. Решение задачи полностью записать в тетради.

• Так какой же способ самый правильный? (Никакой, правильные все)
• Какой саамы рациональный и легкий для решения? (Учащиеся могут назвать разные варианты) Запишите решение тем способом, который кажется вам рациональнее.

8. Самостоятельная работа (10 мин).

Учащиеся записывают решение уравнения и сдают тетради на проверку. Из опыта работы можем утверждать, что учитель успевает проверить работу учащихся и выставить отметки за урок за время выполнения всем классом самостоятельной работы. Учащиеся выполняют следующую домашнюю работу в этих же тетрадях.

Использование данной методики работы над текстовой задачей дает хорошие результаты.

Учебник: Н.Я. Виленкин и др., Математика, 6 класс.