Математика – это мощный фактор
интеллектуального развития ребёнка,
формирования его познавательных и творческих
способностей. С методической точки зрения,
очевидно, что характер и эффективность
математического развития ребёнка в дошкольном
возрасте в значительной мере становится
фактором успешности дальнейшего обучения
математике в начальной школе. Почему же ребёнку
трудно даётся математика уже в начальной школе?
Сегодня имеется достаточно большое количество
исследований (Т. И. Ерофеева, Н. И. Непомнящая, А. А.
Смоленцева, Е. И. Щербакова, О. А. Еник и др.),
отмечающих, что система обучения математике,
сложившаяся в дошкольных образовательных
учреждениях, недостаточно ориентирована на
развитие умственных способностей и
познавательных интересов детей, что приводит к
потере интереса, безразличному отношению к
учению уже в дошкольном возрасте и отрицательно
влияет на развитие личности, а также на
формирование учебной мотивации и общей
готовности к школьному обучению. Одна из причин
этого явления – неумение воспитателя
осуществлять математическое развитие
дошкольников, учитывая возрастные и
индивидуальные особенности детей. Закономерным
выводом упомянутых исследований является
необходимость повышения требований к качеству
подготовки специалистов для дошкольного
воспитания. “Современному детскому саду нужен
педагог, способный не только давать знания,
формировать умения и навыки, но и строить свою
работу на знании и развитии способностей и
возможностей ребёнка, на умении прогнозировать
его дальнейшее развитие”. Сегодня всё меньше и
меньше внимания в новых экспериментальных
учебниках уделяется формированию
вычислительных навыков учащихся – как устных,
так и письменных. Постепенно снижается
подготовленность детей: возрастает число ошибок
в определении порядка действий (от 15% до 20%
учащихся), хуже становятся умения решать
текстовые задачи (в частности за счёт ухудшения
техники чтения, вычислительных умений). Поэтому
одной из основных задач обучения школьников
математике является задача повышения
вычислительной культуры учащихся, начиная с
начальной школы.
Счёт в уме (устные вычисления) является
самым древним и простым способом вычислений.
Устному счёту уделял большое внимание известный
русский деятель в области просвещения доктор
естественных наук, профессор ботаники
Московского университета Сергей Александрович
Рачинский (1832-1902). В 1872 г. он переехал из Москвы в
своё имение, село Татево Смоленской губернии. Там
организовал начальную школу и сам преподавал в
ней, стремясь развить у крестьянских детей
математические способности и привить им интерес
к математике. Всем известна картина Н. П.
Богданова-Бельского “Устный счёт”. На ней
изображён С. А. Рачинский со своими учениками.
Обратимся к картине. На доске записан пример для
устного счёта:
.
Мальчик, конечно же, догадается, что сумма
квадратов первых трёх натуральных чисел равна
сумме квадратов следующих чисел, т.е. 
. Таким образом,
данное на картине числовое выражение равно 2. Под
силу ли эта задача нашим нынешним ученикам
начальных классов? Скажем сразу: нет! Не под силу
эта задача и среднему звену современных
учащихся. Учителя не отрабатывают у них
вычислительные навыки, ссылаясь на недостаток
времени. Но дело не только в отсутствии времени, а
в общем падении интереса к умственной
вычислительной работе.
В настоящее время бытует мнение, что
вычислительная работа должна стать уделом
компьютеров, а человек может отойти от этого
рутинного занятия. При этом мы не замечаем, что
всё более и более освобождая ученика от
вычислений, фактически освобождаем его от
умственного развития. “Развитие навыков должно
предшествовать развитию ума”. Это сказал
Аристотель 25 веков назад. На наш взгляд, в этой
цитате навыки рассматриваются как необходимое
условие развитие ума, а их совершенствование как
важная составляющая развития детей. Чтобы
довести умения до уровня навыка, надо, чтобы
каждый ученик выполнил примерно 600 упражнений в
течение месяца. 25 учеников в классе – 15 тысяч
упражнений. Сколько времени тратится на их
подбор и проверку. Зная, что наиболее быстрый
выход из подобной ситуации – технологичный, мы
стали искать технологию, которая поможет научить
детей считать быстро, на уровне навыка, не тратя
лишние силы и время. Ведь если простые умения не
доводятся до автоматизма, это не позволяет
совершенствовать умения сложные. То и тогда
задача развития мышления может оказаться
преждевременной, так как ученики плохо
вычисляют. Всем известно, что “сильные” ученики
опережают “слабых” в формировании умений и
навыков. Если работать на “слабых”, стараясь не
упустить их, “сильные” дети буквально будут
томиться на уроках, тормозится их развитие. Если
наоборот, то у “слабых” упадёт самооценка,
накопятся с катастрофической скоростью пробелы,
совсем упадёт интерес к учению. Как быть? За кого
хвататься? Опять нужна технология, способная за
короткий срок подтянуть детей, ускорить процесс
формирования у них вычислительных навыков. И
такая технология есть. Это технология
совершенствования вычислительных умений
Всеволода Николаевича Зайцева. Привлекла она
меня и мою коллегу Елену Геннадьевну Шурикову
тем, что результат достигается за очень короткий
промежуток времени, путь к увеличению скорости
вычислений лежит через уменьшение количества
ошибок, на уроке тренаж занимает всего минуту.
Ясно, что при совершенствовании вычислительных
умений удобно выбрать в качестве
результирующего признака скорость вычислений.
Технология предполагает для оценки освоения
умножения чисел следующие критерии: “5” - 40 цифр
в минуту, “4” - 30, “3” - 20 цифр в минуту.
Длительность выполнения – 1 минута. При оценке
выполненных работ неправильно вычисленные цифры
не учитываем. Не учитываем и заранее написанные
цифры условия. Первый диагностический замер
показал плачевный результат. Только несколько
учащихся в каждом классе выполнили норму. Ясно,
что успешно учиться с такими результатами
довольно трудно. Ведь низкая скорость вычислений
обусловлена большим количеством ошибок.
Большинство ошибок связано с незнанием таблицы
умножения. Поэтому необходимо системно работать
над освоением таблицы умножения. Она, как
правило, заучивается детьми вслух, а при решении
числовых выражений цифры воспринимаются
зрительно. Надо создать предпосылки для
успешного переключения канала восприятия. С этой
целью технология предполагает демонстрационные
карточки с цифрами 0-9. Мы, учителя, со стола берём 2
любых карточки и спрашиваем, не называя цифр, а
лишь показываем их ученикам: “Сколько?” Вопрос
задаём вопреки методике не в полной, а в краткой
форме. Ученики должны воспринимать цифры только
зрительно. Отвечают хором. За минуту тренировки
можно десяток раз предложить упражнение. Если
кто собьётся, слышно сразу. Тогда надо
подтвердить правильный результат. Одновременно
начали ежедневно выполнять основное упражнение
технологии: умножение двузначных чисел. Для того
чтобы сократить подготовительную работу,
заготовили 7 вариантов многоразовых карточек.
Так как задания в них не имели одинаковых
примеров, набор использовали довольно долго,
ежедневно сдвигая варианты. Удалось сократить
время и на проверку результатов. Повторение
упражнений периодически позволяет поддерживать
навык постоянно на высоком уровне, что в свою
очередь дало нам возможность больше времени
уделять изучению нетрадиционных тем, законов,
задач и уравнений. Упражнения технологии
распространяются и на другие математические
действия, изменяются лишь критерии результатов.
Так для оценки усвоения деления используется
следующая шкала: “5” - 27 цифр в минуту, “4” - 21,
“3” - 15. Прежде чем перейти к делению, надо
потренировать учеников в вычитании. За одну
минуту ученик должен выполнить 4 примера из 5.
Второй диагностический замер (в конце 2002-2003
учебного года) показал, что необходимо для
устранения ошибок организовать парную работу.
“Учитель” из числа детей фиксирует наиболее
частые ошибки своего ученика. Затем составляются
“сорбонки” (от названия парижского
университета) по количеству неусвоенных
учеником элементов таблицы. Ученик может играть
со своим “учителем” на переменах. Работа с
“сорбонками” кажется нам эффективной, так как
она концентрирует внимание только на тех
элементах таблицы, которые не освоены,
увеличивают частоту тренировок, раскрепощают
память в процессе игры, обеспечивают более
лёгкое запоминание. Следующий диагностический
замер показал, что преобладающими стали ошибки,
связанные с неразвитой оперативной памятью.
Считаем, что в этом наша вина, так как мы
разрешали делать пометки на листочках, а это не
способствует развитию оперативной памяти. Чтобы
исправить положение стали использовать
различные формы устного счёта.
Хорошо развитые у учащихся навыки
устного счёта – одно из условий их успешного
обучения в старших классах. Учителю математики
надо обращать внимание на устный счёт с того
самого момента, когда учащиеся переходят к нему
из начальной школы. Именно в пятых-шестых классах
мы закладываем основы обучения математике наших
воспитанников. Не научим считать в этот период –
будем и сами в дальнейшем испытывать трудности в
работе, и своих учеников обречём на постоянные,
обидные промахи. Устный счёт мы всегда проводим
так, чтобы ребята начинали с лёгкого, а затем
постепенно брались за вычисления всё более и
более трудные. Если сразу обрушить на учащихся
сложные устные задания, то ребята обнаружат своё
собственное бессилие, растеряются, и их
инициатива будет подавлена. Следует разделять
два вида устного счёта. Первый – это тот, при
котором учитель не только называет числа, с
которыми надо оперировать, но и демонстрирует их
учащимся каким-либо образом (записывает на доске,
указывает по таблице, проецирует на экран с
помощью кодоскопа). Подкрепляя слуховые
восприятия учащихся, зрительный ряд фактически
делает ненужным удерживание данных чисел в уме,
чем существенно облегчает процесс вычислений.
Однако, именно запоминание чисел, над которыми
производятся действия – важный момент устного
счёта. Тот, кто не может удерживать чисел в
памяти, в практической работе оказывается плохим
вычислителем. Поэтому в школе нельзя
недооценивать второй вид устного счёта, когда
числа воспринимаются только на слух. Учащиеся
при этом ничего не записывают и никакими
наглядными пособиями не пользуются. Естественно,
что второй вид устного счёта сложнее первого. Но
он и эффективнее в методическом смысле – при том,
однако, условии, что этим видом счёта удаётся
увлечь всех учащихся. Последнее обстоятельство
очень важно, поскольку при устной работе трудно
контролировать каждого ученика. Мы стараемся
сделать так, чтобы устный счёт воспринимался
учащимися как интересная игра. Тогда они сами
внимательно следят за ответами друг друга, а мы
становимся не столько контролёрами, сколько
лидерами, придумывающими всё новые и новые
интересные понятия. В своей работе мы применяем
следующие формы устного счёта: Магические
квадраты, Конь, Кто быстрее, Лучший счётчик,
Лабиринт сомножителей, Индивидуальное лото,
Светофор, Цветок, Солнышко, Кто быстрее достигнет
флажка, Числовая мельница, Числовой фейерверк,
Кодированные упражнения, Беглый счёт, Равный
счёт, Счёт-дополнение, Лесенка, Молчанка,
Эстафета, Торопись, да не ошибись, Не зевай,
Устная контрольная работа.
Повышению вычислительной культуры
способствуют и способы быстрых вычислений. Они
развивают память учащихся, быстроту их реакции,
воспитывают умение сосредоточиться. Вот
некоторые из них.
Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.
Если одно из слагаемых увеличить на
несколько единиц, то из полученной суммы надо
вычесть столько же единиц. Если одно из слагаемых
увеличить на несколько единиц, а второе
уменьшить на столько же единиц, то сумма не
изменится. Если вычитаемое увеличить на
несколько единиц и уменьшаемое увеличить на
столько же единиц, то разность не изменится. Если
от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел,
то в результате получится удвоенное меньшее
число, то есть 
.
Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то
в результате получится удвоенное большее число,
то есть 
.
Сложение столбцами.
Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.
Сложение с перестановкой слагаемых.
72+63+28=? Третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые. Сложим их 72+28+63=163. Соединяем слагаемые попарно: (3013+2118)+(74+126)=5200+200=5400.
Сложение десятичных дробей.
Складывать устно десятичные дроби следует подобно целым числам, то есть, начиная с высших разрядов: сначала поразрядно сложить целые части, затем – дробные десятичные доли.
Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел.
Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.
Примеры: 8•318=8• (310+8)=2480+64=2544
7•196=7• (200-4)=1400 - 28=1372.
Умножение методом Ферроля.
Для получения единиц произведения перемножают
единицы множителей, для получения десятков
умножают десятки одного на единицы другого
множителя и наоборот, и результаты складывают,
для получения сотен перемножают десятки. Этот
способ умножения следует из тождества
Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.
Число десятков любого множителя умножить на
число, которое больше на 1, затем перемножить
отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому
результату справа приписать второй. Этот способ
основан на тождестве 
.
Умножение чисел на 11.
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.
Умножение на числа вида
.
Умножить данное число на 
, потом на 11.
Умножение двузначного числа на 111.
Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.
Умножение однозначного или двузначного числа на 37.
Способ основан на равенствах 2• 37=74, 3• 37=111.
Умножение на 5, 25, 125.
Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.
Умножение на 9, 99, 999.
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
Умножение на 75.
Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300.
Умножение на 101.
Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.
Умножение на 1001.
Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.
Умножение чисел, близких к 100 и 1000
Примеры.
245•998=245•(1000-2)=245000-490=244510
375•999=375• (1000-1)=375000-375=374625
225•999=225• (1000-3)=222000-675=224325.
Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10
Примеры: 83•87=8•9•100+3•106=10••207=20•21•100+3•7=42021
Умножение двух рядом стоящих чисел
Правило. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц.
Умножение чисел, оканчивающихся на 1
Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.
Деление на 5, 25, 125
Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.
Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5
При умножении чисел, оканчивающихся цифрой 5 (одна цифра десятков – чётная, а другая – нечётная), надо к произведению цифр десятков прибавить целую часть половины суммы цифр десятков. Получим число сотен, и тогда к числу сотен следует приписать 75.
Однако 5-7 минут успешного счёта на
уроке не достаточны не только для развития
вычислительных навыков, но и для их закрепления,
если нет системы устного счёта. Организация
устных упражнений всегда была и остаётся “узким
местом” в работе на уроке: суметь за небольшое
время дать каждому ученику достаточную
“вычислительную нагрузку”, предложить
разнообразные задания, стимулирующие развитие
внимания, памяти, эмоционально-волевой сферы,
оперативно проверить правильность решений,
обеспечить необходимый уровень
самостоятельности в работе детей –
действительно весьма трудная задача. Помочь в
разрешении этой проблемы помогают, как
показывает опыт обучения школьников в средних
классах, наборы упражнений – тренажёры. Они
предназначены как для работы в классе на уроке,
так и для самостоятельной работы дома.
Задания-тренажёры позволяют предложить ученику
выполнить большой объём вычислений за небольшое
время. Таким образом, оттачиваются не только
собственно вычислительные навыки, формируется
“числовая зоркость”, но и тренируется внимание,
развивается оперативная память ребёнка. В
результате такой тренировки каждый ребёнок
приучается быстро и правильно считать и думать,
овладевает различными приёмами самопроверки,
значительно лучше ориентируется в числовых
множествах. Таблицы-тренажёры рассчитаны на
многократное использование. Все виды заданий
тренажёра разбиты на отдельные части. Каждая
такая часть – одна порция при проведении устного
счёта. При выполнении заданий ученик произносит
или записывает ответ каждого действия. При
выполнении цепочных вычислений результаты
промежуточных действий не записываются, ученик
фиксирует только окончательный ответ.
Задания-тренажёры можно предлагать как для
индивидуальной, так и для коллективной работы в
классе. В ходе устной работы на уроке с
использованием тренажёра можно проводить
математические эстафеты. Очень полезна работа в
парах, когда один ученик называет ответы соседу
по парте, а тот проверяет их правильность; при
выполнении следующего задания ответы называет
второй, а первый – проверяет. Вычислительные
навыки можно тренировать и так. В начале урока
дети получают карточки-задания. По сигналу
ребята начинают записывать свои ответы. Через 2
минуты тренировка заканчивается. После занятий с
учениками-помощниками подсчитываем количество
правильных ответов и заносим результаты в
сводную таблицу, которую вывешиваем в классе, и
так на каждом уроке. Время от времени для
объективности есть смысл проводить контрольный
счёт, где проверку ответов осуществляет сосед по
парте, либо сам учитель. Все мы знаем, что за 3
летних месяца значительно утрачиваются
имеющиеся у детей умения и навыки, поэтому для
восстановления их необходимо применять
упражнения технологического тренажера. Двух
недель ежедневной работы оказалось достаточно
для полной реабилитации навыка. Приведём пример,
как осуществить отработку вычислительных
навыков по теме “Обыкновенные дроби” в 6 классе.
Через один-два урока после того, как будет
изучено правило умножения дробей, и школьники
приобретут некоторый опыт письменных
вычислений, объясняем, как выполнить устно
умножение 
, и
предлагаем задания из блока 1 (Приложение 1).
Учащиеся записывают только ответы и при
необходимости устно поясняют свои действия. В
следующий раз снова объясняем, как устно
выполнить умножение 
и предлагаем учащимся задания из блока 2 (Приложение 1). В блоках 3 и 4
задания усложняются (Приложение
1). Целое число, умножаемое на дробь, уже не
всегда оказывается кратным знаменателю этой
дроби, как в блоке 1. Знаменатель дроби тоже не
кратен целому множителю, как это было в блоке 2.
Блок 3 посвящен умножению дробей на 60. Это
упражнение пригодится при решении задач на
движение, когда учащимся придётся определять,
сколько минут составляет одна треть часа,
четверть часа, три четверти и т.д. В этом же блоке
учащимся приходится впервые устно умножать
дробь на такое же целое число, которое не кратно
знаменателю данной дроби, хотя и имеет с ним
общие делители. Такая же ситуация повторяется в
блоке 4. Блок 5 посвящён умножению целого числа на
такую же дробь, знаменатель которой взаимно
прост с целым множителем. В блоках 3 и 6 впервые
при устном счёте приходится умножать целое число
на так называемое смешанное число. Выполняя
задания из этих блоков, нужно применять
распределительный закон. Например:
Такие
упражнения полезны не только ученикам 6 класса,
но и старшеклассникам, которые, как показывает
опыт, не используют распределительный закон в
вычислениях, предпочитая переводить смешанное
число в неправильную дробь. В блоке 7
отрабатывается способ умножения на число,
содержащее целую часть и простейшую дробь:
-и их более сложные
вариации:
. Эта
методическая линия повторяется в блоке 8, но уже
на более разнообразных заданиях. В блоке 9 снова
повторяется умножение на 2, но уже не целого числа
на дробь, а дроби на целое число. Во втором
столбике этого блока появляются смешанные числа,
а в третьем происходит переход к умножению
дробей в простейшем случае, когда есть
возможность для сокращений. В блоках 10, 11
встречаются как “хорошие” случаи умножения,
когда можно сокращать, так и случаи “плохие”.
Блок 12 посвящён делению дроби на целое число,
причём сокращения не предусматриваются.
Возможность сократить дробь появляется в блоке
15. Следующие задания принципиально отличаются от
заданий блоков 1-12. Теперь речь идёт о тренировке
в действиях с обыкновенными и десятичными
дробями. Перед выполнением заданий из следующих
блоков полезно попросить учащихся обратить
данные ниже десятичные дроби в обыкновенные
несократимые:0,5; 0,8; 0,25; 0,75; 0,125; 0,375; 0,625; 0,750; 0,45; 0,64;
0,72; 0,99. После такой тренировки можно перейти к
упражнениям блоков 13-16. Следует иметь в виду, что
в заданиях из блока 16 не нужно обращать
десятичную дробь в обыкновенную. Пусть, например,
требуется вычислить 0,36•
. Отбрасываем мысленно запятую и
ноль у десятичной дроби и выполняем умножение 36• следующим образом:
36:12•5=15. Теперь в полученном результате отделяем
две цифры справа запятой. Окончательный ответ:0,15.
Задания на деление из блока 17 выполняются
аналогично. Обоснование данного приёма не
представляет труда: 0,48•=0,01•(48•)=0,01•20=0,2;
. Выполнение
однотипных примеров способствует относительно
быстрому усвоению определённого
вычислительного приёма.
Применение различных форм устного счёта, приёмов быстрых вычислений и таблиц-тренажёров на каждом уроке в течение двух лет позволило нам добиться следующих результатов:
Результативность работы за 2002-2003, 2003-2004 учебные года. |
||||
| 6 “г” | 0 | 12 | 24 | 40 |
| 7 “в” | 0 | 45 | 69 | 70 |
| 7 “д” | 6 | 48 | 60 | 68 |
| 9 “б” | 46 | 50 | 52 | 54 |
Считаем, что технология В.Н.Зайцева очень полезна в классе любой подготовленности. А в 5 классе она ещё и значительно бережёт здоровье учителя. Ведь у каждого преподавателя математики, как правило, несколько параллельных классов. Учитель просто не в состоянии без ущерба для своего здоровья обеспечить необходимую частоту тренировочных упражнений и проверку результатов. В классах, где применяется технология Зайцева, заметно возрастает уровень математической культуры.