Сегодня обществу нужен человек-творец. Учитель имеет возможность использовать математическое исследование для развития не только творчества своих учеников, но и сам может творить. Кроме того, сотворчество учителя и учеников – одна из главных концептуальных идей процесса образования в XXI веке, поэтому совместная исследовательская деятельность учителя и учеников особенно важна в современной школе.
В проектно-исследовательской деятельности по математике и информатике можно выделить следующие этапы работы:
– поиск интересной задачи или проблемы;
– формулировка гипотезы;
– попытка опровергнуть гипотезу (аналитически или численно, если необходимо, то с привлечением компьютерной техники), если эта попытка не удаётся, то это косвенно подтверждает гипотезу;
– доказательство (или опровержение) утверждения, построение математической модели;
– построение (если это возможно) с помощью компьютера информационной модели, демонстрирующей доказанный факт;
– оформление отчёта о выполненном проекте;
– защита исследовательской работы;
– публикация результатов (в печати, в Internet и т. д.)
Самый первый этап работы – поиск интересной задачи или проблемы – следует проводить учителю, по крайней мере, на первых порах. При этом несомненно помогает общение с современными математиками, преподавателями вузов. Осуществлять исследовательскую деятельность целесообразно в старших классах. Следует отметить, что математическую сторону исследования можно поручать одним учащимся, построение модели математического явления – другим, а можно организовать работу так, чтобы исследование осуществлялось от начала и до конца одним учеником или одной группой учеников. Всё зависит от их интересов, возможностей, и т. д.
Построив информационную модель рассматриваемой проблемы, ученик-исследователь иногда обнаруживает её несовпадение с математической моделью, что свидетельствует об ошибке либо в теоретических, либо в практических исследованиях. Это побуждает ученика глубоко понять суть исследуемой проблемы и учит исправлять ошибки и преодолевать препятствия в интеллектуальной деятельности.
Особо хотелось бы остановиться на защите исследовательской работы. Такая форма учебной деятельности создаёт предпосылки для научного и интеллектуального общения учеников друг с другом. Более того, мы считаем, что следует предлагать учащимся защищать свой проект на иностранном языке.
Последние годы свидетельствуют о значительном повышении интереса к английскому языку как средству международного общения. Он уже признан языком профессионального общения в разных сферах деятельности, а появление компьютеров поставило использование английского языка в особое положение по сравнению с другими языками. В настоящее время ни один учитель не может пожаловаться на отсутствие у детей интереса к изучению английского языка.
Выступление на иностранном языке и работа над подготовкой этого выступления позволяет ученику открыть пласт математической лексики, научного стиля, научить учащихся формулировать математические определения и теоремы на иностранном языке, создаёт условия для того, чтобы ученики научились думать о математических проблемах на иностранном языке.
Важную роль в языковой практике учащихся играет их общение с иностранными учёными на английском языке посредством электронной почты. В результате дети остро чувствуют необходимость изучения иностранного языка, во время переписки стараются по возможности грамотно излагать свои мысли, рассуждения, вопросы. Это, в свою очередь, побуждает их не только серьёзно изучать грамматику английского языка, расширять лексический запас, но и знакомиться со сленгом.
В 1966 году в Москве проходил Международный конгресс математиков, на котором выступил бельгийский математик Жорж Папи. В своём докладе “Геометрия в современном преподавании математики” он обосновал необходимость введения элементов современной математики в школьный курс. Того же мнения придерживаются такие крупные математики как Р. Том и Ж. А. Дьедоне.
Одним из современных направлений современной математики является асимптотический геометрический анализ. Описанное ниже исследование в этой области явилось результатом совместного творчества учителей и ребят, увлекающихся математикой, информатикой и английским языком. Совместная работа над этой проблемой показала креативные возможности соединения математики, программирования и иностранного языка в целостную творческую исследовательскую деятельность.
Результаты этой работы мы опубликовали в Internet: http://guoplysaevo.narod.ru/17.htm. Убеждены в плодотворности и перспективности этих занятий, ибо именно на стыке наук рождаются открытия!
Текст исследовательской работы на русском языке см. в <Приложении 1>.
Elements of Asymptotic Geometrical Analysis
Function of Concentration of Measure on the Hamming Cubes
Studying paper [2] and being in touch with its author, we were concerned with a visual image of the function of concentration of measure on spaces with large dimensions. We have chosen Hamming cubes as an example of such spaces. The main purpose of our actual research is composing the computer program for constructing the graph of concentration function on Hamming cubes.
Asymptotic geometrical analysis was developed in [1-5].
First of all, let us introduce some important concepts.
Definition. Let nI N be a natural number. Set of binary strings of length n
is said to be Hamming cube with dimension n. We will denote it as 
n={0,1}n.
Thus, an exemplary element of the Hamming cube is a string with length n, that
consist of zeroes and ones: 
; 
=( 1 2
3… n), where
i 
{0,1}.
Let us equip the Hamming cube with a metrics, a distance between two any strings in the Hamming cube. The number of noncoincident symbols of these words is said to be distance between these two words of the Hamming cube.
For instance, let x, y 5
= {0,1}5;
x=(01101);
y=(01010).
Then, distance between x and y is 3: d(x,y)=3.
The following properties of Hamming distance can be easily proved.
Definition. Let (X, d) be any finite metric space. Then
is said to be diameter of X. We will denote diameter of X as
It is easy to see that the diameter of the Hamming cube is equal to n, the diameter of the Hamming cube depends on its dimension.
In order to make the diameter of Hamming cube independent of its dimension, we have to define normalized metrics on the Hamming cube. Normalized distance between two words from the Hamming cube is said to be equal to the number of noncoincident symbols of these words divided by dimension of the cube, n.
For instance, let x, yI S 5={0,1}5;
x=(01101);
y=(01010).
Then, normalized distance between x and y is d(x,y)=3/5.
Obviously, the diameter of the Hamming cube with respect to normalized metrics is equal to 1; it doesn’t depend on the dimension. Farther we will use normalized metrics on the Hamming cube.
Let us equip metric space (S n, d) with a measure, analog of square and volume. How many elements are there in the space S n={0,1}n? How many strings with length n one can construct? Solving this simple combinatorial problem, we have:
Definition. Let A be any subset of the Hamming cube: AI S n. Normalized measure of the set A is equal to
where |A| is number of elements of A.
By the way, normalized measure constructed above is a probabilistic measure; m (A) is probability of the event, that random string with length n belongs to A.
It is easy to see, that
1) normalized measure of the Hamming cube doesn’t depend on dimension:
2) measure of empty set is equal to zero:
3) measure of two non-intersecting subsets is equal to the sum of their measures: if AC B=? , then
Definition. A space X with measure m and metrics d is said to be mm-space.
Thus, the Hamming cube is mm-space.
And now we are about to introduce a concept of function of concentration of measure for mm-spaces.
Definition. Let BI a n, let e >0. Set Be ={s I a n | $ bI B, d(s , b)< e } is said to be e -fatting of B.
Definition. Function of concentration of measure on the Hamming cube is a function
Obviously, function of concentration of measure on the Hamming cube is a staircase function. Also, one can easily see, that
In the paper [2], it was proved that the function of measure concentration on the Hamming cube satisfies inequality
It is just that result stung us to draw with a computer a graph of the function of concentration of measure on the Hamming cube.
The problem is that if someone will try to compose a computer program for calculating of the function of concentration of measure on the Hamming cube directly using the definition, then the program would handle all subsets of strings, containing just one half of all strings; in every such subset there are 2n-1 strings. How many ways of choosing will the program handle? Number of ways is equal to
For every such subset the program would construct e -fatting, then it would count the number of words in the e -fatting and its measure, would find minimal measure and subtract that value from 1. Certainly, the more dimension is, the more tremendous calculations should be done. Scarcely will the program give us a useful and satisfactory result.
Fortunately we are helped with…
Theorem (Harper). Let B be a ball with radius e in the Hamming cube. Let m=m (B). Then B has a minimal boundary (that is 1/n-fatting) of all sets with the same measure m.
An important notice. The complement to any ball in the Hamming cube is a ball again. The complement to any ball with the string (000…0) as a center is a ball with the string (111…1) as a center. In order to obtain other balls with other centers one should add to every element of these balls any fixed word. Addition is supposed to be with respect to mod(2). Handling all radii and adding all manner of fixed strings with respect to mod(2), we obtain all balls in the Hamming cube.
Let B be a ball with radius 1/2. Then the measure of that ball is a sum of the first n/2 binomial coefficients, divided by 2n, if n is even; thus, the measure of the ball with radius 1/2 is equal to 1/2, if n is even and greater than 1/2, if n is odd (Pascal’s triangle is symmetric one).
Now, let A be any subset of the Hamming cube, let measure of A is equal to 1/2. Amenably Harper’s theorem, the minimal measure of e -fatting of set A is the measure of the ball with radius 1/2+e . Therefore, function of concentration of measure is equal to measure of a ball with radius 1/2–e , if e ? 1/2 and a (e )=0 if e >1/2.
We are about to compose the computer program (using language Turbo Pascal) for calculating of the measure of the ball with radius 1/2–e and for drawing the graph of the function of concentration of measure on the Hamming cube.
Program Hamming;
{Drawing of the graph of the function of measure concentration}
uses crt, graph;
const n=1023; {Dimension of the Hamming cube }
var ee:double; k:longint;
function measure(eps:double):double;
{Calculating of the measure of a ball with radius eps}
var m,a,p:double;
k,i:longint;
begin
a:=1;
k:=trunc(eps*n);
p:=1;
for i:=1 to n do
p:=2*p;
if eps>0
then
m:=1/p
else m:=0;
for i:=1 to k do
begin
a:=a*(n-i+1)/i; {Next binomial coefficient}
m:=m+a/p;
end;
if eps=1/2
then
measure:=1/2
else
measure:=m
end;
procedure graphic;
{Drawing of the graph of the function of measure concentration}
var i,j,r,s:integer;
eps:double;
begin
r:=detect; s:=0; initgraph(r,s,’C:\tp\bgi’);
line(10,440,610,440);
line(10,440,10,40);
for i:=0 to 600 do
begin
eps:=i/1200;
j:=440-trunc(measure(1/2-eps)*800);
putpixel(i+10,j,14);
if i = 0 then Circle(i+10,j,2)
end
end;
begin {the main unit}
TextColor(14); TextBackGround(1); ClrScr;
for k:=0 to (n div 2) do
begin
ee:=k/n;
writeln('k=',k:4,' alfa=',measure(1/2-ee));
end;
readln;
graphic;
repeat until keypressed;
closegraph
end.
The result of the computer program
Graph of the function of measure concentration on the Hamming cube with dimension 10
Graph of the function of measure concentration on the Hamming cube with dimension 100
Graph of the function of measure concentration on the Hamming cube with dimension 500
Graph of the function of measure concentration on the Hamming cube with dimension 1023
Maximal dimension of the Hamming cube with which the program is able to operate is 1023. That result is pretty good. But if the reader is not satisfied with such dimension, then the algorithm above can be easily transferred on the language Delphi, and dimension can be blown up by using the type int64.
Conclusion. As a result of the surveying above and working of the program we can easily see that the more dimension of the Hamming cube is the faster the function of concentration of measure decreases, tending to zero. In other words, exiguous fatting of a set with measure 1/2 has the measure extremely close to 1. It is just that property of mm-spaces is not evident at all and attracts attention of modern mathematicians to asymptotic geometric analysis.
Closing. As an answer on our solution of the problem of drawing graph of function of concentration of measure on the Hamming cube, professor Vladimir Pestov (the University of Ottawa, Canada) wrote us: “…Of course your argument is correct, and it is 1/2 - epsilon…”. This appreciation assures us in correctness of our research and derived results.
Bibliography
- Kecris A. S., Pestov V. G., Todorcevic S. Fraпssй Limits, Ramsey Theory, and Topological Dynamics of Automorphism Groups. Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa.
- Vladimir Pestov. Elements of Asymptotic Geometric Analysis. School of Mathematical and Computing Science, Victoria University of Wellington, P.O. Box 600, Wellington, New Zealand.
- Vladimir Pestov. Topological Groups: Where To From Here? School of Mathematical and Computing Science, Victoria University of Wellington, P.O. Box 600, Wellington, New Zealand.
- Vladimir Pestov. Some Universal Constructions in Abstract Topological Dynamics. School of Mathematical and Computing Science, Victoria University of Wellington, Wellington, New Zealand.
- Vladimir Pestov. MM-spaces and Group Actions. Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa.