Пути индивидуализации в процессе математического образования

Проблема индивидуального подхода в фундаментальных исследованиях определена как ключевая проблема дидактики. Индивидуальный подход в обучении позволяет всесторонне развивать задатки, склонности и способности, творческую активность каждого ребенка, подростка, юноши и девушки.

Повысить результативность обучения учителю помогает знание психологии ученика, особенности его нервной деятельности. Учащиеся, отличающиеся быстрой реакцией, молниеносно реагирующие на все, в том числе и на отвлекающие факторы (сангвиники и холерики), могут начать отвлекаться уже при первичном прочтении задания, если они сразу что-то в нем не уяснили. Поэтому при организации самостоятельных работ учитель должен обратить внимание, прежде всего на таких учащихся, не дав им возможность переключиться на другое. Если такие ученики не слушают (это сразу заметно), надо призвать их к внимательности. Если же они слушают или читают, то их внимание сконцентрировано на этом занятии. В непонятных местах они сами спросят – таков их характер, поэтому, если за холериками и сангвиниками приходится наблюдать в начале работы и корректировать их действия, в дальнейшем можно не беспокоиться за ход выполнения задания этими учащимися.

Учащиеся, отличающиеся медлительностью умственных действий (флегматики и в особенности меланхолики) не сразу переключаются на другой вид деятельности. Их мысли и чувства как бы отстают от происходящего, переживая и обдумывая ситуацию, предшествующую данной. Например, класс приступил к очередной контрольной работе, учитель уже раздал тетради, записал тему работы, комментирует задание, учащиеся вроде бы внимательно слушают, на самом деле внимание большинства из них обращено на ту отметку, которую они получили за предыдущую контрольную работу, поэтому внешняя дисциплинированность таких учащихся обманчива. При организации самостоятельной работы с такими учениками нужно своевременно переключить их внимание на предстоящую деятельность, для этого можно использовать краткую беседу с таким учеником или короткие реплики.

Следует заметить, что людей, обладающих явными характеристиками темперамента определенного типа, очень мало. Поэтому и в классах преобладают учащиеся, чей тип нервной деятельности имеет смешанные характеристики, но по нескольку человек (2-3 на класс) встречаются, и такие ребята у которых тип темперамента приближается к ярко выраженному меланхолико-флегматическому или холерико-сангвистическому. Таким ученикам полезно задания модифицировать, то есть использовать индивидуальные карточки-задания.

Пример 1: Тема “Приращение функции” 10 класс:

• найдите приращение функции f в точке x, если f(x)=3/x, при х=2; х=0,1
• найдите приращение ?х и ?f в точке х, если f(x)=Sin²x, при х=/4; х=/3
• найдите угловой коэффициент секущей к графику функции y=2x², если секущая проходит через точки с абсциссами х₁=0; х₂=1. Какой угол при этом образует секущая с осью х?

Учащимся, чей тип нервной деятельности близок к холерико-сангвистическому, надо облегчить самое начало работы, что бы они не отвлекались, если сразу не поймут, что следует воспользоваться формулами приращения, увидев слово “формула” в первом задании, большая часть таких учащихся сразу поймет, о чем идет речь.

При переходе к заданию 2 их внимание уже сосредоточено на работе, поэтому для этих учеников второе задание можно не изменять.

При переходе к третьему заданию у учащихся рассматриваемой группы наступает первичное утомление, и они могут отвлечься из-за любого пустяка. Трудность еще и в том, что задание 3 требует логического перехода: формулы предыдущих заданий теперь следует применять для нахождения углового коэффициента в формуле секущей. Таким образом, начинать выполнение задания надо свыше названной формулы. Требуется всего лишь напомнить ученикам, на какую формулу требуется обратить внимание с самого начала. Для этой группы ребят задание лучше сформулировать так:

Пример 2:

• по формуле нахождения приращения функции f в точке х найти f, если f(x)=3/x и х=2; х=0,1;
• найдите приращение х и f в точке х, если f(x)=Sin²x, х=/4; х=/3;
• по формуле нахождения углового коэффициента k секущей к графику функции f(x) найдите значение k для функции y=2x² при условии, что секущая проходит через точки с абсциссами х₂=0; х₁=1. Определите угол, который образует секущая с осью х.

Для учащихся, чей темперамент приближается к меланхолико-флегматическому типу, текст задания должен отличаться от приведенных формулировок в примерах 1 и 2. Таким ученикам нужно напомнить алгоритм выполнения первого задания, показать, что второе задание дублирует первое, в задании 3 подсказать первые шаги алгоритма по нахождению коэффициента k. Итак, для этой группы ребят задание может быть таким:

Пример 3.

• выпишите формулу приращение функции f и приращения аргумента х. Пользуясь этими формулами, вычислите приращение функции f в точке х для случая f(x)=2/x, х=1, х=0,1;
• используя формулы для нахождения f и х, которые применялись в первом задании, найдите f и х при х=/3; х=/6 f(x)=Cos²x;
• выпишите формулу для нахождения углового коэффициента k секущей к графику функции f(x). Обратите внимание на формулы для нахождения f и х во втором задании. Воспользовавшись этими формулами, найдите значение k, если f(x)=3x²; х₁=1; х₂=1,5.

Методология принципа индивидуального подхода заключается в выявлении и изучении общего, особенного и единичного, и наиболее эффективным является такой путь организации индивидуального подхода к школьникам, к слабо успевающим по математике, который одновременно проходит три взаимосвязанные пропедевтические стадии:

• дифференцированный подход ко всей группе школьников, отстающих по предмету, которые имеют пробелы в знаниях, умениях, навыках, слабую волю, неуверенность в своих силах, потребность в получении помощи и др.;
• дифференцированный подход к подгруппам слабоуспевающих школьников, имеющий единый комплекс доминирующих причин отставания в учении. Это пробелы в навыках учебного труда (планирование ответа, решение задач, самоконтроль), темпе работы и пробелы в развитии мышления, рациональности мышления;
• индивидуальный подход к отдельным школьникам, причины неуспеваемости которых выходят за рамки типичного.

Исследования ученых показывают, что отставание в учении у большинства школьников из-за пробелов в навыках учебного труда и меньше из-за пробелов в развитии мышления. Для ликвидации этих пробелов можно заранее готовить вопросы для слабо успевающих с целью создания ситуации успеха, карточки-консультации, алгоритмы начальных действий, планировать различные средства для поддержания активности в течение урока. При проведении самостоятельной работы сложные задания расчленять на ряд простых, трудные задачи – на ряд элементарных, оказывать различные виды помощи:

• указание типа задачи;
• выдача к задаче рисунка, чертежа, схемы или краткой записи условия, алгоритма решения и т.д.;
• указание аналогичной задачи, решенной ранее;
• объяснение хода решения подобной задачи;
• предложение решить вспомогательную задачу, наводящую на решение основной задачи;
• сообщение ответа заранее;
• расчленение сложных задач на элементарные;
• постановка наводящих вопросов;
• указание теории, правил, формул, на основании которых решаются задачи;
• указание ошибки в чертеже, вычислениях, в уравнении, в постановке вопросов, в установлении зависимостей и т.д.

Оказание помощи слабоуспевающим учащимся должно неразрывно сочетаться с созданием ситуации, где бы школьники могли проявить самостоятельность, эмоционально почувствовать радость успеха. Организуя работу по формированию навыков доказательства теорем, решения геометрических задач, нужно составить план доказательства, использовать памятки, таблицы. Организация и темп работы находятся в прямой зависимости от наличия у учащихся навыков пользования книгой, таблицами, наглядными пособиями, плакатами, счетными инструментами, а так же различными чертежами и графиками. Трудно усваиваются школьниками и способы самоконтроля при выполнении математических заданий. Необходимо концентрировать внимание слабоуспевающих на всех возможных видах и способах проверки алгебраических и геометрических задач, математических упражнений и пр.

При решении алгебраических задач используются такие способы проверки:

• составление задачи, обратной данной, путем введения в ее условие полученного ответа и исключения одного из известных данных, становящихся искомым;
• расчленение условия задачи на отдельные смысловые части и определения в каждой части исходного данного с учетом найденного ответа;
• решение задачи разными способами;
• приближенная оценка ожидаемого результата, когда, имея ввиду возможные пределы ответа, ученик предупреждает ошибки в промежуточных действиях.

При решении математических упражнений учить использовать универсальные способы проверки:

• действием обратным данному действию;
• использованием арифметических законов, основных свойств и определений понятий;
• преобразованием решенных примеров;
• подстановкой числовых данных, выбранных произвольно, в правую и левую части выражений;
• проверкой аналитического решения графическим, а графического построения, - написанием формулы кривой и пр.;
• дать образцы применения того или иного приема.

Формирование навыков самоконтроля приобретает особое значение в связи с тем, что у учащихся при этом развивается логическое мышление, и ликвидируются пробелы в знаниях, так как при проверке осуществляется и своего рода повторение пройденного материала, рассмотрение его в новых ситуациях, взаимосвязях.

Проблема дифференцированного подхода не является новой, однако выдвижение и развитие идеи планирования обязательных результатов обучения, стандартов математического образования, позволило подойти к этой проблеме с новых позиций. Принципиальное отличие нового подхода состоит в том, что перед разными категориями учащихся ставятся различные цели: одни ученики должны достичь определенного объективно обусловленного уровня математической подготовки, называемого базовым, а другие, проявляющие интерес к математике и обладающие хорошими математическими способностями, должны добиться более высоких результатов.

В соответствии с этим в классе могут быть выделены две группы учащихся: группа базового уровня и группа повышенного уровня. Конечно, состав групп не должен быть застывшим, желательно, чтобы любой ученик из группы базового уровня мог перейти в группу повышенного уровня, если он хорошо усвоит материал, соответствующий обязательным результатам обучения. С другой стороны, ученик из группы повышенного уровня может быть переведен в группу базового уровня, если он имеет пробелы в знаниях и не справляется с темпом продвижения группы.

Дифференцированный подход целесообразно осуществлять на определенных этапах урока. Так, на этапе введения нового понятия, свойства, алгоритма, необходимо работать со всем классом без деления его на группы. Но после того как несколько упражнений выполнено на доске, учащиеся могут приступить к дифференцированной самостоятельной работе. Ее особенность состоит в том, что группа базового уровня и группа повышенного уровня получают задания, различающиеся не только содержанием, но и формой их задачи.

Задания 1 группе содержат большое количество простых тренировочных упражнений с постепенным пошаговым нарастанием трудности.

Для второй группы преобладают задания комбинированного характера, требующие установления связей между отдельными компонентами курса и применения нестандартных приемов решения.

В каждом варианте упражнения начинаются с простейших и располагаются по возрастающей сложности. Однако это возрастание в разных вариантах проходит с разным ускорением. Вариант первый строится таким образом, что переход от одного упражнения к другому связан с небольшим варьированием данных или с незначительными усложнениями формулировки задания. Такой подход позволяет решить важную дидактическую задачу – предоставить слабым учащимся возможность на каждом шаге преодолевать только одну какую-либо трудность. Во втором варианте сложность задания возрастает в значительно более высоком темпе. Это позволяет быстрее пройти начальный этап формирования соответствующего умения и выйти на усложненные комбинированные задания.

Многие исследователи отмечают, что отставания слабых учащихся по математике связано с низким уровнем их развития, поэтому не только сильным, но и слабым учащимся надо давать задания, требующих нестандартных решений, конечно, более простые, чем сильным. В каждом из вариантов можно предусмотреть инструктивный материал, предназначенный для оказания учащимся помощи в выполнении предлагаемых заданий. Это образцы решений, алгоритмические предписания, задания с начатым, но неоконченным решением, задания с пропущенными данными, задания с выбором ответа, данные для самоконтроля, ответы.

Учитель Чайковской средней школы Нытвенского района Пермской области Макаров Юрий Афанасьевич долгие годы работал над этой проблемой и создал с помощью учителей этой школы “технологию индивидуального обучения математике”. Ими разработан дидактический материал для 5-11 классов около 120 тысяч индивидуальных карточек-заданий. Макаров считает: “Давая непосильную нагрузку на слабого ученика с низким уровнем развития, мы не поднимаем этот уровень, а в лучшем случае оставляем прежним. Таким ученикам нужны посильные учебники и посильные задания, чтобы на этих посильных заданиях развить их хотя бы до уровня обязательных результатов… . Отсутствие ежеминутной обратной связи на уроке приводит к тому, что у ученика возникает представление, что можно работать, а можно не работать……Психологами доказано, что ученику важна оценка своего труда, причем оценка не на следующий день и не через неделю, а сразу после выполнения работы. Только тогда можно вовремя исправить ошибки, внести в работу коррективы, а проверка на следующий день интересует далеко не всех учеников, да и то только на уровне отметки, а не содержания работы. В результате при выполнении домашних заданий и ученики и учителя выполняют огромную бесполезную работу…. На уроке происходит воспитание индивидуальности. Ученик ежедневно, на каждом уроке поставлен в условия, когда ему самому надо делать выбор по темпу, трудности, возможности устного ответа, времени выполнения контрольной работы, форме работы, так что любой урок по технологии индивидуального обучения – это, прежде всего воспитывающий урок”.

Эта технология включает в себя три уровня:

1. Индивидуальное обучение внутри урока (5 класс). Основными чертами этого уровня являются предварительное объяснение нового материала всему классу, малые порции учебного материала на урок, мелкие шаги от одной индивидуальной работы к другой.
2. Индивидуальное обучение внутри темы (5,6 класс и первое полугодие 7 класс). Он состоит в том, что учитель жестко как на традиционном уроке определяет количество часов на тему и внутри темы проводит индивидуальную работу, задерживая сильных учеников трудными олимпиадными задачами по этой теме и помогая слабым, оставляет запасные часы для обобщения и коррекции знаний. Объяснение на класс может проводиться разными способами: как на традиционном уроке постепенным переходом к частичному изучению нового материала самостоятельно, с изложением нового материала сразу по всей теме с последующим переключением на самостоятельную работу тех, кто все понял, так и с повторным объяснением для тех, кто не понял и т.д. Главное на этом уровне – закончить выработку умения работать с книгой. На этих уровнях можно обойтись стабильным учебником и задачником.
3. ( со 2-го полугодия в 7 классе). Самостоятельное изучение нового материала по учебникам Макарова и работа с дидактическим материалом, одним из основных моментов, составления которого является первоначальный успех. Во всех самостоятельных работах цепочка задач начинается с таких задач, которые может выполнить самый слабый ученик, тем самым создается ситуация успеха, ученик начинает верить в свои силы, у него пропадает страх перед неизвестным материалом.

Все вопросы, рассмотренные в учебном пособии, находят свое отражение в вопросах и задачах дидактического материала. Нет ни одного вопроса теории, который был бы не отражен в задачах. Помимо этого, все вопросы рассматриваются в задачах всесторонне, т.е. если к задаче можно составить несколько обратных задач, то это будет сделано. Рассматриваются все приложения математики и физики, геометрии, биологии, химии и т.д.

Для выработки устойчивых навыков в овладении алгоритмами математики цепочки индивидуальных заданий вводится заведомо избыточное количество тренировочных упражнений. Дело в том, что для того, чтобы научить, например, умению решать квадратные уравнения, разным ученикам нужно решить разное количество уравнений. Одному достаточно решить 6-7 уравнений и ему все будет ясно, а другому для этого потребуется решить 15-20 уравнений. Если в самостоятельной работе 20 заданий, это не значит, что все 20 надо решить.

Работу по данной технологии на 25-30% может облегчить компьютер, но полностью заменить учителя компьютер не сможет, так как он не в состоянии учесть всю гамму постоянно изменяющихся индивидуальных особенностей каждого ученика.

В технологию индивидуального обучения хорошо вписываются все современные новации: работа в парах и группах, “погружение” в геометрию или алгебру. Если при традиционном обучении число учеников, обучающихся на “4” и “5” уменьшается по мере взросления, то при работе по технологии индивидуального обучения они в основном сохраняются, и далее их становится больше. А также потенциально талантливые ученики не теряются и это одно из главных ее достоинств.

В своей работе я использовала технологию индивидуального обучения Макарова на 1 и 2 уровнях, а сейчас у меня сложилась своя система изучения темы.

1. Урок теории. Опорный конспект ученики записывают в тетради для теории, рисунки, формулы, выводы, ключевые задачи, примеры. Параллельно – работа с учебником.
2. На следующем уроке все ученики сдают этот теоретический материал на оценку: КПО (контрольный письменный опрос) или КО (контрольный устный опрос).
3. После этого идут уроки решения задач и упражнений в рабочей тетради. Это уроки выработки умений и навыков. Оценка ставится по желанию или отдельным ученикам, кто первым решил сложную задачу или предложил рациональный способ решения.
4. Самостоятельная работа на оценку, двойки не ставятся (учащиеся должны ее переписать).
5. Ставлю оценку в журнал за домашнее задание (обычно в конце изучения темы).
6. Ученик, пропустивший по любой причине урок, должен сдать изученный без него материал, переписав теорию по пропущенной теме.
7. В конце темы зачет (тестирование).
8. Контрольная работа.

Преимущества работы по такой системе:

• мои ученики знают, что будут делать на уроке;
• у них нет страха, получить “2” (можно исправить);
• можно проконсультироваться у учителя, ученика, смотреть в тетрадь теории, учебник, справочник;
• сложные задания решаются на доске;
• к доске вызываю только по желанию;
• каждый ученик выбирает свой уровень: на “3”, “4” и “5”;
• каждый знает требования, соответствующие одному из этих уровней;
• домашние задания даются дифференцированно;
• проверяются все домашние задания (иначе, зачем их задавать);
• на уроках преобладает самостоятельная работа учащихся.

Приложение 1