Урок алгебры в 8-м классе. Тема: "Теорема Виета"

Место урока в изучаемой теме “Квадратные уравнения”:

1. Основные понятия: квадратное уравнение; полное, неполное квадратное уравнение; приведенное квадратное уравнение; корни квадратного уравнения, их количество.
2. Известные способы решения квадратных уравнений: разложение на множители; графический способ; выделение полного квадрата.
3. Формула корней приведенного квадратного уравнения, (полное квадратное уравнение сводится к приведенному делением обеих частей уравнения на коэффициент а ? 0).
4. Теорема Виета.
5. Формулы корней квадратного уравнения (полного с нечетным и четным коэффициентом b).

Такая последовательность изучения материала продиктована желанием убедить учащихся в удобстве применения частных формул для нахождения корней квадратного уравнения – полного с четным коэффициентом b и приведенного, а также уравнений, сумма коэффициентов которых равна нулю (выводится с помощью теоремы Виета).

Так, пока они не знают основную формулу корней квадратного уравнения, вынуждены решать приведенное уравнение по выведенной с помощью выделения полного квадрата формуле (даже если коэффициенты при этом – дробные числа). Зато потом, когда, наконец, выводится основная формула, учащиеся могут осознанно выбрать, какую формулу удобно применить при решении того или иного уравнения и без труда воспользоваться ею. Обычно же дети “зацикливаются” на основной формуле и с нежеланием применяют другие (если учитель не настаивает, то и не будут применять удобные для того или иного случая формулы).

Продолжительность: два (спаренных) урока.

Ход урока

I. Повторяем известные (к этому уроку) сведения о квадратных уравнениях

1) Общий вид квадратного уравнения …

2) Сколько корней может иметь квадратное уравнение? …

3) Как называются квадратные уравнения, если коэффициенты b или с равны нулю? …

4) Как называется квадратное уравнение вида х² + px + q = 0 ? Почему он так называется?

5) По какой формуле находятся корни приведенного квадратного уравнения? …

6) Что определяет количество корней квадратного уравнения? …

II. Гимназистам предлагается устно решить задания, записанные на доске

(1) Решая уравнение 9х² + 513х – 172 = 0, нашли, что оно имеет корни

Выясните, правильно ли решено уравнение.

(2) Докажите, что ни при каких целых значениях p, число 105 не может быть корнем уравнения

х² + p x – 32108 = 0.

(3) Решить уравнение: 1998 х² – 907 х + 1091 = 0.

(4) Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 + и 2 – .

(Eстественно, гимназисты не просто в затруднении, они в недоумении: как такие задания можно решить устно?)

Итак, перед нами стоит задача: дополнить уже известные сведения о квадратных уравнениях, установив зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

В результате работы на уроке, необходимо узнать

• как выполнить проверку найденных при решении квадратных уравнений корней ( 1 ), ( 2 );
• как находить в несложных случаях корни квадратного уравнения подбором ( 3 ).
• как составить квадратное уравнение по известным его корням ( 4 );

III. Двум парам успешных в математике гимназистов дается задание, которое они будут выполнять самостоятельно, пока класс занят другой общей работой

Карточка № 1 для одной пары:

1. Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения. 2. Найдите х1 • х2 и х1 + х2 , если х1 и х2 – корни уравнения

Карточка № 2 для другой пары:

Даны числа m; n; p; q такие, что m + n = – p, m • n = q. Докажите, что m и n – корни уравнения х2 + px + q = 0.

IV. Работа с классом

На доске записаны четыре квадратных уравнения:

1) х² – 4х + 3 = 0;

2) 4х² + х – 3 = 0;

3) 3х² – 21х + 36 = 0;

4) х² + 7х – 10 = 0;

Гимназистам предлагается самостоятельно найти корни данных уравнений, и первый, кто

выполнил задание, выписывает рядом с уравнением найденные корни, их сумму и произведение.

После проверки правильности найденных корней, замечают (по просьбе учителя) закономерность в соотношении найденных корней и коэффициентов уравнения. А на вопрос, случайно ли такое совпадение, учитель просит ответить гимназистов, работавших с карточкой № 1.

V. Результаты своей работы один из работавших в паре гимназистов, поясняя, записывает на доске

1) х² + px + q = 0 – приведенное квадратное уравнение, корни его находим по формуле: .

2) х₁ • х₂ = ;

х₁ + х₂ =

Таким образом,

если х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, то х₁ • х₂ = q и х₁ + х₂ = – p.

• Это соотношение впервые заметил и доказал великий французский математик Франсуа Виет, поэтому утверждение носит название теоремы Виета, (информация о Виете).

(*) – Иллюстрацией того, что теорема справедлива не только для приведенных квадратных уравнений, но и для уравнений общего вида, являются второе и третье уравнение из предложенных в пункте IV: действительно,

p =и q = (а 0)

(*) – Следует обратить внимание учащихся на то, что теорема Виета справедлива и тогда, когда квадратное уравнение имеет один корень, просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.

VI. Учащимся предлагается попробовать сформулировать обратное утверждение

После обсуждения и окончательной формулировки обратной теоремы к доске приглашается один из учеников, работавших с карточкой № 2. Он объясняет свое решение:

т.к. m; n; p; q такие, что m + n = – p, m • n = q, то х² – (m + n)х + mn = 0; х²- mx – nx + mn = 0;

x(x – m)- n(x – m) = 0; (x – m)(x – n)= 0, т.е. числа m и n – корни уравнения х² + px + q = 0.

• С помощью этого утверждения можно проверить правильность найденных корней квадратного уравнения, составлять квадратное уравнение по заданным корням, а также, в некоторых случаях, подбором определить их.

Пример:

а) х² + 9x + 14 = 0;

б) х² + 4x – 12 = 0;

в) х² – 3x – 28 = 0

• определить знаки корней предложенных уравнений;
• если знаки различные, определить, модуль какого корня больше (положительного или отрицательного);
• постараться подобрать корни данных уравнений.

После устного обсуждения записать решение одного из уравнений. Затем учащиеся самстоятельно подбором находят корни уравнений, которые записаны на откидной доске:

(Задание выполняется учащимися самостоятельно с последующей проверкой,в тетради достаточно записать номер уравнения и найденные корни.)

VII. Работа над формулировками теорем

В результате чего делается вывод в каком случае при решении задач применяется теорема Виета, а в каком – теорема обратная ей.

(Для иллюстрации рассматриваются задания п.VIII, которые предстоит решить.)

VIII. Задания

(Для удобства – карточка с заданиями на каждой парте.)

№ 1

Составить квадратное уравнение, если известны его корни:

а) 7 и 2;

б) – 2 и 4;

в) – 2 и – 8;

г) – 8 и 3;

д) 1+ и 1 – ;

е) и

(*) – (а) и (б) – решение записывается на доске учеником, корректируется учителем.

(в) – (е) – решаются самостоятельно с последующей проверкой у доски.

№ 2

Один из корней уравнения х² + px – 35 = 0 равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.

(*) – После обдумывания и обсуждения оформление решения выполняется учителем на доске.

№ 3

При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения х² + 3х + (k² – 7k + 12) = 0 равно нулю?

(*) – Решается самостоятельно с последующей проверкой.

№ 4

При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения х² + (k² + 4k – 5)x – k = 0 равна нулю?

(*) – Решается самостоятельно с последующей проверкой, в результате которой предполагается обнаружить ошибку (k = 1, но k -5). Обсудить решение.

(?) В качестве вывода: Что можно сказать о коэффициентах p и q, если

• произведение корней равно нулю;
• сумма корней равно нулю;
• корни разного знака;
• корни одного знака;
• корни – противоположные числа?

IX. Закрепление изученного материала

Для закрепления понимания гимназистами зависимости между знаками корней квадратного уравнения и знаками соответствующих коэффициентов им предлагается самостоятельно заполнить таблицу (поставить знаки “+”, “-” или 0).

(С последующим обсуждением.)

X. Подведение итогов

Учащимся напоминается цель урока и снова предлагается решить вводные задания (п. II):

• как выполнить проверку найденных при решении квадратных уравнений корней ( 1 ), ( 2 )?
• как находить в несложных случаях корни квадратного уравнения подбором ( 3 )?
• как составить квадратное уравнение по известным его корням ( 4 )?

Теперь они без труда отвечают на поставленные вопросы.