Урок по теме: "Обратная теорема Пифагора"

Разделы: Математика

Цели урока:

общеобразовательные:

  • проверить теоретические знания учащихся (свойства прямоугольного треугольника, теорема Пифагора), умение использовать их при решении задач;
  • создав проблемную ситуацию, подвести учащихся к “открытию” обратной теоремы Пифагора.

развивающие:

  • развитие умений применять теоретические знания на практике;
  • развитие умения формулировать выводы при наблюдениях;
  • развитие памяти, внимания, наблюдательности:
  • развитие мотивации учения через эмоциональное удовлетворение от открытий, через введение элементов истории развития математических понятий.

воспитательные:

  • воспитывать устойчивый интерес к предмету через изучение жизнедеятельности Пифагора;
  • воспитание взаимопомощи и объективного оценивания знаний одноклассников через взаимопроверку.

Форма урока: классно-урочная.

План урока:

  • Организационный момент.
  • Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.
  • Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора.
  • Новая тема.
  • Первичное закрепление знаний.
  • Домашнее задание.
  • Итоги урока.
  • Самостоятельная работа (по индивидуальным карточкам с отгадыванием афоризмов Пифагора).

Ход урока.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.

Учитель: Какое задание вы выполняли дома?

Ученики: По двум данным сторонам прямоугольного треугольника найти третью сторону, ответы оформить в виде таблицы. Повторить свойства ромба и прямоугольника. Повторить, что называется условием, а что заключением теоремы. Подготовить сообщения о жизни и деятельности Пифагора. Принести веревку с 12-ю завязанными на ней узлами.

Учитель: Ответы к домашнему заданию проверьте по таблице

а

7

9

11

16

33

48

36

в

24

40

60

63

56

55

77

с

25

41

61

65

65

73

85

(черным цветом выделены данные, красным – ответы).

Учитель: На доске записаны утверждения. Если вы согласны с ними на листочках напротив соответствующего номера вопроса поставьте “+”, если не согласны, то поставьте “–”.

На доске заранее написаны утверждения.

  1. Гипотенуза больше катета.
  2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 1800.
  3. Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и в вычисляется по формуле S=ab/2.
  4. Теорема Пифагора верна для всех равнобедренных треугольников.
  5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 300, равен половине гипотенузы.
  6. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
  7. Квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и второго катета.
  8. Сторона треугольника равна сумме двух других сторон.

Проверяются работы с помощью взаимопроверки. Утверждения, вызвавшие споры, – обсуждаются.

Ключ к теоретическим вопросам.

  1. “+”
  2. “+”
  3. “–”
  4. “+”
  5. “+”
  6. “+”
  7. “–”
  8. “–”.

Учащиеся ставят друг другу оценки по следующей системе:

8 правильных ответов “5”;
6-7 правильных ответов “4”;
4-5 правильных ответов “3”;
меньше 4 правильных ответов “2”.

Учитель: О чем мы говорили на прошлом уроке?

Ученик: О Пифагоре и его теореме.

Учитель: Сформулируйте теорему Пифагора. (Несколько учеников читают формулировку, в это время 2-3 ученика доказывают ее у доски, 6 учеников – за первыми партами на листочках).

На магнитной доске на карточках написаны математические формулы. Выберите те из них, которые отражают смысл теоремы Пифагора, где а и в – катеты, с – гипотенуза.

1) с2 = а2 + в2 2) с = а + в 3) а2 = с2 – в2
4) с2 = а2 – в2 5) в2 = с2 – а2 6) а2 = с2 + в2

Пока учащиеся, доказывающие теорему у доски и на местах, не готовы, слово предоставляется тем, кто подготовил сообщения о жизни и деятельности Пифагора.

Школьники, работающие на местах, сдают листочки и слушают доказательства тех, кто работал у доски.

Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора.

Учитель: предлагаю вам практические задачи с применением изучаемой теоремы. Побываем сначала в лесу, после бури, потом на загородном участке.

Задача 1. После бури сломалась ель. Высота оставшейся части 4,2 м. Расстояние от основания до упавшей макушки 5,6 м. Найти высоту ели до бури.

Задача 2. Высота дома 4,4 м Ширина газона вокруг дома 1,4 м. Какой длины надо изготовить лестницу, чтобы она не заступала на газон и доставала до крыши дома?

Новая тема.

Учитель: (звучит музыка) Закройте глаза, на несколько минут мы окунемся в историю. Мы с вами в Древнем Египте. Вот на верфях египтяне строят свои знаменитые корабли. А вот землемеры, они измеряют участки земли, границы которых смылись после разлива Нила. Строители строят грандиозные пирамиды, которые до сих пор поражают нас своим великолепием. Во всех этих видах деятельности египтянам необходимо было использовать прямые углы. Они умели строить их с помощью веревки с 12ю завязанными на одинаковом расстоянии друг от друга узелками. Попробуйте и вы, рассуждая как древние египтяне, построить с помощью своих веревок прямоугольные треугольники. (Решая эту проблему, ребята работают в группах по 4 человека. Через некоторое время на планшете у доски кто-то показывает построение треугольника).

Стороны полученного треугольника 3, 4 и 5. Если между этими узлами завязать еще по одному узлу, то его стороны станут 6, 8 и 10. Если по два – 9, 12 и 15. Все эти треугольники являются прямоугольными т. к.

52 = 32 + 42,   102 = 62 + 82,    152 = 92 + 122 и т.д.

Каким свойством должен обладать треугольник, чтобы быть прямоугольным? (Учащиеся пытаются сами сформулировать обратную теорему Пифагора, наконец, у кого-то это получается).

Чем эта теорема отличается от теоремы Пифагора?

Ученик: Условие и заключение поменялись местами.

Учитель: Дома вы повторяли, как называются такие теоремы. Так с чем мы сейчас познакомились?

Ученик: С обратной теоремой Пифагора.

Учитель: Запишем в тетради тему урока. Откройте учебники на стр. 127 прочитайте еще раз это утверждение, запишите его себе в тетрадь и разберите доказательство.

(После нескольких минут самостоятельной работы с учебником по желанию один человек у доски приводит доказательство теоремы).

Прочитайте дальше текст учебника на стр. 127 и ответьте на вопросы:

  1. Как называется треугольник со сторонами 3, 4 и 5? Почему?
  2. Какие треугольники называются пифагоровыми?
  3. С какими треугольниками вы работали в домашнем задании? А в задачах с сосной и лестницей?

Первичное закрепление знаний.

Эта теорема помогает решать задачи, в которых надо выяснить, будут ли треугольники прямоугольными.

Задания:

1) Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны:

а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24.

2) Вычислите высоты треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Домашнее задание.

Стр.127:обратная теорема Пифагора. № 498(а,б,в) № 497.

Итоги урока.

  • Что нового узнали на уроке?
  • Как в Египте использовали обратную теорему Пифагора?
  • При решении каких задач она применяется?
  • C какими треугольниками познакомились?
  • Что больше всего запомнилось и понравилось?

Самостоятельная работа (проводится по индивидуальным карточкам).

Учитель: Дома вы повторяли свойства ромба и прямоугольника. Перечислите их (идет беседа с классом). На прошлом уроке мы говорили о том, что Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а так же был спортсменом и участвовал в олимпийских играх. А еще Пифагор был философом. Многие его афоризмы и сегодня актуальны для нас. Сейчас вы будете выполнять самостоятельную работу. К каждому заданию дано несколько вариантов ответов, рядом с которыми записаны фрагменты афоризмов Пифагора. Ваша задача – решив все задания, составить из полученных фрагментов высказывание и записать его.

Комментарии для учителя:

Эти карточки раздаются учащимся, из них они составляют афоризмы Пифагора следующим образом: к трем заданиям в карточке приведены варианты ответов и фрагменты высказываний. Ученик решает задачу, получает ответ, ищет его в нижней чести карточки и записывает соответствующую часть афоризма. Таким образом, решив все три задачи, ребенок собирает афоризм из трех частей. Чтобы дети не собирали их наугад – фрагменты афоризмов подобраны с очень близким по смыслу содержанием.

Карточка для B – I.

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24 см. Вычислите его гипотенузу.

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. СО = 10см, CD = 12 см. Вычислите сторону ВС.

Является ли треугольник со сторонами 15, 39 и 36 см прямоугольным? Ответ обоснуйте.
26 – не гоняйся за счастьем 32 – оно присутствует “да” – в тебе самом
676 – не бегай за счастьем 16 – оно всегда находится “нет” – около тебя

Ответ: Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом.

Карточка для B – II.

Вычислите катет прямоугольного треугольника, если две другие его стороны равны 8 и 17 см.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. BD = 16см, ОС = 6см. Вычислите длину стороны ромба.

Является ли треугольник со сторонами 15, 20 и 27 см прямоугольным? Ответ обоснуйте.
225 – формулы 10 – управляют “нет” – миром
15 – числа 14 – правят “да” – всем

Ответ: Числа управляют миром.

Карточки для B – III

Вычислите катет прямоугольного треугольника, если две другие его стороны равны 15 и 17 см.

В ромбе АBCD диагонали пересекаются в точке О. АС = 12см, ВО = 8см. Вычислите длину стороны ромба.

Является ли треугольник со сторонами 18, 30 и 21 см прямоугольным? Ответ обоснуйте.
8 – либо молчи 10 – либо говори то “да” – что интересно всем
64 – хочешь-молчи 14 – или говори о том “нет” – ценнее молчания

Ответ: Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.

Карточки для B – IV

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 9 см. Вычислите его гипотенузу.

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. АО = 10см, AD = 16см. Вычислите сторону АВ.

Является ли треугольник со сторонами 14, 48 и 50 см прямоугольным? Ответ обоснуйте.
15 – из двух спорящих 26 – прав тот “да” – кто умнее
225 – в споре 12 – неправ тот “нет” – кто глупее

Ответ: Из двух спорящих неправ тот, кто умнее.