В предисловии к своему первому изданию «В царстве смекалки» (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет: «… умственную самодеятельность, сообразительность и «смекалку» нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью» [3. С.5].
С этим стоит согласиться и взять на вооружение, особенно работая с учащимися 5-7 классов.
Задача - это инструмент в руках учителя. Потому подборка для решения задач «с одним стержнем» закрепляет в сознании школьника сущность пройденного материала, обеспечивает взгляд на него с разных позиций, поражает многообразием фактов, связанных с ним и вооружает, возможно, новыми для учащегося способами рассуждений.
Таким «стержнем» для нас будет состав числа:
Рассмотрим различные ситуации, где этот «стержень» есть.
Признак делимости на 4 и 25
На 4 (или 25) делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4 (или 25).
Пример: 65200 делится и на 4 и на 25; 38132 делится на 4, так как 32 делится на 4, но не делится на 25, так как 32 не делится на 25.
Обоснование:
. Здесь все разрядные слагаемые, кроме
двух последних делятся на 4 (или 25). Таким образом,
делимость «b» на 4 (или 25) зависит от делимости на 4
(или 25) двузначного числа 
.
Заметим, что:
a) знаниями о том, что если делятся все слагаемые
на число, то и делится на него сумма, учащиеся
владеют. У нас на выражение <Рисунок4> нужно
смотреть как на одно слагаемое;
b) состав числа может быть использован для
выводов и других признаков делимости.
Задача № 1254 [2].
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получилось число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.
Дадим сокращённую запись условия, которая будет использована в таблице (над чертой, что дано, под - что нужно найти).
 |
Решение:  1000+100a+10b+1 = 23(10a+b) 100a-230a+10b-23b = -10001
-130a-13b = -1001 -13(10a+b) = -1001 10a+b=77  |
 |
Ответ: 77
Задача № 1152 [1].
Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.
Решение:
-искомое,
-
полученное 4х-значное число.
в 77
раз по условию. Составим равенство 
. Его
преобразовываем
1000a+100a+10b+b=(10a+b)77
1100a+11b-770a-77b=0
330a-66b=0
5a-b=0
b=5a, но b и a цифры числа, тогда последнее
равенство выполняется только при a=1. Находим b=5.
Искомое число = 15.
Задача № 1158 [1].
Может ли разность двух трёхзначных чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа?
Решение:
Первое число 
Второе число 
.
Если a - c = 11, то разность выражается квадратом числа 33. Но тогда a = 11 + c, чего быть не может. Ведь a единица разряда и выражаться двузначным числом 11 + c не может.
Ответ: не может.
Задача № 1162 [1].
Ученик сообщил своему товарищу, что задумал двузначное число, вычел из него число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и получил квадрат чётного числа. Товарищ после некоторого размышления заявил, что полученная разность равна 36. Прав ли он? Найдите все двузначные числа, обладающие свойством, которое подметил ученик.
Решение:
Задуманное число 
- уменьшаемое, 
- вычитаемое.
10a+b-10b-a = 9a-9b = 9(a-b) = 32(a-b); a-b должно быть чётным и выражаться как квадрат некоторого числа (тоже чётного). Это может быть 22; 42; 62; …Но все отпадают, кроме 22. Действительно. Если взять 42; 42=16; a-b=16. Отсюда видно, что a число двузначное (a = 16+b), чего быть не может, так как a - это цифра в записи нашего числа (аналогичные рассуждения для 62 и т.д.).
Итак, берём 22; 4 = a-b = 5-1 = 6-2 = 7-3 = 8-4 = 9-5.
Отсюда видно, какие цифры участвуют в записи задуманного числа.
Итак, двузначных чисел, обладающих свойством, которое подметил ученик, пять. Это 51; 62; 73; 84; 95. На вопрос задачи «Прав ли он?» ответим «Да!». Ведь у нас разность оказалась 9(a-b), при a-b=4 она действительно равна 36.
Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5
Вывод: Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить цифру, которая изображает число десятков в данном числе на следующую за ней цифру (в натуральном ряду) и к результату справа приписать 25.
и т.д.
Назову число, ничего не спрашивая. [6]
Задумайте трёхзначное число, не оканчивающееся нулём (например, 259). Разность между крайними цифрами должна быть не меньше двух. Переставьте цифры в обратном порядке (получим 952). Из большего числа вычесть меньше (952-259=693). Снова переставляете цифры в полученном числе в обратно порядке (в итоге у вас 396). И с этим числом складываете ранее полученную разность (693+396). Фокусник называет вам результат, который вы получили - это 1089.
Объясним, почему фокусник знает, что у вас в итоге получится, хотя вы каждый раз задумываете разные числа.
Задумаем число 
. Переставили цифры указанным
способом, получили: 
. Из первого числа (пусть оно
больше второго) вычли второе и выполнили ряд
преобразований: 100a+10b+c-100c-10b-a = 100(a-c)+(c-a)+100-100+10-10 =
=100(a-c-1)+90+(10+c-a)
| Итак, в разности: | Теперь берём |
| сотен a-c-1 | сотен 10+c+a |
| Десятков 9 | десятков 9 |
| единиц 10+c-a | единиц a-c-1 |
| Имеем число 100(10+c-a)+90+(a-c-1) |
Выполним сложение:
100(a-c - 1 )+90+(10+c-a)
+
100(10+c-a)+90+(a-c-1)
100 * 9 +180+9 = 1089
Результат не зависит от a, b, c и всегда будет равен 1089.
Зачёркнутая цифра [6]
| Задумайте какое-нибудь многозначное число. | 12154 |
| Найдите сумму его цифр. | 1+2+1+5+4=13 |
| Отнимите её от задуманного числа. | 12154-13=12141 |
| Далее зачеркните в полученном результате любую цифру, а остальные сообщите фокуснику. | 1 2 1 4 1 1; 2; 1; 1 |
| Он сразу называет зачёркнутую вами цифру. | 4 |
Выделим те теоретические основы фокуса, без
знания которых его нельзя сознательно и уверенно
выполнять. Для этого вернёмся к началу. Задумаем
(например) пятизначное число, которое фокусник не
знает. Цифры его обозначим буквами a, b, c, d, k. Нашли
разность 
.
Разность числа и суммы его цифр делится на 9, так как один из сомножителей делится на 9. Этот вывод, к которому мы пришли, будет работать не зависимо от того, сколькозначное число бы вы не задумали.
Рассуждения фокусника: к полученной разности применим признак делимости на 9. Сумма цифр числа должна делиться на 9, а это есть сумма пяти цифр, (так как ему сообщили четыре, а одну он должен назвать - это x) 1+2+1+1+x = 5 + x. Значит 5 + x это ближайшее к 5 число, делящееся на 9, им будет 9, поскольку x - цифра (однозначное число). 5+x=9 x=9-5 x=4
Согласно приведённым рассуждениям фокусник быстро находит:
1. Сумму, сообщённых ему цифр.
2. Ближайшее к ней (сумме) число, делящееся на 9.
3. Разность чисел, полученных в п.1 и п.2 (от
большего отнять меньшее). Она даст зачёркнутую
цифру.
Может случиться, что сумма сообщённых фокуснику цифр сама делится на 9. Это показывает, что зачёркнутая цифра 0 или 9. Фокусник так и должен ответить: 0 или 9.
Задачи, для решения которых нужно понятие состава числа, можно встретить в школьных учебниках. Но там их мало. Напомним о них, соберём в одну таблицу, добавим другие. И в итоге ниже приведённым задачам на вычисления, обоснование известных правил, признаков делимости, фокусов заинтересованный учитель найдёт место на уроке, возможно на факультативе и во внеклассной работе. Причем, по сокращённой записи условия некоторых задач (см. таблицу) учащиеся могут их формулировать. То есть будут учиться вкладывать определённый смысл в буквенные выражения.
Замечания:
1.
- три точки понимать как деление без остатка и читать «делится».
2. В таблице не даются условия задач из действующих учебников, так как их найти не составит труда.