Урок по теме: "Правила дифференцирования", 11-й класс

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

• образовательные:
  • обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;
  • закрепить правила дифференцирования;
  • раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;
• развивающие:
  • осуществить контроль усвоения знаний и умений;
  • развить и совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации;
  • развить культуру речи и умение делать выводы и обобщать;
• воспитательные:
  • развить познавательный процесс;
  • воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.

Оборудование:

• кодоскоп, экран;
• карточки;
• компьютеры;
• таблица;
• дифференцированные задания в виде мультимедиа презентации.

ХОД УРОКА

I. Проверка домашнего задания.

1. Заслушать сообщения учащихся по примерам применения производных.

2. Рассмотреть примеры применения производной в физике, химии, технике и других отраслях, предложенные учащимися.

II. Актуализация знаний.

Учитель:

1. Дать определение производной функции.
2. Какая операция называется дифференцированием?
3. Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (К доске приглашаются желающие учащиеся).
   • производная суммы;
   • производная произведения;
   • производная, содержащая постоянный множитель;
   • производная частного;
   • производная сложной функции;
4. Приведите примеры прикладных задач, приводящих к понятию производной.

Ряд частных задач из различных областей наук.

Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t². Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см²/с.

Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону

S(t) = 2t + , где S - путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с.

Ответ: Н.

Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t - 0,1t² (рад). Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7с;
б) в какой момент времени маховик остановится.

Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.

Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.

III. Выполнение дифференцированных заданий.

Желающие выполнять задания уровня “А”, садятся за компьютер и выполняют тест с программированным ответом. (Приложение.)

ТЕСТ:

1. Найдите значение производной функции в точке х₀ = 3.

1) 2;
2) 0;
3) – 2;
4) – 3.

2. Найдите значение производной функции у = хе^х в точке х₀ = 1.

1) 2е;
2) е;
3) 1 + е;
4) 2 + е.

3. Решите уравнение f ^/ (x) = 0 , если f (x) = (3x² + 1)(3x² – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Вычислите f ^/ (1), если f (x) = (x² + 1)(x³ – x).

1) 0;
2) 2;
3) – 2;
4) 4.

5. Найдите значение производной функции f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) в точке t0 = 1.

1) – 8;
2) 8;
3) 6;
4) – 6.

6. Точка движется прямолинейно по закону: S(t) = t³ – 3t². Выбери формулу, которая задаёт скорость движения этой точки в момент времени t.

1) t² – 2t;
2) 3t² – 3t;
3) 3t² – 6t;
4) t³ + 6t.

Ответы к тесту:

Остальные учащиеся выполняют задание уровня “В” и “С” (по выбору) в тетрадях. Каждому ученику предоставляется весь объем заданий вместе с дополнительной частью. В зависимости от уровня математической подготовки предлагается форма работы: индивидуальная или работа в группах.

В 1. Тело, масса которого m = 5 кг, движется прямолинейно по закону s = l – t + t² (где s измеряется в метрах, t – в секундах). Найти кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения.

Ответ: 902,5 Дж.

В 2. Выяснить при каких значениях х производная функции принимает положительные значения.

f(x) = (x+2)² .

Ответ: х > 0;

В 3. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t² + t +2 (t- время движения в секундах). Через сколько секунд, после начала движения, мгновенная скорость тела будет равна 5 м/с? (ЕГЭ, демонстрационный вариант 2005 года).

Ответ: 2 сек.;

В 4. Найти производную дроби. .

Ответ:

С 1. Найти все значения а, при которых f ^/ (х) ?0 для всех действительных значений х, если f ^/ (х) = х³ + 3х² + ах.

Ответ: а > 3;

С 2. Найти все значения а, при которых f ^/ (х) < 0 для всех действительных значений х, если f (х) = ах³ – 6х² – х.

Ответ: а < – 12;

С 3. Найти все значения а, при которых неравенство f ^/ (х) < 0 не имеет действительных решений, если f (х) = х⁵ + 3х³ + 3.

Ответ: а > 0;

Дополнительные задания:

1. Точка движется прямолинейно согласно закону S(t) = t² – 6t + 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Найдите скорость движения точки.

2. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t³ – 3t². Выберите, какой из формул v(t) = t² – 2t; v(t) = Зt² – 6t; v(t) = 3t² – 3t задается скорость движения этой точки в момент времени t.

3. Прямолинейное движение точки происходит по закону S(t) = 2t² – 4t – 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Определите, в какой момент времени скорость движений точки будет составлять 4 см/с.

4. Найдите кинетическую энергию тела массой 1 кг, движущегося прямолинейно по закону S(t) = t² + t (время измеряется в секундах, путь в метрах).

5. Найдите ускорение материальной точки, движущейся прямолинейно, если скорость изменяется согласно закону v(t) = 6t² + 1 (м/с).

6. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 4t – 3. Среди данных законов движения S(t) = 4t² – 3; S(t) = 2t ² – 3t (м);
S(t) = 4t² – 3t выберите тот, который описывает движение данной материальной точки.

7. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону (t) = 0,1t² – 0,5t + 0,2. Найти угловую скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени t = 20 с.

IV. Домашнее задание.

Выполнить любые 3 номера из дополнительной части, придумать и решить 2 задачи прикладного характера по теме или выполнить задание на карточках, предложенное учащимся.

Выполните задание

На столе у каждого учащегося находятся карточки с тестом, нужно указать пары “функция – график производной этой функции”.

Ответы к заданию:

V. Подведение итогов урока.