Набор основных текстовых задач для самостоятельного изучения и решения учащимися

Задачи на смеси и сплавы.

1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение.

	Количество взятого р-ра в (г)	Количество соляной кислоты в (%)	Количество соляной кислоты в (г)
1 раствор	х	30%	0,3х
2 раствор	у	10%	0,1у
Новый р-р	х + у = 600	15%	0,15 . 600 = 90



Ответ: 1-го раствора 150 г, 2-го раствора было взято 450 г.

2. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 л 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в литрах было использовано?

3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 10% и 40%. Сколько нужно взять каждой стали, чтобы получить 150 г стали с содержанием 20%?

4. Имеются два сплава чугуна с никелем с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять металла каждого из этих двух сортов, чтобы получить 140 г нового сплава с содержанием 30% никеля?

5. Имеется лом стали двух сортов, причём первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием 25%? {100}

6.* Смешивается некоторое количество 72%-ного раствора кислоты и некоторое количество 58%-ного раствора кислоты и в результате получается 62%-ный раствор. Если бы каждого раствора было взято на 15л больше, то получился бы 63,25%-ный раствор. Сколько литров каждого было взято первоначально для составления первой смеси?

7. Имеется два сплава меди с цинком. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 1 : 2, в другом – 2 : 3. Сколько необходимо взять от каждого сплава, чтобы получить 19 кг нового сплава, в котором количество меди и цинка относится как 7 : 12?

Решение (один из способов):

 

Пояснения к таблице:

Пусть, чтобы получить 19 кг нового сплава нужно взять х кг первого сплава, а второго у кг. Тогда получим уравнение х + у = 19.
Так как в первом сплаве отношение меди к цинку 1 : 2, то в первом сплаве кг меди и кг цинка.
Так как во втором сплаве отношение меди к цинку 2 : 3, то во втором сплаве кг меди и кг цинка.
Значит в новом сплаве всего меди кг, а цинка кг и так как по условию задачи в новом сплаве отношение меди к цинку 7 : 12, то получаем уравнение: , упростим его( умножим числитель и знаменатель левой части уравнения на 15) и получим   .

Применяя основное свойство пропорции уравнение примет вид: 12 ^. (5х + 6у) = 7 ^.  (10х + 9у) <=> 9у = 10х
и используя, что х+ у = 19, решим систему уравнений

Ответ: 1-го 9 кг, 2-го 10 кг.

8. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом – в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11?

9. В двух различных сплавах медь и цинк относятся соответственно как 5 : 2 и 3 : 4. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

10. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в два раза больше, чем цинка, а во втором в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в раза больше, чем меди?

Решение.

Покажем, что эту задачу можно представить и решить, как три предыдущие задачи.
Пусть нужно согласно условию задачи взять х кг первого сплава и у кг второго сплава. Так как в первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, то значит отношение меди к цинку в этом сплаве 2 : 1 и поэтому меди в первом сплаве кг, цинка кг.
Так как во втором сплаве меди в 5 раз меньше, чем цинка, то отношение меди к цинку во втором сплаве 1 : 5 и меди в килограммах ,
цинка кг.

Составим аналогичную таблицу к решению этой задачи:

 

Тогда в новом сплаве меди кг, цинка кг. По условию задачи цинка в новом сплаве должно быть в 2 раза, то есть отношение меди к цинку1 : 2, получаем уравнение: . Умножим числитель и знаменатель левой части уравнения на 6, получим . Далее применяя свойство пропорции имеем 8х + 2у = 2х + 5у, 6х = 3у => у = 2х

Ответ: в 2 раза больше надо взять второго сплава.

11. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60 % меди?

Решение:

Сначала узнаем, сколько первоначально в сплаве меди. 36 ^. 0,45 = 16,2 кг меди.
Пусть добавили х кг меди. Тогда масса нового сплава ( 36 + х) кг – 100%, а масса меди в новом сплаве тогда (16,2 + х) кг – 60%
Получаем пропорцию <=> <=> 5(16,2 + х) = 3(36 + х) откуда х = 13,5 кг.

Ответ: 13,5 кг

12. Сплав олова с медью весом в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?

Решение:

12 ^. 0,45 = 5,4 кг меди в сплаве. Пусть х кг олова надо добавить, тогда

масса всего сплава будет (12 + х) кг -----100%
масса меди после добавления олова 5,4 кг ----- 40%,
получаем пропорцию , решив которую находим, что х = 1,5 кг

Ответ: 1,5 кг

13. Морская вода содержит 8% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

14. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием воды 75%?

15. Имеется 100 г сплава, содержащего золота и серебра в отношении 1 : 4. Сколько грамм золота надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 60% золота?

16. Имеется 200 г сплава, содержащего золота и серебра в отношении 2 : 3. Сколько граммов серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 80 % серебра? {200}

17. В 2 литра 10%-ного раствора уксусной кислоты добавили 8 л чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе? {2%)

18*. К раствору, содержащему 39 г соли, добавили 1000г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Найти первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.

Решение (один из способов):

Пусть х г – первоначальный вес раствора. Зная, что концентрацией раствора называется отношение чистого вещества к массе всего вещества, имеем, что первоначальная концентрация соли , а концентрация после добавления 1000 г воды – . По условию задачи концентрация после добавления воды уменьшилась на 10%, тогда 0,1<=> х² + 1000х – 390000 = 0 х₁= 300, х₂ = – 1300 (не может быть в задачах). Тогда первоначальная концентрация раствора в процентах =13%.

Ответ: 13%

19. Имеется два сплава олова, в первом его процентное содержание равно 30%. Если их сплавить, то получится сплав, содержащий 42% олова. Если же к полученному сплаву добавить 5 кг сплава, содержащего 20% олова, то получится сплав, содержащий 31% олова. Чему равно количество олова во втором сплаве, если его вес равен 2 кг?

Решение:

Пусть х кг – вес 1 сплава , а у кг – количество олова во втором сплаве.

Решаем систему уравнений:

Ответ: 1,2

20. Имеется два сплава олова. В первом его процентное содержание равно 24%, а во втором – 30%. Когда их сплавили , то получили сплав, содержащий 27,5% олова. Если к полученному сплаву добавить 3 кг сплава, содержащего 40% олова, то получится сплав, содержащий 30% олова. Чему равно количество олова во втором сплаве? {2,1}

21. Имеется два сплава меди. Во втором сплаве процентное содержание меди равно 20%. Если их сплавить, то получится сплав, содержащий 30% меди.Если к полученному сплаву добавить 4 кг сплава, содержащего 15% меди, то получится сплав, содержащий 24 % меди. Найти процентное содержание меди в первом сплаве, если его вес равен 4 кг. {35}

22. Имеется три сплава меди и цинка. Если их сплавить в отношении 1 : 2 : 1, то получится сплав, содержащий 30% цинка. Если же сплавить 2 кг первого сплава и 4 кг третьего, то получится сплав, содержащий 4 кг меди. Найти процентное содержание цинка во втором сплаве, если известно, что в первом сплаве оно в два раза ниже, чем в третьем. {30}

Отсюда первое уравнение, выражающее количество цинка в новом сплаве:
0,01х + 0,02у + 0,02х = 1,2 | ^. 100 3х + 2у = 120

2 ^.  4^. = 4 | ^. 100
2 ^. (100 – х) + 4 ^. (100 – 2х) = 400, решив которое , получим х = 20.
Подставив х = 20 в первое уравнение, получим у = 30.

Ответ: 30%

23.Имеется три сплава меди и свинца. Если их сплавить в равных количествах, то получится сплав, содержащий 14 % меди, а если взять 4 кг первого сплава и 5,6 кг второго, то получится сплав, содержащий 8,728 кг свинца.
Определить процентное содержание меди в третьем сплаве, если известно, что в первом сплаве оно в 2,4 раза меньше, чем во втором. {25}

24.Имеется три сплава цинка и меди. Если их сплавить в отношении 2 : 1 : 2, то получится сплав, содержащий 28% меди. Если же сплавить 4 кг первого и 6 кг второго сплава, то получится сплав, содержащий 70% цинка. Определить процентное содержание меди во втором сплаве, если известно, что в третьем сплаве оно в три раза меньше, чем в первом. {20}

25 .Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие –12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение (один из способов):

1. 100% – 90% = 10 % сухого вещества содержится в свежих грибах,
в кг находим используя нахождение % от числа =>
2. 22 ^. 0,1 = 2,2 кг сухого вещества, что составляет =>
3. 100% – 12% = 88% сухого вещества содержится в сушёных грибах. Учитывая, что содержание сухого вещества в свежих грибах и сухих грибах одинаково, сколько кг сушёных грибов получится , найдём ,используя нахождение числа по его проценту =>
4. 2,2 : 0 ,88 = 2,5 кг

Ответ: 2,5 кг

26 .Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы из них получить 45 кг сухих грибов?

Решение:

Решим эту задачу таким же способом как и предыдущую, но для этого введём, х кг – количество свежих грибов.
1. 100% – 90% = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах
2. х ^. 0,1 = 0,1х кг сухое вещество в свежих грибах
3. 100% – 20% = 80% сухое вещество, содержащее в сухих грибах . И учитывая, что содержание сухого вещества в свежих и сухих грибах одинаково, найдём
4. 0.1 х : 0,8 кг получается сухих грибов, что по условию задачи равно 4,5 кг
Решаем уравнение: 0,1х : 0,8 = 4,5 0,1х = 4,5 ^. 0,8 <=> 0,1х = 3,6  ^.  х = 3,6 : 0,1 = 36

Ответ: 36 кг.

27.Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент содержания воды в свежих грибах?

Решение:

100% – 12% = 88% = 0,88 сухого вещества в сухих грибах 2,5 ^. 0,88 = 2,2 кг сухого вещества.
В свежих грибах сухого вещества содержалось также 2,2 кг.
Следовательно процентное содержание воды в свежих грибах %

Ответ: 90%

28. Определить, сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба с влажностью 45%. {165}

29. Сколько было килограммов свежих абрикосов с содержанием воды 90%, если из них было получено 210 кг сушёных абрикосов с содержанием воды 15%? {1785}

30. На овощную базу привезли крыжовник, содержание воды в котором составляло 99%. За время хранения содержание воды уменьшилось на 1%. На сколько процентов уменьшился вес крыжовника? {50%}

31. На базу завезли яблоки, содержание воды в которых составляло 80%. В результате хранения содержание воды уменьшилось на 0,5 % и яблоки стали весить 8 тонн. Каков был первоначальный вес яблок? {8,2т}

Задачи из вариантов ЕГЭ.

32. Два спиртовых раствора борной кислоты одинаковой массы слили в один сосуд. Сколько процентный раствор получили в результате, если первый раствор был пятипроцентный (5% борной кислоты и 95% спирта), а второй – однопроцентный? {3}

33. Сколько мл воды нужно добавить к 500 мл 96%-ного раствора спирта (96% спирта, 4% воды), чтобы получить 40%-ный раствор спирта? {700}

34. 30 кг сплава меди с оловом содержит 30% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 50% олова? {12}

35. Кусок сплава меди и цинка массой 72 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди? {27}

36. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди? {3}

37. Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова? {15}

38. Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй – 40% цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цинка. Определите массу нового слава. {9}

39. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 44 кг свежих? {5}

40. Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие – 8%. Сколько получится сухих грибов из 23 кг свежих? {2}

41. Взяли одинаковые массы ягод и сиропа. Известно, что в ягодах содержится 65% воды, а в сиропе содержится 15% воды. Ягоды залили сиропом. Сколько процентов воды содержится в смеси ягод и сиропа?

42. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%.. Найдите массу привезённой смеси, если со склада было отправлено 400 кг. {410}

43. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания? {40}

44. Имеется 4 литра 70%-го раствора кислоты. Сколько литров 90%-го раствора кислоты надо к нему добавить, чтобы получился 74%-ный раствор? {1}

45. Имеется 5 литров 80%-го раствора щёлочи. Сколько литров 40%-го раствора щёлочи надо к нему добавить, чтобы получился 65%-ый раствор? {3}

46. Имелось два раствора кислоты в воде: 60%-ый и 20%-ый. Первую смесь получили из некоторого количества первого раствора и 15 л второго, а вторую смесь – из прежнего количества первого и 5 л второго. Сколько литров первого раствора использовали для приготовления каждой смеси, если концентрация кислоты в первой смеси вдвое меньше концентрации воды во второй?{5}