Цель урока: ввести понятие непрерывности функции в точке.
План.
1. Определение непрерывности функции в точке.
2. Характерные признаки непрерывности функции в
точке.
3. Односторонняя непрерывность.
4. Непрерывность функции на интервале (а; b).
5. Непрерывность функции на отрезке [a; b].
6. Основные теоремы непрерывности функции в
точке.
7. Непрерывность рациональной функции.
8. Точки разрыва.
9. Виды разрыва.
10. Приложение непрерывности функции в разных
областях науки.
I. Проверка домашнего задания.
Выполненные на отдельных листах упражнения из домашнего задания вывешиваются перед уроком на специальной доске для самопроверки.
II. Объяснение нового материала.
Учитель. Слух, зрение, восприятие
ультразвука, используемые многими
биологическими видами – все эти явления связаны
с колебательными процессами, описание которых
достигается с помощью тригонометрических
функций y = sin x, y = cos x.
А представьте себе графики этих функций. Они
представляют собой сплошную линию, т.е. линию,
которую можно нарисовать, не отрывая карандаша
от бумаги. Это – графики непрерывных функций.
Наша с вами задача построить строго
математическую модель понятия непрерывности
функции. И начнем с непрерывности функции в
точке.
Нам предстоит изучить новое понятие математики
– непрерывность функции в точке. Но прежде, чем
приступить к этому этапу урока, следует
повторить теоретический материал, необходимый
для изучения нового.
– Дайте определение функции в точке.
– Рассмотрите графические иллюстрации понятия предела функции в точке. Ответьте на вопрос:
– Есть ли предел функции в указанной точке? Если есть, то чему он равен. Если нет – то объясните почему.
(Рисунки учитель заранее заготовил на доске, они выполнены цветным мелом)
– Есть ли предел функции в указанной точке? Если есть, то чему он равен? Если нет, то объясните почему.
Дорисуйте график функции так, чтобы в точке х 0 = 1 функция:
а) имела предел,
б) не имела предела.
– Вычислите предел в точке. Какая теорема использована вами для вычисления?
– Верна ли запись в пункте в)? Как ее нужно заменить?
Учитель. Мы повторили теоретический материал, а теперь для знакомства с новым понятием, я попрошу построить Вас в тетради и на доске графики следующих функций:
Каждый из вызванных учеников должен рассмотреть график своей функции в указанной точке и ответить на 4 вопроса.
- Определена ли функция в данной точке?
- Является ли указанная точка внутренней точкой области определения?
- Имеет ли функция предел в указанной точке?
- Равен ли предел значению функцию в данной точке?
Из ответов на вопросы учитель делает вывод:
функцию называют непрерывной в точке а, если
она определена в этой точке и предел функции в
этой точке равен значению функции в этой точке.
– Давайте выделим характерные признаки
непрерывности:
- a
D(f); - x = a – внутренняя точка области определения;
- существует предел функции в точке х = а;
- предел функции в точке х = а равен значению функции в точке х = а.
Вывод из работы учеников: непрерывными в точке х = а являются графики № 1 и № 3.
– А что можно сказать про функцию №6 в точке х = 0?
Наряду с непрерывностью функции в точке
рассматривают одностороннюю непрерывность
(справа и слева), определяя ее равенствами
f (a + 0) = f (a) или f (a – 0) = f (a).
Вопрос: Назовите функцию, которая имеет одностороннюю непрерывность в точке? (Ответ: чертеж № 6)
| Определение. Функция f(x),
непрерывная в каждой точке интервала (а, b),
называется непрерывной ни этом интервале. Определение. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (а, b), и в точке а непрерывна справа, а в точке b – непрерывна слева. |
– Сформулируем основные теоремы о непрерывных функциях в точке:
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, тогда
- функции y = f(x) + g(x) и y = f(x) – g(x) непрерывны в точке а;
- функция y = f(x) – g(x) непрерывна в точке а;
- если функция g(x) в точке а не обращается в нуль, то y = f(x) / g(x) непрерывна в точке а.
– Из какой теоремы следуют эти свойства (ответ: свойства предела функции в точке).
Пример:
Исследуйте функцию 
на непрерывность.
D(y) = (– 
; 2) U (2; 3) U
(3; + ? ).
Y = sin x непрерывна в каждой точке x R, y = x 2 – 5 x + 6
непрерывна при x
R и отлична от нуля всюду, кроме точек х = 2 и х = 3.
Поэтому по теореме о непрерывности частного
данная функция непрерывна в каждой точке
числовой прямой, кроме х = 2 и х = 3, следовательно
она непрерывна на (– ; 2)U(2;3)U(3;+ ).
– А какая функция называется рациональной?
Ранее, при вычислении пределов нами было установлено, что если рациональная функция имеет значение при х = а (т.е. подстановка х = а не приводит к делению на 0), то предел этой функции равен ее значению в точке а.
Вывод: рациональная функция непрерывна при всех значениях х, для которых она имеет числовое значение.
Пример:
Исследуйте функцию 
на непрерывность.
Ответ: функция непрерывна на (– ; – 4) U (– 4; 4) U (4; + ).
– Теперь рассмотрим вопрос о точках, в которых нарушается непрерывность.
– Рассмотрим функцию y = [x]. Например, в точке х = 1 функция терпит разрыв. Это – точка разрыва 1-го рода.
| Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но неравные друг другу правый и левый пределы. |
– Вернемся к чертежу № 2 в тетради. х 0 = – 3 – точка устранимого разрыва функции f(x).
| Определение. Точка х 0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует предел функции f(x) при х, стремящемся к х0, но f(x) неопределена в точке х0 или предел функции f(x) при х, стремящемся к х0 не равен значению f(x0). |
– Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции только в одной точке, не меняя остальные, т.е. доопределить значение функции
| Определение. Точка х 0
называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой
точке функция имеет по крайней мере один из
односторонних пределов, или хотя бы один из
односторонних пределов бесконечен.
|
III. Работа с учебником.
– Читаем стр. 153 последний абзац № 353 устно.
– Итак, сегодня мы познакомились с понятием
непрерывности функции в точке.
Приведем примеры непрерывных функций в биологии
и экономике.
IV. Сообщения учащихся (2-3 минуты).
– Рассмотрим нервную клетку, которая способна возбуждаться от внешних воздействий. Если величину возбуждения Е измерить в некоторых единицах, то график возбуждения E = E(t) имеет вид, изображенный на рисунке
В момент t0 клетка получает возбуждение. Однако возбуждение происходит в некоторый момент t1> t0. В момент t1 клетка мгновенно возбуждается до максимальной величины, а затем возбуждение постепенно уменьшается до тех пор, пока не будет нового сигнала. Если этого сигнала нет долго, то возбуждение становится равным нулю.
В области экономики одинаково часто встречаются как непрерывные, так и разрывные функции. Пусть х – количество израсходованной предприятием электроэнергии в кВт/ч, у – стоимость ее в рублях. Известно, что у = kx, где k – тариф. Эта функция непрерывна.
Изменим условия примера. В целях
стимулирования экономики электроэнергии
введено два разных тарифа: если расход энергии не
превышает а кВт/ч, то тариф прежний равен k, ели же
расход превышает а кВт/ч, то тариф увеличивается
на l, т.е. становится равным k + l.
Т.о. 
График этой функции имеет вид
V. Итог урока.
Выставляются отметки за урок.
Домашнее задание: п. 5 стр. 152 по плану лекции; № 349, № 354 (2), 355(2, 4).
Литература:
- Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М-1992 г.
- Виленкин Н.Я Функции в природе и технике.М-1985 г.
- Беляева Э.С. Бондаренко Т.Е. и др. Методика изучения производной и интеграла. Учебное пособие. Воронеж 2001 г.
- Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике. Просвещение 1999 г.