Научно-практическая конференция по теме: "Тела вращения" в 11-м классе с углубленным изучением математики

В работе по углубленному изучению математики все важно и значимо: четкое, логически продуманное планирование урока, интересное, емкое содержание, строгое изложение теории, широкий тренинг решения задач, рассмотрение серий задач, объединенных общей темой или общей идеей решения, использование сюжетных задач. Но особого внимания заслуживает система обобщающих уроков по основным темам курса, которые необходимы для целостного восприятия материала. Наиболее интересны такие итоговые занятия в математических классах, где они часто бывают «открытыми» для учителей, учащихся других классов. И это понятно. Такие занятия носят ярко выраженные просветительные цели: учащиеся вместе с учителем стремятся поделиться с гостями своими знаниями, подчеркнуть широту применения математических понятий и идей и тем самым выразить свое восхищение математикой и уважение к предмету.
Подготовка к итоговому занятию начинается с первых дней изучения темы: отрабатывается основной материал, выполняются обзорные упражнения различной степени трудности, упражнения исследовательского характера.В старших классах повторительно-обобщающие уроки провожу в форме научно-практической конференции. Такая форма уроков используется не чаще чем 1-2 раза в год и пользуется большой популярностью у учащихся. Наряду с повторением уже изученных на рабочих уроках определений и свойств ученикам предлагается изучить дополнительный материал, доказать отдельные теоремы самостоятельно. Для этого весь класс делится на группы, каждая из которых получает задание по отдельному разделу изученной темы и примерный список литературы. Обязательным условием является подготовка хорошей иллюстрации к сообщениям. Так как интенсивно готовимся к уроку-конференции в течение двух недель, то у любого ученика есть возможность в случае необходимости получить консультацию у учителя. На таких уроках не бывает скучающих: старшеклассники уже умеют конспектировать, поэтому каждый старается записать в тетрадь сведения, ему еще не известные. В процессе подготовки ребята получают опыт публичных выступлений, навык самостоятельной работы с учебной и научной литературой, совершенствуют умение анализировать изученное и грамотно излагать его. Ну и еще один немаловажный фактор - это получение хорошей оценки, потому что та серьезная работа, которая предшествует уроку-конференции, плохую оценку исключает.

Тема урока: Научно-практическая конференция по теме «Тела вращения».

Цели урока:

• обобщить и систематизировать знания и умения учащихся, изучить дополнительный теоретический материал по указанной теме;
• формировать навык работы учащихся с дополнительной литературой, совершенствовать умение анализировать, обобщать, находить главное в прочитанном, доказывать новое; развивать коммуникативные навыки учащихся;
• воспитывать графическую культуру.

Представим себе, что плоский многоугольник ABCDE вращается вокруг прямой АВ. При этом каждая его точка, не принадлежащая прямой АВ, описывает окружность с центром на этой прямой. Весь многоугольник ABCDE, вращаясь вокруг прямой АВ, описывает некоторое тело вращения.

Прямая АВ - ось этого тела. Чтобы задать тело вращения, достаточно указать его ось и фигуру, вращением которой получено данное тело. Следует различать понятия «фигура вращения» и «тело вращения». Не каждая фигура является телом. Например, круг, кольцо, сфера - фигуры вращения, но не тела. Соотношение между различными видами фигур вращения можно представить следующей схемой.

Сообщения учащихся.

I. Цилиндр.

1. Поверхность цилиндра. Цилиндрическая поверхность. Цилиндр.

Раскрываются понятия поверхность цилиндра, цилиндрическая поверхность. Рассматриваются с помощью иллюстраций все виды цилиндров: прямой круговой, круговой цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскости основания, цилиндр, который не является круговым.

Доказываются свойства:

1. Все образующие цилиндра (любого) равны друг другу.
2. Основания цилиндра равны друг другу.
3. Цилиндр является выпуклым тогда и только тогда, когда его основание выпукло.

2. Плоскость, касательная к цилиндру.

Определение плоскости, касательной к цилиндру. Определение призмы, описанной около цилиндра.

3. Сечение цилиндра плоскостью.

а) осевое сечение цилиндра;
б) сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси;
в) сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию. Доказать теорему о том, что все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям основания цилиндра, равны основанию цилиндра;
г) эллипс как сечение цилиндра вращения.

II. Конус.

1. Определение конуса как фигуры вращения и как фигуры, образованной лучами, идущими из точки Р через точки фигуры F. Конические поверхности.
2. Плоскость, касательная к конусу.
3. Доказать теорему о том, что конус является выпуклым тогда и только тогда, когда его основание выпукло.
4. Сечения конуса плоскостью.
   а) сечение конуса плоскостью, параллельной основанию;
   Доказать теорему: Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания подобно основанию. Коэффициент подобия равен отношению расстояния от вершины конуса до плоскости сечения к высоте конуса.
   б) осевое сечение конуса;
   в) сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду основания;
   г) конические сечения.

III. Усеченный конус. (Определение, элементы, сечения усеченного конуса плоскостью).

IV. Шар.

1. Сфера и шар (определение, элементы).
2. Взаимное расположение шара и плоскости. Сечение шара плоскостью.
3. Свойства больших кругов:
   а) теорема 1. Всякая плоскость, проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.
   б) теорема 2. Через две точки шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну.
   в) теорема 3. Окружность двух больших кругов пересекаются и линия их пересечения есть диаметр.

V. Подобные цилиндры и конусы.

1. Формулы площадей боковой и полной поверхностей цилиндров и конусов. Формулы их объемов.
2. Определение подобных цилиндров и конусов.
3. Теорема. Боковые и полные поверхности подобных цилиндров или конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы - как кубы радиусов или высот.

VI. Устные упражнения.

Устные упражнения не только позволяют проверить умение учащихся решать несложные задачи, но дают возможность переключить внимание, активизировать познавательную деятельность. Предлагаются такие задания в паузах между блоками урока.

1. Назовите уравнение сферы, точки которой находятся на расстоянии 2 см от начала координат. (x+у+z=4)
2. Два различных сечения шара пересекаются. Как называется линия их пересечения? (Хорда).
3. Во сколько раз боковая поверхность цилиндра больше осевого сечения? (в раз)
4. Площадь сечения шара равна 9см. Сечение удалено от центра на расстояние 4 см. Вычислите радиус шара. (5 см).
5. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 2;4 и 4 см. описана сфера. Вычислите ее радиус. (3 см).
6. Как называется отрезок, который получается в результате пересечения двух больших кругов шара? (Диаметр).
7. Сколько общих точек имеет прямая с шаровой поверхностью? (1 или 2).
8. Сколько диаметров можно провести через точку, произвольно взятую внутри шара? (1).
9. Определите форму тела, если его проекциями в горизонтальной и вертикальной плоскостях являются круги. (Шар).
10. При каком условии шаровой сегмент можно назвать шаровым сектором? (Полушар).

VII. Задача.

Прямая линия - касательная к боковой поверхности - составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол . Какой угол составляет эта прямая с плоскостью основания конуса, если образующие его наклонены к плоскости основания под углом ?

Дано: конус, SA - образующая, SAO=,
MB - касательная к конусу,М SA,
(SA;MB)= , - плоскость основания
Найти: (MB;)=.
Решение.
AMB=
AB, AB - касательная к основанию конуса
(Повторить определение угла между прямой и плоскостью)
MNAO (MN || SO), (MN;)=MBN
MNB - прямоугольный, Sin=

3. Подведение итогов урока