Переход от понятия с объемом V к другому, с
более широким объемом V1 таким, что V
V1, означает
обобщение. Обратный переход означает
конкретизацию. Второе понятие в этом случае
называют обобщением первого, а первое – конкретизацией
второго.
В процессе обучения обобщению и конкретизации при изучении понятий учащийся должен осознать, что включение в первичное содержание понятия свойства, входящего в производное содержание понятия, не изменяет объема понятия, т.е. не ведет к его конкретизации. Если некоторое свойство, входящее в первичное содержание понятия, есть следствие других свойств, то исключение этого свойства также не изменяет объема понятий, т.е. не приводит к обобщению понятия. Такое свойство может быть переведено в производное содержание понятия.
Например, если в определение параллелограмма включить свойство: “Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны”, то объем понятия параллелограмма от этого не изменится и нового понятия не получится.
Приведем другой пример. При определении
понятия прямоугольника в школьном учебнике в его
первичное содержание (в определение) включаются
следующие свойства: 1) Прямоугольник ABCD –
параллелограмм, 2) 
А
= 90°, 3) В =
90°, 4) С = 90°, 5) D = 90° (в учебнике
говорится: “все углы прямые”. Если из
определения исключить свойства 3, 4, 5, то объем
понятия прямоугольника от этого не изменится,
т.е. исключение свойств 3, 4, 5 не приведет к
обобщению понятия прямоугольника. Это
объясняется тем, что свойства 3, 4, 5 являются
следствиями свойств 1 и 2. В то же время включение
в первичное содержание параллелограмма
свойства: “Один из углов параллелограмма
прямой” – приводит к конкретизации понятия
параллелограмма – к новому понятию
“прямоугольник”.
В связи с этим возникает вопрос: как установить, приводит ли включение нового свойства в первичное содержание некоторого понятия к его конкретизации (а исключение – к обобщению)? В решении этого вопроса приходится пользоваться двумя путями:
1) Устанавливать, что включаемое свойство есть следствие свойств, входящих в определение исходного (конкретизируемого) понятия. Если это удается сделать, то делаем вывод, что включение данного свойства в первичное содержание исходного понятия не конкретизирует это понятие (не приводит к сужению объема понятия). Например, установив, что конгруэнтность противоположных сторон параллелограмма есть следствие свойств, входящих в его определение, получаем вывод, что включение этого свойства не конкретизирует понятия “параллелограмм”.
2) Выбираем некоторое (обычно, конечное) множество объектов, входящих в объем исходного понятия. Причем среди этих объектов должны быть и такие, которые обладают включаемым свойством. Если множество объектов, обладающих дополнительным свойством, есть собственное подмножество выбранного множества, то включение этого свойства в первичное содержание исходного понятия приводит к сужению объема этого понятия, т.е. к его конкретизации.
Другими словами, чтобы убедиться в конкретизирующем воздействии свойства, включаемого в первичное содержание исходного понятия, необходимо и достаточно убедиться в том, что среди объектов, входящих в объем исходного понятия, существуют как такие, которые обладают вновь включаемым свойством (этим самым устанавливается непротиворечивость этого свойства первичному содержанию исходного понятия), так и такие, которые не обладают указанным свойством (этим самым устанавливается независимость вновь включаемого свойства от первичного содержания исходного понятия.)
Аналогичным образом (но в “обратном” порядке) устанавливается, приводит ли исключение некоторого свойства, входящего в первичное содержание понятия, к понятию с более широким объемом, т.е. к обобщению исходного понятия. Если исключаемое свойство есть следствие других свойств из первичного содержания понятия, то его исключение не приводит к обобщению. Если же исключаемое свойство независимо от других свойств, принадлежащих первичному содержанию понятия, то его исключение приведет к обобщению этого понятия.
Анализ содержания обобщения и процесса обобщения и конкретизации при исключении свойства, принадлежащего первичному содержанию понятия, или включении в первичное содержание нового свойства позволяет сделать вывод, что обучение учащихся обобщению и конкретизации при изучении понятий должно включать в себя решение следующих типов задач:
1. На перечисление свойств понятий, содержащихся в их определении (на перечисление свойств, принадлежащих первичному содержанию понятия).
2. На выявление и перечисление свойств являющихся следствием первичного содержания понятия (т.е. на выработку представлений о производном содержании понятия).
3. На установление невозможности одновременного выполнения указанных свойств (на “противоречивые свойства”).
4. На установление непротиворечивости свойств.
5. На установление независимости свойств.
6. На усвоение необходимого и достаточного условия конкретизации и обобщения понятия в случае включения или исключения некоторого свойства.
7. На выяснение, является ли одно из двух данных понятий обобщением (конкретизацией) другого (является ли множество объектов, удовлетворяющих определению одного понятия, собственным” подмножеством объектов, удовлетворяющих определению другой понятия).
Необходимо иметь в виду, что в конкретных задачах цели, преследуемые тем или иным типом задач, могут быть сформулированы в неявном виде или в явном виде. Из соображений доступности задачи для 5–6-х классов раскрывают преследуемую цель, как правило, неявно. В задачах на обучение обобщению и конкретизации в 8–9-х классах целесообразно параллельное использование неявного и явного раскрытия преследуемых целей, сочетание неявного подхода с явным.
Важно также отметить, что задачам каждого из указанных типов могут предшествовать подготовительные задачи.
Задачи на выяснение, является ли одно из двух данных понятий обобщением другого, несут в себе несколько дидактических функций. Выделим две из них, важных для обучения обобщению и конкретизации. Во-первых, через них учащиеся осознают, что существуют такие пары понятий, что ни одно из них не является ни обобщением, ни конкретизацией другого. С помощью такого типа задач учащиеся знакомятся с доступными им способами обобщения и конкретизации понятий, отличными от способа, состоящего в исключении или включении свойства. Следовательно, при обучении обобщению и конкретизации, во-первых, необходимо учитывать необходимость еще одного типа задач.
8. Задачи на сравнение понятий, ни одно из которых не есть обобщение (следовательно, и конкретизация) другого.
Во-вторых, система задач должна отражать в себе все доступные логически возможные способы обобщения и конкретизации понятий, Кроме этого требования, к системе задач на обучение обобщению и конкретизации необходимо предъявить еще два требования. Одно из них вытекает из теоретико-множественного подхода к истолкованию объема понятия, и доступности и наглядности сравнения конечных множеств: в задачах по обучению обобщению и конкретизации необходимо широкое использование конечных множеств. Другое требование следует из неразрывной связи обобщения и конкретизации и обязывает обеспечить единство работы по обучению этим мыслительным операциям.
Подводя краткий итог, можно заключить, что в обучении обобщению и конкретизации (при изучении понятий) необходима система задач, удовлетворяющая четырем требованиям:
I. Содержать перечисленные типы задач 1 – 8.
II. Использовать все доступные логически
возможные способы обобщения и конкретизации.
III. Широко использовать конечные множества.
IV. Обеспечивать единство работы по обучению
обобщению и конкретизации.
Весьма существенным фактором, обеспечивающим как успех обучения обобщению и конкретизации, так и положительное влияние процесса такого обучения на усвоение изучаемого материала, является то, что каждая из задач перечисленных типов (1 – 8) есть органическое объединение (в иной форме) традиционных задач, несет теперь большую смысловую нагрузку и связана с другими задачами более широкой целью: научить сравнивать объемы понятий, выяснять, не является ли одно из них обобщением другого.
Сформулированные четыре требования к системе задач на обучение обобщению и конкретизации при изучении понятий представляют собой основу методики обучения указанным мыслительным операциям в процессе изучения математических понятий. При этом необходимо иметь в виду, что совсем не предполагается, чтобы при изучении каждого понятия выполнялись все эти требования. Осуществление перечисленных требований означает их реализацию не в рамках обучения обобщению и конкретизации при изучении одного понятия, а конечном итоге и рассчитано на длительный срок.
Рассмотрим систему задач и методику обучения обобщению и конкретизации при изучении ряда геометрических понятий явно раскрывая при этом их связь с указанными требованиями, с типизацией задач.
Работа по обучению обобщению и конкретизации при изучении геометрических понятий в 5–6-х классах носит “неявный характер”. Учащимся не сообщаются такие термины, как “обобщение”, “конкретизация”, “независимость”, “непротиворечивость”, “следствие”. Вместо этих терминов используются выражения “это множество “шире”, “это множество “уже”, “это свойство может выполняться”, а “это свойство может в то же время не выполняться”, “если “это” свойство выполнено”, то “это “второе” не может выполняться”, “если это свойство выполнено, то это не значит, что и “это” свойство выполняется””, “эти два свойства одновременно не могут выполняться”, “при выполнении “этого” свойства “другое” свойство может выполняться и может не выполняться”. Учащиеся 5–6-х классов могут также пользоваться выражениями: “эти свойства противоречивы”, “эти свойства непротиворечивы” в силу близкого к математическому смыслу вкладываемого в них “житейского смысла”, известного учащимся. Однако эти выражения должны играть сопутствующую роль и раскрываться такими, как “эти свойства одновременно выполняться не могут”, “если одно из этих свойств выполняется, то другое не выполняется”, “эти свойства могут выполняться одновременно”.
После введения понятия подмножества и отношения включения для множеств в 5-м классе наряду с выражениями “это множество шире”, “это множество уже” используются выражения: “это множество есть собственное подмножество “этого” множества”, “это множество содержит в себе “вот это” множество” и соответствующая символическая запись.
Перейдем к рассмотрению задач, в процессе решения которых осуществляется обучение обобщению и конкретизации.
Прежде всего, отметим, что в 5–6-х классах существенную “подготовительную” роль играют занимательные задачи и задачи, использующие материал алгебры. Приведем примеры таких задач.
1. Капризный Петя потребовал, чтобы ему купили собачку, обладающую одновременно двумя свойствами:
1) Вся собачка должна быть черной.
2) Вся собачка должна быть рыжей.
Может ли быть удовлетворен Петин каприз?
Решая эту задачу, учащиеся неявно знакомятся с понятием противоречивости свойств. Они говорят, что такой собачки не существует, что если собачка рыжая, так она не черная, а если черная, так не рыжая.
2. Существуют ли два таких числа а и b, для которых выполняется два таких свойства:
1)
= 1;
2) аb = 0.
Эта задача, как и предыдущая – на установление противоречивости свойств.
3. Существуют ли два таких числа а и b, для которых выполняются два таких свойства:
1)
= 2;
2) аb = 2.
Выяснив, что такими числами могут быть числа 2 и 1, учащиеся неявно осознают непротиворечивость указанных свойств для чисел а и b. Следовательно, эта задача на установление непротиворечивости свойств.
4. Коля сначала искал такие два натуральные числа а и b, для которых выполняются свойства: 1) ab = 0; 2) число а на 1 больше числа b. Нашел ли он два таких числа? Найдет ли Коля два таких натуральных числа а и b, для которых выполняются указанные два свойства и еще одно свойство: 3) а + b = 1. Какие это числа? Почему эти числа оказались теми же самыми?
Эта задача – на установление независимости свойств 1 и 2 и одновременно на выявление того, что свойство 3 есть следствие свойств 1 и 2. Учащиеся должны сделать вывод, что натуральные числа, обладающие свойствами 1 и 2, существуют, (эти свойства могут выполняться одновременно), что свойство 3 обязательно выполняется, если выполняются свойства 1 и 2. В данной задаче неявно проводится мысль, что включение во множество свойств их следствия не приводит к конкретизации.
5. Найдите такие два натуральных числа m и n, для которых выполняются три свойства: 1) mn = 0; 2) m меньше n на 2; 3) m + n = 2. Затем найдите такие два натуральных числа m и n, для которых выполнены свойства 1 и 2. Почему получилось то же самое множество чисел, что и в первом случае?
Здесь учащиеся в неявной форме должны осознать, что если исключаемое свойство есть следствие “остающихся” свойств, то его исключение не приводит к обобщению. При решении этой задачи необходимо помочь учащимся понять, что если свойства 1 и 2 выполняются, то и свойство 3 обязательно выполняется – независимо от того, упоминается оно в задаче или нет. По этой причине во втором случае получаются те же самые значения m и n.
Задачи 4 и 5 можно отнести и к задачам на
установление непротиворечивости свойств, и к
задачам на усвоение необходимого и достаточного
условия обобщения и конкретизации при
исключении (включении) некоторого свойства, т.е.
они выполняют не одну функцию.
Наличие задач 4 и 5 означает также выполнение
требования о единстве обучения, обобщению и
конкретизации.
Рассмотрим далее задачи, опирающиеся на свойства биссектрисы угла (5 класс).
6. Пользуясь определением биссектрисы угла, перечислить ее свойства.
Очевидно, что данная задача относится к типу на перечисление свойств, входящих в определение (первичное содержание понятия).
Эти свойства следующие:
1) биссектриса угла – это луч;
2) биссектриса угла выходит из вершины угла;
3) биссектриса угла делит его пополам.
7.
а) Откажемся от свойств 2 и 3 биссектрисы угла. Будем считать биссектрисой угла фигуру, удовлетворяющую свойству 1. Изобразите угол и несколько фигур, которые можно при этом условии считать биссектрисами изображенного угла. Сколько таких фигур можно построить?
(Учащийся должен понять, что в этом случае любой луч можно считать биссектрисой.)
б) Будем считать биссектрисой угла фигуру, удовлетворяющую свойствам 1 и 2. От свойства 3 откажемся. Изобразите несколько фигур, которые можно в этом случае считать биссектрисами угла. Сколько таких фигур можно построить? Всякий ли луч, выходящий из вершины угла, делит этот угол пополам?
в) Когда Коля учился в 3-м классе, он спросил у старшего брата: “Что такое биссектриса?” Брат ответил ему: “Это луч, который делит угол пополам”. Коля поверил ему. Изобразите угол и несколько фигур, которые Коля будет считать биссектрисами этого угла. Сколько будет у Коли биссектрис.
Обязательно ли выполняется свойство 2, если выполняются свойства 1 и З?
г) Будем под биссектрисами угла подразумевать фигуру, удовлетворяющую свойствам 1, 2, 3. Изобразите биссектрису угла. Можно ли в определении биссектрисы угла опустить одно из свойств (получим ли тогда – тоже самое)? Какое множество шире: множество биссектрис или множество лучей, обладающих свойством 2; множество биссектрис или множество лучей, обладающих свойством 3? Почему?
Решая задачу 7, учащиеся должны осознать роль каждого из свойств, входящих в первичное содержание биссектрисы угла. Он начинают понимать, что “потеря” свойства может привести к другому понятию, объем которого будет представлять более широко множество объектов. Данная задача выполняет функции нескольких типов: в ней устанавливается независимость свойств, вырабатывается представление о необходимом условии обобщения и конкретизации при исключении и включении некоторого свойства. В неявном виде здесь учащиеся встречаются с обобщением и конкретизацией что означает выполнение требования о единстве в обучении этим мыслительным операциям. В процессе решения учащиеся изображают в данном случае некоторое конечное число объектов, которые принадлежат объему рассматриваемого понятия, сравнивают множества этих объектов. Следовательно, в этой задаче неявно yстанавливается является ли одно из понятий обобщением другого, используются для получения и осмысления выводов конечные множества.
Большие возможности обучения обобщению и конкретизации содержит в себе изучение точечных отображений в 5-м классе. Paссмотрим это для случая определение параллельного переноса.
Прежде всего, необходимо добиться овладения учащимися свойствами, перечисленными в учебнике при раскрытии содержания (первичного содержания) понятия "параллельный перенос фигур". Поэтому предлагаем следующую задачу.
8. Как перемещаются точки при параллельном переносе?
После выделения свойств необходимо записать (на доске и в тетрадях):
1) при параллельном переносе все точки
перемещаются в одном и том же направлении;
2) при параллельном переносе все точки
перемещаются на одно и то же расстояние.
На начальной стадии изучения параллельного переноса фигуры полезно воспользоваться конечными множествами точек. С этой точки зрения удобна модель, состоящая из 16 точек пересечения прямых, образующих сетку квадратов (“клетчатую бумагу”). Указанные точки пронумерованы и обозначены соответствующими цифрами (и сочетаниями цифр) от 1 до 16.
На основе этой модели можно предложить ряд задач на обучение обобщению и конкретизации.
9. Фигура F = (1, 2, 3) перешла в фигуру Ф = (5, 10, 15) так,
что точка 1 перешла в точку 5 (краткая запись 1
5), точка 2
отобразилась (перешла) на точку 10 (210), точка 3 отобразилась на
точку 15 (315).
Выполняется ли здесь первое свойство параллельного переноса фигуры? второе свойство?
При решении данной задачи устанавливается независимость второго свойства параллельного переноса фигуры от первого свойства.
10. Фигура F = (2, 3) отобразилась (перешла) на фигуру Ф = (1, 4), причем точка 2 перешла в точку 1, а точка 3 в точку 4. Выполняются ли свойства параллельного переноса фигуры в этом отображении F на Ф?
Решение этой задачи позволяет учащимся сделать вывод, что второе свойство параллельного переноса может быть выполнено, а первое свойство при этом может и не выполняться.
11. Фигуру F = (1, 2) отобразили на фигуру Ф = (3, 4)
двумя способами: а) 14, 23; б) 13, 24. Которое из этих двух отображений
есть параллельный перенос? Почему?
Данная задача подчеркивает непротиворечивость свойств параллельного переноса фигур.
12. Каким образом можно отобразить фигуру F = (2, 3) на фигуру Ф = (6, 7)? Сколько всего способов отображения F на Ф в данном случае? Сколько из них являются параллельным переносом? Почему параллельных переносов меньше, чем всех отображений?
Отвечая, что всех отображений первой фигуры на вторую два, а параллельный перенос один и что параллельных переносов меньше потому, что в одном отображении не выполняется первое свойство, а в параллельном переносе оно должно выполняться, учащиеся осознают, что дополнение второго свойства первым ведет к уменьшению количества отображений (т.е. к конкретизации).
Таким образом, приведенная задача вместе с задачами 10 и 11 образует “задачу” на уяснение необходимого и достаточного условия конкретизации понятия при включении в его первичное содержание нового свойства.
13. Коля сказал: “Параллельный перенос – это
когда одна фигура переходит в другую так, что все
точки первой фигуры перемещаются на одно и то же
расстояние”. Как вы оцениваете Колины знания?
Какие из указанных отображений фигуры F = (6, 7,
11, 10) на фигуру Ф = (1,4, 16, 13) можно считать на
основании Колиного определения параллельным
переносом: a) 61, 74, 1116, 1013;
б) 64, 71, 1113, 1016; в) 61, 74, 1113,
1016. Можно ли
первую фигуру отобразить на вторую с помощью
параллельного переноса? Почему? Можно ли
опустить первое свойство параллельного переноса
фигур?
Эта задача выполняет несколько функций, отраженных в наименовании типов задач. Во-первых, в сочетании с задачей 10 она образует “задачу” на уяснение необходимого и достаточного условия обобщения понятия при исключении свойства из определения (из первичного содержания) понятия. Во-вторых, вместе с предшествующей задачей она способствует осуществлению требования о единстве обучения обобщению и конкретизации.
14. Какие свойства параллельного переноса, кроме двух ранее указанных, вы знаете?
Эта задача – на выявление и перечисление свойств, входящих в производное содержание понятия (являющихся следствием первичного содержания).
Для удобства использования выявленных свойств в последующих задачах нужно эти свойства пронумеровать и записать. В данном случае выделим свойство 3: “При параллельном переносе всякая фигура переходит в конгруэнтную ей фигуру”.
При решении задачи 13 это свойство было использовано, для установления невозможности отобразить первую данную фигуру на вторую путем параллельного переноса. Этим самым подчеркивалось, что если свойства 1 и 2 выполняются, то и свойство 3 выполняется (т.е. оно есть следствие первых двух свойств).
15. Коля сказал: “Параллельный перенос фигуры –
это отображение одной фигуры на другую, в котором
выполняются свойства 1 и 2”, Саша сказал: “Это
отображение, в котором выполняются свойства 1, 2 и
3”. После этого им предложили фигуру F = (5, 1, 2)
отобразить на фигуру
Ф = (7, 3, 4) путем параллельного переноса. Коля
получил: 57, 13, 24. Как отобразит точки 5, 1, 2 Саша?
Почему он получил то же самое?
Предложенная задача способствует усвоению необходимого и достаточного условия конкретизации при включении в первичное содержание нового свойства.
Большую пользу приносят задачи на
самостоятельное “конструирование” отображения
одной фигуры на другую и на использование
отношения включения множества. Например, можно
предложить учащимся отобразить фигуру F = (2, 3, 7, 6)
на фигуру Ф = (10, 11, 15, 14) так, чтобы: а) это
отображение было параллельным переносом; б) не
выполнялось второе свойство, а первое свойство
выполнялось; в) свойство 1 не выполнялось, а
свойство 2 выполнялось. А – множество
отображений F на Ф в случае а); В – множество
отображений F на Ф в случае б); С – множество
отображений в случае в). Какое множество есть
собственное подмножество других множеств? Какие
отношения верны: А 
С, В А, С А, В С?
Успешное решение задач такого рода означает более высокий уровень неявного осознания учащимися понятия независимости свойств, их непротиворечивости, понимания отношения включения множеств.
Аналогичным образом может быть построена работа по обучению обобщению и конкретизации при изучении центральной симметрии.
Рассмотренные задачи показывают, что при изучении геометрических (и алгебраических) понятий в 5–6-х классах имеются широкие возможности для обучения учащихся обобщению и конкретизации.
Поступая аналогично, опираясь на сформулированные требования к обучению обобщению и конкретизации при изучении понятий, учитель сможет осуществить такое обучение и при изучении других понятий, здесь не рассмотренных.