Предисловие.
Дети очень любят выполнять задания своими нестандартными методами, с большим интересом относятся ко всему новому, желают превзойти своих учителей, быть замеченными среди товарищей и стремятся к повышению своих результатов. При решении задач по математике, информатике, и другим предметам, выполнении производственных заданий они ищут собственные рациональные методы их решения с наименьшими затратами труда и средств. Во время поиска выхода из тупиковых ситуаций оригинальным методом глаза детей загораются яркими огоньками, на их лицах появляется радостная, озабоченная улыбка. В таких ситуациях учителю необходимо оказывать помощь в выборе способов решений данных заданий и совместно искать пути и методы для рационального достижения результата.
Так, при изучении формул приведения
тригонометрических функций, учащийся Кондратьев
Роман пытается доказать верность формулы
приведения с помощью формулы сложения
, заменяя в ней
величину
на
значение
,
получает следующий вид
.
Из определения тангенса известно, что , то есть
действительных чисел для определения величины tg
в настоящий период нет.
Тригонометрические функции определяют законы
поворота точки (1; 0) единичной окружности вокруг
начала координат, которая является материальной
и поворачивается беспрерывно, что даёт
возможность предполагать о существовании
зависимости функций
, а также наличия функции
, величина которой обладает
нестандартными свойствами и не входит в область
действительных чисел. Для определения свойств
величины
и
решения задачи учащегося Кондратьева Романа его
нестандартным способом проводится следующий
урок.
Цель урока: оказать помощь учащемуся Кондратьеву Роману, его товарищам в решении задачи их способом и развить самостоятельные навыки в творческой деятельности учащихся.
Тип урока: Урок собственных открытий.
Задачи:
- Привить любовь к творческому труду и решению задач собственными силами.
- Научить учащихся выявлять законы развития окружающего их мира с целью решения задач, повышения благосостояния общества и сохранения окружающей среды.
- Продолжить формирование нравственных качеств учащихся, их интеллекта и творческой личности.
Оборудование: компьютерный класс, программы Microsoft Office, проектор, учебники, индивидуальные задания.
Продолжительность занятий: 2 часа.
ХОД ЗАНЯТИЙ
I. Проверка готовности учащихся к занятиям.
Проверяется наличие учащихся в классе, их состояние, отношение к умственному труду, наличие и качество учебного оборудования, дидактических материалов.
II. Сообщение цели урока и метода её достижения.
Требуется решить задание учащегося
Кондратьева Романа, предложенным им способом,
определить свойства величины и найти им применение при решении
задач теоретического и прикладного характера.
Для поиска свойств величины
предлагается сравнить формулы
определения площади треугольника по стороне и
двум прилежащим к ней углам при величине одного
из углов равной
.
(1) (2)
, где S – площадь
треугольника, c – длина стороны треугольника,
и
величины углов, прилежащих
к стороне c. Если один из прилежащих углов к
стороне с треугольника будет 90°, то формула (1)
упрощается и примет вид формулы (2).
Формулы (1) и (2) учащиеся изучают в училище, а также
им предлагается ознакомиться с ними на сайте
интернета https://urok.1sept.ru,
фестивале педагогических идей “Открытый урок”
2003/2004 учебного года или в статье “Площадь
треугольника. Новые задачи” еженедельного
учебно-методического приложения к газете
“Первое сентября”, “Математика” №2, 1999 года.
Приравниваем правые части формул (1) и (2) , когда
величина =
= 90° , так как в этом
случае они равны. Делаем тождественное
преобразование в получившемся равенстве
=
путём умножения левой и правой
частей на множитель
, который является в данном случае
положительным числом, получим
.
=
.
или
. Из получившегося
результата видно, что числитель и знаменатель в
левой части дроби равны между собой, то есть
.
Результат обнаружил уникальное свойство
величины ,
которого нет у действительных чисел. Величина
не изменяется, если
к ней прибавить действительное число.
Это и есть открытие данного урока.
Для краткой записи величину обозначим знаком Тn, назовём тьмой,
то есть Тn =
=
, где 0n —
равняется величине материальной точки (1;0),
поворачивающейся вокруг начала координат по
дуге единичной окружности согласно определения
тригонометрических функций, при которой n –
мерные пространства переходят в (n-1) –
пространства. Число 0n назовём словом мал и
определим как величину являющуюяся обратной
числу тьма
.
Свойства новых чисел тьма и мал.
, где а любое действительное
число, то есть величина числа тьма не изменяется,
если к нему прибавить действительное число, что
было доказано выше. Из этого свойства видно, что
здесь нарушается аксиома Архимеда, которая
утверждает, что для любых двух чисел а и b, где
0 < a < b, одно из неравенств a+ a > b, a+ a+ a > b,
… обязательно выполнено.
![](img19.gif)
![](img20.gif)
. Последние
равенства пункта 5 показывают, что величина
действительного числа не изменится, если к нему
прибавить число мал или действительное
число, умноженное на число мал. В этом
свойстве также нарушается аксиома Архимеда, о
которой говорилось выше.
![](img22.gif)
Аксиомы чисел тьма и мал для проведения других арифметических операций между собой и с действительными числами на этом уроке не спонадобятся и предлагается учащимся подумать над ними самостоятельно.
III. Доказательство формулы приведения методом учащегося
Кондратьева Романа с помощью нестандартных
свойств величины
.
У доски работает Кондратьев Роман, а остальные
работают звеньями по четыре человека в звене за
своими партами.
=
.
Данное доказательство показывает
справедливость формулы приведения и
существование величины со своими необычными свойствами,
которые учащиеся нашли на уроке под руководством
учителя.
IV. Самостоятельная работа на уроке.
Группа учащихся разбивается на звенья (по 3, 4 человека в звене), старшими в звеньях назначаются наиболее активные учащиеся, которые получают для своего звена компьютеры и дидактический материал.
Задачи первого варианта.
Задача № 1.
Определить площадь лесного участка, имеющего вид близкий к форме треугольника, который ограничен двумя речками и дорогой (см. рис.1). Длина дороги 1354 метра, а углы, прилежащие к ней, соответственно равны 90° и 47°. Для решения задачи используйте электронную таблицу Excel и формулу (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Ход решения задачи № 1 первого варианта.
Сначала звено должно преобразовать формулу (1) с
помощью числа тьма в формулу вида (2), так как
один из прилежащих углов к дороге равен 90°, а
затем написать программу для решения этой задачи
с помощью электронной таблицы Excel, ввести её и
получить ответ. Преобразование формулы (1) в
формулу (2) .
Формула в Excel =1354^2*TAN(47/57, 3)/2 .
После выполнения программы получится ответ: ~
982876,3 м2
Рис. 1
Задача № 2.
Фермеру требуется сделать перекрытие на садовый домик, профиль которого будет иметь форму прямоугольного треугольника с гипотенузой 12 (м) и площадью 32 (кв. м.). Определить углы, прилежащие к гипотенузе, т. е. основанию перекрытия, чтобы точно сделать объект и оптимально израсходовать строительный материал. (См. рис. 2). Составьте программу для решения данной задачи в электронной таблице Excel.
Рис. 2
Ход решения задачи № 2 первого варианта.
Эта задача рационально решается с помощью тригонометрического уравнения нашего училища (1), с которым можно глубже познакомится в указанной выше литературе.
Особенностью решения этой задачи является то, что угол напротив известной стороны дан величиной 90°. При применении тригонометрического уравнения нашего училища учащиеся должны будут преобразовать его к виду (2) нестандартным способом с помощью числа тьма.
(1) , где
S – площадь профиля перекрытия = 32 (кв. м.), с –
длина основания (гипотенузы) = 12 (м.),
= 90°, то есть tg
стандартным
способом не определён. Для решения данной задачи
уравнение (1) можно преобразовать к виду (2) без tg
способом,
данным в выше указанной литературе. Здесь
учащиеся должны использовать для перехода от
уравнения (1) к уравнению (2) числа тьма и мал,
так как изучили их свойства и этот способ более
рационален. Подставляя значение tg 90° = Tn в
уравнение (1), получат
.
Откуда согласно свойств Tn уравнение (1) примет
следующий вид .
Последнее выражение после деления на Tn и
умножения на –1 получит окончательный вид,
необходимого для решения данной задачи,
уравнения (2).
(2) .
В уравнение (2) подставляются данные из задачи №
2 .
Составляется программа решения последнего
тригонометрического уравнения, то есть для
определения корней tg 1 , tg
2 , а затем для нахождения
окончательных результатов — величин углов
1 и
2 в
электронной таблице Excel.
Программа в Excel.
A | B | C | |
1 | 4 | -9 | 4 |
2 | =B1^2-4*A1*C1 | tg![]() |
=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1+КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней”) |
3 | tg![]() |
=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1-КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней”) | |
4 | ![]() |
=ATAN(C2)*57,3 | |
5 | ![]() |
=ATAN(C3)*57,3 |
Результат выполнения данной программы в Excel.
После выполнения программы в Excel получили
ответы для задачи № 2. Углы между основанием
перекрытия и уклонами должны быть:
1 ~ 58,64° и
2 ~ 31,36°
Задачи второго варианта
Задача № 3.
Определить площадь лесного участка, имеющего вид близкий к форме треугольника, который ограничен двумя речками и дорогой (см. рис.3). Длина дороги 1537 метров, а углы, прилежащие к ней, соответственно равны 90° и 33°. Для решения задачи используйте электронную таблицу Excel и формулу (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Рис. 3
Решение данной задачи аналогично решению задачи № 1 первого варианта.
.
Формула в Excel =1537^2*TAN(33/57, 3)/2 .
После выполнения программы получится ответ: ~ 766998, 94 м2 .
Задача № 4.
Фермеру требуется сделать перекрытие на садовый домик, профиль которого будет иметь форму прямоугольного треугольника с гипотенузой 14 (м) и площадью 42 (кв. м.). Определить углы, прилежащие к гипотенузе, т. е. основанию перекрытия, чтобы точно сделать объект и оптимально израсходовать строительный материал. (См. рис. 4). Составьте программу для решения данной задачи в электронной таблице Excel.
Данная задача решается аналогично задаче № 2 первого варианта, то есть используется тригонометрическое уравнение училища (1), а затем оно преобразуется с помощью числа тьма к тригонометрическому уравнению вида (2).
.
После подстановки данных задачи в это
уравнение оно примет следующий вид .
Получившиеся тригонометрическое уравнение решается с помощью электронной таблицы Excel аналогично задаче №2 первого варианта.
Рис. 4
Программа решения данной задачи в электронной таблице Excel.
A | B | C | |
1 | 3 | -7 | 3 |
2 | =B1^2–4*A1*C1 | tg![]() |
=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1+КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней” |
3 | tg![]() |
=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1-КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней” | |
4 | ![]() |
=ATAN(C2)*57,3 | |
5 | ![]() |
=ATAN(C3)*57,3 |
Результат выполнения данной программы в электронной таблице Excel.
После выполнения программы получили ответы для
задачи №4:
VI. Подведение итогов урока.
Оценка 5 выставляется за точное преобразование
формул, уравнений для данных задач, составление
программ и получение правильных ответов.
Оценку 4 получают учащиеся, которые правильно
составили программы, но допустили ошибки при
вводе данных с клавиатуры, что привело к неточным
ответам.
Оценка 3 выставляется за решение задач с
небольшими ошибками, допущенными при
преобразовании формул, уравнений и составлении
программ.
VII. Домашнее задание.
- Найти на основании свойств чисел тьма и мал данного урока максимальную сумму чисел мал на интервале (0; 1).
- Определить углы между диагональю крышки своего рабочего стола и её сторонами, которые вместе с диагональю образуют прямоугольный треугольник. Рабочая поверхность стола должна быть прямоугольная. Решение задачи выполните с помощью тригонометрического уравнения училища (1), новых чисел тьма и мал, электронной таблицы Excel. После получения ответа сравните его со своими измерениями этих углов транспортиром и убедитесь в правильности своего решения.