Факультативное занятие по теме: "Доказательство неравенств", 8-й класс

Целью внеклассной работы является активное и регулярное развитие исследовательских навыков у учащихся. На это направлена внеурочная, факультативная работа учителя и ученика.

Внеурочная работа имеет сочетание активного занятия математикой для ученика, приобретения навыков решения математикой для ученика, приобретение навыков решения нестандартных задач и углубления знаний учащихся в разных разделах математики.

Основными целями факультативных занятий являются :

• развитие логического и алгоритмического мышления;
• создание ситуации осмысления и решения стандартных задач, не входящих в курс общеобразовательной программы;
• формирование навыков исследования и анализа получаемой информации;
• поиск и выбор приемов решения традиционных задач, не входящих в общеобразовательную программу;
• создание ситуации эффективной групповой учебной деятельности .

Проведение факультативных занятий является одной из форм работы с учащимися, мотивированными на изучение математики.

Тип учебного занятия:
“Изучение и первичное закрепление новых знаний”

Этапы занятия:

1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных занятий.
3. Усвоение новых знаний и способов действий.
4. Первичное закрепление знаний и способов действий.
5. Контроль и самопроверка знаний, рефлексия.
6. Подведение итогов занятий.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент. Подготовка учащихся к работе на занятии.

2. Подготовка к основному этапу. Обеспечение мотивации, значимости изучаемой темы занятия и принятия учащимися учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний.

а) С помощью неравенств сравниваются большие и малые величины;
b) Вопрос:
- С помощью какого приема мы умеем доказывать неравенство вида a<b?
Ответ:
- Один из приемов доказательства неравенства a<b (a>b) сводят к доказательству равносильного ему неравенства a-b<0 (a-b>0);
c) Повторим данное доказательство на примере неравенства Коши.
“Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического”:

Доказать:

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

Неотрицательность квадрата любого вещественного числа очевидна.

Значит,   – верное неравенство.

3.

a) Вопрос:

- Попробуем сформулировать другой прием.
Ответ (учитель помогает ответить на вопрос):
- Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного неравенства:
(a-b)² 0, (a+b)² 0 или неравенства Коши   , при а0, b0, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел;

b) Докажем, что (a+b)(ab+1) 4ab, при а0, b0.

Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.

Используем очевидное неравенство Коши:



второго множителя.



Перемножим получившиеся неравенства:

с) Так же используют следующий прием: предполагают, что данное неравенство верно при заданных значениях переменных, строят цепочку неравенств-следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенству. Рассматривая затем эту цепочку неравенств снизу вверх, показывают, что данное неравенство является следствием полученного очевидного неравенства и потому верно при указанных значениях переменных.

Значит, доказательство (a+b)·(ab+1) 4ab, при а0, b0 можно выполнить другим способом.

Допустим, что при а0, b0 данное неравенство верно, т.е.:



Используя неравенство Коши дважды для каждого множителя, имеем:



Значит, (a+b)·(ab+1) 4ab, при а0, b0, что и требовалось доказать.

4. Докажем:

Доказательство: Допустим, что данное неравенство верно.



Получили очевидное неравенство.

Значит, данное неравенство верно.

Вопрос: Мы можем привести доказательство данного неравенства из очевидного неравенства (a+b-2)² 0?

Ответ: Да, для этого сделаем обратные шаги (рассказать по готовой записи)

5. Контрольная самопроверка знаний. Для самостоятельной работы предлагается доказать, что неравенство верно при всех значениях переменной (работа в парах).

Для доказательства неравенств используем любой прием (проверка работы по готовым записям).

Доказательство:

                                                                          а) Допустим, что неравенство верно.

Неравенство очевидно, значит, верно при всех значениях переменных.

Значит, 2a² + b² + c² 2a(b+c) верно при всех значениях переменных.

Доказательство: Пусть данное неравенство верно при допустимых значениях переменных.

(Проверка решения по готовым записям).

6. Итог занятия

a) Проводится рефлексия результатов самостоятельной работы, выясняются проблемы и их коррекция.

Дается оценка деятельности каждого учащегося.

Листы с доказательствами собрать на проверку.

Работа считается хорошей, если доказано одно неравенство, успешной – если доказано два или три неравенства.

b) Какие приемы использовались на занятии?

– сводили доказательства к равносильному неравенству a-b < 0 (a-b > 0).
– использовали очевидные неравенства (a-b)² 0, (a+b)² 0, неравенство Коши
– допускали, что неравенство верно и приводили его к очевидному неравенству.

Тема занятия : “Доказательство неравенств”,
( 8 класс)

Формировать у учащихся навыки осмысления и применения приемов доказательств неравенств , научить применять приемы доказательств при выполнении упражнений , научить сравнивать, обобщать, логически излагать мысли.

При доказательстве неравенств используются неравенство Коши и очевидные неравенства ( a-b)²0 и (a+b)²0.