К ВОПРОСУ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОЛОГИИ
МЯГКИХ СИСТЕМ
НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ
Изучение практики преподавания математики показывает, что в знаниях большинства учащихся есть существенные недостатки: непрочная связь общего с конкретным, неумение в полной мере распорядиться знаниями при рассмотрении основных фактов изучения курса алгебры и математического анализа. Содержание изучаемой на протяжении всего времени обучения в средней школе линии уравнений разворачивается во взаимодействии трех компонент: изучение преобразований, усвоение системы понятий и развитие средств языка, установление связей с числовой системой, функциями и тождествами. Однако, как показывает опыт работы в школе, уровень сформированности у учащихся показателей математической образованности, входящих в линию уравнений является недостаточным, включая и завершающий этап - дифференциальные уравнения. Практика работы в школе показала, что на уроках еще недостаточно формируется математическое моделирование, кроме того, моделирование еще не стало эффективным инструментом управления познавательной деятельностью учащихся, средством формирования их математических компетенций. Рассмотрим деятельность учителя математики по формированию математической образованности учащихся в соответствии с методологией “мягких систем” (Дж. Ван Гиг, П.Чекланд, В. Вертгеймер и др. [ 1] ). П.Чекланд разработал методологию мягких систем (ММС) как системно ориентированное руководство, помогающее справиться со сложностью окружающего человека реального мира, при этом подчеркивая, что проблемы, с которыми сталкивается человек, не могут быть решены раз и навсегда. ММС представляет собой состоящий из семи этапов процесс исследования, в котором структурируется проблемная ситуация, с целью выявления новых подходов, точек зрения и осуществления необходимых действий, улучшающих рассматриваемую проблемную ситуацию. Основная особенность подхода ММС состоит в отделении реального мира проблемной ситуации (первый и второй этапы) от концептуального, абстрактного мира развития системных представлений (третий и четвертый этапы). Причем третий этап подразумевает определенную плюралистичность (вариантность) и может рассматриваться как более четкое утверждение о том, чем же является изучаемая система, так называемое корневое определение (root definition). На четвертом этапе строятся концептуальные модели, отражающие возможную целенаправленную активность элементов системы, с учетом конкретных идеологий или картин мира (human activity systi). Разработанные на этом этапе абстрактные представления сравниваются с реальной действительностью, и, на пятом этапе, обсуждаются участниками данной проблемной ситуации. На шестом этапе изучаются последствия, к которым могут привести реализации той или иной точки зрения, оценивается допустимость таких последствий, при этом принимаются во внимание этические, политические, экологические и другие аспекты проблемы. На седьмом этапе разрабатываются и осуществляются действия, улучшающие ситуацию. Рассмотренный семеричный цикл может повторяться несколько раз до получения удовлетворительного результата.
Наша методика формирования математической образованности на основе методологии мягких систем требует создания большого фонда индивидуальных заданий по всем темам, четкой организации отслеживания процесса формирования образованности у обучающихся. Объем и уровень требований к работе и учащегося, и учителя значительно повышается, усложняется планирование, требуется более тщательная и целенаправленная подготовка к каждому уроку, добавляется трудоемкая работа по отслеживанию уровней сформированности исследуемой образованности у школьников. Однако закономерными результатами внедрения методики формирования математической образованности на основе методологии мягких систем является развитие личности учащихся, адекватная подготовка их к жизнедеятельности в современном обществе.
В соответствии с ММС в деятельности учителя математики можно выделить следующие этапы.
1 этап. Неструктурированная проблемная ситуация (формирование математической образованности учащихся, соответствующей социальному заказу).
В курсе математики девятилетней школы линия уравнений тесно связана с другими основными линиями: развитием понятия числа и операциями над числами, тождественными преобразованиями выражений с переменной, с функциями и др., поэтому учителю необходимо особое внимание уделить методике изучения уравнений, учитывая внутрипредметные связи. Такой подход позволяет учащимся осознанно изучить тему “Линейные уравнения и системы линейных уравнений с двумя переменными”, и предоставить в распоряжение учащихся приемы изучения ряда вопросов, так как аппарат уравнений может быть применен: к решению прикладных задач, к исследованию свойств функций и др. Но многие реальные ситуации описываются несколькими параметрами, равноправными друг другу и, соответственно, требуют разработки новых алгебраических средств их изучения. В качестве одного из таких средств, в курсе алгебры выступает класс систем двух линейных уравнений с двумя переменными. При работе в 7 классе над материалом “Системы линейных уравнений с двумя переменными” основной целью изучения материала является ознакомление учащихся со способами решения систем линейных уравнений с двумя переменными и выработка умений решать системы уравнений. Введение систем позволяет значительно расширить круг текстовых задач, которые решаются на основе алгебраического аппарата, используя метод математического моделирования. Применение систем упрощает процесс перевода данных задачи с естественного языка на язык алгебры, в данном случае, на язык уравнений. Изучению систем линейных уравнений предшествует рассмотрение вспомогательного материала, а именно: введение понятия уравнения с двумя переменными, графика линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными. Результаты диагностики учителем уровня математической образованности учащихся после окончания образовательного этапа показывают разницу между реальной математической образованностью и требованиями социального заказа.
2 этап. Выраженная проблемная ситуация (несоответствие математической образованности учащихся социальному заказу общества).
Перед изучением темы “Линейные уравнения” учителю необходимо провести актуализацию знаний учащихся, мотивировать изучение данной темы, обозначить пути ее изучения, акцентировать внимание учащихся на ее особой значимости. Так, усвоив алгоритм решения линейных уравнений и систем линейных уравнений с двумя переменными, научившись конструировать линейные уравнения по заданному значению корня, а также по известным парам значений переменных, учащиеся будут находиться на таком уровне изучения темы “Линейные уравнения”, что могут выполнять простейшие исследования процессов реальной действительности, процессов современного производства. Поэтому перед изучением темы “Линейные уравнения”, учителю необходимо показать учащимся с помощью разнообразных упражнений и задач, что уравнения - сильный математический аппарат, с помощью которого могут быть решены многие экономические задачи, связанные с рациональным размещением источников производства. На таких уроках учащиеся должны осознать, что применение систем упрощает процесс перевода данных задачи с естественного языка на язык алгебры, в данном случае на язык уравнений, поэтому системы уравнений широко используются в деятельности человека, связанной с математическим моделированием, а также в самой математике.
3 этап. Корневые определения подходящих систем (математическая образованность учащихся).
Изложение темы учитель может начать с рассмотрения понятий, входящих в качестве составляющих в понятие системы линейных уравнений с двумя переменными, а именно: представление о сочетании условий, которое формализуется в понятии системы уравнений; представление о наличии в составе логического условия двух переменных; представление о линейном уравнении с двумя переменными. При изучении понятия “решение линейных уравнений с одной переменной” важно убедить учащихся в практической необходимости изучения данного вопроса, рассмотрев для этого содержательную задачу, которая сводится к математической: найти решение линейного уравнения с одной переменной. Затем учитель может ввести понятия “линейное уравнение с одной переменной”, “решение линейного уравнения с одной переменной” и “решить линейное уравнение с одной переменной”. Также нужно сформировать у учащихся алгоритм решения линейных уравнений аналитическими и графическими методами, выделив в самом процессе формирования несколько стадий. Далее учитель может рассмотреть решение простейших линейных уравнений как конкретных, так и записанных в общем виде аналитическими и графическими методами, что позволит учащимся лучше понять и осмыслить все проводимые ими рассуждения. В ходе изучения понятия “системы линейных уравнений с двумя переменными” учитель объясняет учащимся, что первым новым элементом для них будет понятие “линейное уравнение с двумя переменными”, а также то, что решением уравнения с двумя переменными является не число, а упорядоченная пара чисел. Формировать понятие системы уравнений первой степени можно у учащихся на основе осмысления понятия “решение уравнения первой степени с двумя переменными” и представления о том, что значит решить уравнение. Далее, используя какую-либо задачу, учитель должен раскрыть перед учащимися практическую необходимость изучения понятия “решение системы двух уравнений первой степени с двумя переменными”. Показав практическую необходимость изучаемого вопроса, учитель может перейти на последующих уроках к формированию алгоритма решения систем уравнений первой степени с двумя переменными двумя методами: аналитическим, включающим способ подстановки и способ сложения, а также графическим. При работе над понятием “умение применять понятие равносильности при решении систем первой степени с пропорциональными коэффициентами при переменных” учителю нужно обратить внимание учащихся на утверждения о равносильности уравнений с двумя переменными и провести их доказательство так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным. Кроме того, учащиеся должны научиться применять понятие равносильности при решении систем первой степени с пропорциональными коэффициентами при переменных. При формировании компетенций при работе над задачами, при решении которых используется метод моделирования, учащиеся должны усвоить четыре этапа работы [2].
1 этап. Осознание условия и требования задачи.
2 этап. Моделирование.
3 этап. Решение задачи внутри полученной математической модели.
4 этап. Содержательная интерпретация.
4 этап. Концептуальные модели (проектирование математического образования).
На уроках закрепления нового материала по формированию понятия “решение линейного уравнения с одной переменной” необходимо сформировать алгоритм решения более сложных линейных уравнений аналитическим и графическим методами, продолжая при этом, как и в более простых примерах выделять в самом процессе формирования следующие стадии [3] :
- Введение предписания, являющегося объективным выражением действия по решению линейных уравнений.
- Формирование обобщенного действия в развернутом виде.
- Введение задания на свертывание действия.
При этом учителю можно рекомендовать для сравнения и дальнейшего обсуждения решение группы примеров как конкретных линейных уравнений, так и записанных в общем виде, чтобы потом на основании их решения сделать общий вывод о возможных решениях линейных уравнений с одной переменной. После выполнения ряда аналогичных заданий учащиеся могут зафиксировать в тетрадях всю последовательность выполняемых операций в общем виде. На уроках закрепления нового материала учащиеся должны продолжить отрабатывать навыки решения систем линейных уравнений двумя методами и подробно аргументировать каждую выполняемую операцию. В результате они запоминают без специального заучивания существенные признаки понятия “решение системы линейных уравнений с одной переменной”. Чтобы хорошо понять тему “Решение системы линейных уравнений с одной переменной” учащиеся должны уметь не только находить эти решения, но и по некоторым решениям составлять возможную систему линейных уравнений.
5 этап. Сравнение концептуальной модели с действительностью (апробация методики, анализ и рекомендации для дальнейшей работы).
С целью обобщения единичных фактов учителю нужно рассмотреть с учащимися решение линейных уравнений в общем виде с различными вариациями параметров. В процессе такой деятельности учащиеся получают обобщающую таблицу по решению линейных уравнений с одной переменной, т.е. составление таблицы – это первый этап формирования нового учебного действия. Учитель может считать, что поставленную учебную подзадачу по раскрытию и применению алгоритма решения линейных уравнений учащиеся выполнили, если их деятельность пройдет следующие этапы:
- Решение конкретных линейных уравнений с одной переменной.
- Решение линейных уравнений в общем виде.
- Самостоятельное получение обобщающих выводов и проведение простейших исследований.
При работе над темой “Решение системы линейных уравнений с одной переменной” учащиеся должны уметь находить множество решений систем линейных уравнений с параметрами, а также по некоторым решениям составлять возможную систему линейных уравнений с параметрами. При решении серии таких упражнений учащиеся должны обнаружить общее отношение, которое лежит в основе решения подобных типов задач. Учителю необходимо добиваться, чтобы учащиеся проговаривали вслух каждую из выполняемых ими операций, обосновывали получаемые выводы, которые можно свести в обобщающую таблицу.
6 этап. Последствия, к которым могут привести реализации той или иной точки зрения и выявление допустимых, желательных изменений (возможная коррекция методики).
Материал по данной теме можно считать полноценно усвоенным только в том случае, если учащиеся его поняли, а также применили по образцу в измененной и новой ситуации. Для того чтобы понятие “решение линейного уравнения с одной переменной” было осознанно усвоено учащимися, учителю необходимо не только научить решать линейные уравнения, но и составлять уравнения. Поэтому следующая учебная подзадача заключается в том, чтобы сформировать у учащихся алгоритм составления линейных уравнений по некоторым заданным решениям. Эта подзадача решается на основе формирования учебного действия “составление линейных уравнений с одной переменной по некоторым заданным решениям”, в котором можно выделить несколько этапов. Поскольку формирование действия обобщения достаточно длительный процесс, поэтому учителю нужно использовать задания нарастающей степени трудности, которые можно считать решенными в том случае, если учащиеся будут подробно обосновывать каждую выполняемую операцию. В этом случае можно считать, что понятие “решение линейного уравнения с одной переменной” усвоено осознанно. Учителю нужно пояснить учащимся, что если они усвоят алгоритм решения линейных уравнений и научатся составлять равнения по некоторым заданным решениям, то будут находиться на таком уровне изучения темы “Линейные уравнения и системы линейных уравнений”, что смогут впоследствии выполнять простейшие исследования процессов реальной действительности и процессов современного производства. При работе над действием “составление систем линейных уравнений с одной переменной по некоторым решениям” учитель продолжает формировать действие обобщения, в котором выделяются два этапа: обобщение в результате абстрагирования и конкретизация обобщения примерами.
7 этап. Принятие действий, улучшающих ситуацию.
После уроков обобщения и повторения учителем должна быть проведена итоговая контрольная работа по теме “Линейные уравнения и системы линейных уравнений с двумя переменными” с целью выявления уровня математической образованности учащихся. Задания, предложенные в контрольной работе, должны быть такими, чтобы они позволили выявить три уровня усвоения учебного материала по данной теме. Первый уровень - уровень воспроизведения. В одном из заданий на этом уровне проверяется сформированность учебных умений строго следовать действиям по образцу. Второй уровень – уровень понимания. На этом уровне проверяется сформированность учебных умений устанавливать связи между понятиями темы: решить систему линейных уравнений и составить систему линейных уравнений по некоторым заданным решениям. Третий уровень – уровень переноса знаний в новые учебные ситуации. Приобретение учебных умений на этом уровне свидетельствует о том, что внутри темы сформирован аппарат, с помощью которого решаются конкретные классы упражнений и задачи практического содержания, решаемые методом моделирования. Если большая часть учащихся справится с предложенными заданиями, то можно считать, что внутри темы “Линейные уравнения и системы линейных уравнений с двумя переменными” сформирован аппарат, с помощью которого решаются конкретные классы прикладных задач исследования процессов реальной действительности. После проведения итоговой контрольной работы на уроках коррекции учителю необходимо прокомментировать результаты, разобрать на доске упражнения, в которых учащимися было сделано наибольшее количество ошибок. Также учитель на этих уроках может предложить учащимся решить упражнения аналогичные встретившимся в контрольной работе и дать возможность закончить работу над ошибками дома.
Приведем примерное планирование урока алгебры в 8 классе с учетом этапов методологии мягких систем.
Тема урока: “Решение квадратных уравнений”
1 этап. Неструктурированная проблемная ситуация:
необходимость сформировать у учащихся компетенцию решать квадратные уравнения с помощью формул корней квадратного уравнения.
2 этап. Выраженная проблемная ситуация.
Цель урока: усвоение приемов решения квадратного уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения.
Выполнение следующих задач урока:
- обучающей – в процессе урока продолжить формирование основных понятий и терминологии учения о квадратных уравнениях; научить учащихся решать простейшие квадратные уравнения с использованием формулы корней квадратного уравнения;
- развивающей – продолжить формирование логического мышления учащихся; развивать аналитические способности; память, внимание; способствовать развитию творческих способностей, воображения, смекалки; развивать культуру математической речи и коммуникативные способности;
- воспитательной – формировать активность и ответственность учащихся на уроке, навыки самостоятельной работы; повысить мотивацию обучения, интерес к математике; продолжить формирование адаптивных качеств личности; прививать учащимся аккуратность в оформлении математических записей, умение внимательно слушать речь учителя и ответы учащихся на уроке.
3 этап. Корневые определения подходящих систем.
Приемы учебной деятельности: все приемы работы с линейными уравнениями, приемы решения неполных квадратных уравнений, приемы извлечения квадратных корней.
Повторение: определение квадратного уравнения общего вида, умение устанавливать коэффициенты квадратного уравнения, умение решать уравнения, содержащие скобки и подобные члены, знать определение неполного квадратного уравнения, умение решать неполные квадратные уравнения
На примере некоторых задач проверить способность учащихся в словесном виде связно и логично сформулировать алгоритмы решения неполных квадратных уравнений.
Усвоение новых знаний: формирование у обучающихся конкретных представлений об изучаемых фактах, явлениях, процессах, их сущности, связи; выделение главного, проведение обобщения материала вместе с обучающимися, выработка основных компетенций.
4 этап. Концептуальные модели.
Приемы учебной деятельности: знать формулу
корней квадратного уравнения; уметь выводить ее,
уметь находить по коэффициентам уравнения
значение дискриминанта и определять, имеет
уравнение корни или не имеет их, уметь решать
квадратное уравнение с числовыми коэффициентами
по формуле, выполняя предварительно в
необходимых приведение уравнения к виду 
;
Специальные знания, умения и навыки: словесное описание решения квадратного уравнения, запись решения в виде алгоритма, запись алгоритма в виде блок-схемы.
Обобщение и систематизация знаний: усвоение системы знаний по курсу, а также межкурсовых понятий.
5 этап. Сравнение концептуальной модели с действительностью.
Этот этап предусматривает реализацию урока по теме. Приведем в приложении 1 возможное содержание урока.
6 этап. Последствия, к которым могут привести реализация той или иной точки зрения и выявление допустимых, желательных изменений.
Коррекция знаний обучающихся: выявление недостатков и причин их появления; стимулирование обучающихся к самообразовательной деятельности.
Деятельность учителя: рекомендации обучающимся по ликвидации пробелов путем самостоятельной деятельности или с помощью товарищей; опора на помощь других обучающихся путем анализа, рецензирования ответов и др.
Деятельность ученика: обсуждение конкретных предложений по ликвидации пробелов и дальнейшему развитию интереса к предмету.
7 этап. Принятие действий, улучшающих ситуацию.
Подведение учителем итогов урока (изучения темы): дать анализ успешности овладения знаниями и способами деятельности, показать типичные недостатки в компетенциях учащихся
Для успешного проведения урока, сконструированного на основе предлагаемой методики, желательно выполнение учителем следующих рекомендаций.
Для формирования умений делать самостоятельный вывод и применять приемы учебной деятельности в измененных условиях можно рекомендовать:
- каждую структурную часть урока заканчивать выводом;
- применять опорные конспекты, расположив в них материал так, чтобы создать условия для самостоятельного получения вывода;
- составлять итоговый и перспективный план изучения темы или узлового понятия, на их основе знакомить учащихся с новым в сравнении с изученным;
- учить учащихся составлять индивидуальные опорные конспекты и памятки (тетради для справок);
- учить учащихся составлять план предстоящей деятельности на основе известных им двух-трех памяток.
Средством усвоения всех понятий, необходимых для знакомства с уравнениями, являются учебные задания. В методической системе задания должны стимулировать активное использование мыслительных операций. Для этого в их основу должны быть положены разные модели (вербальная, схематическая, графическая, символическая) одной и той же ситуации и перехода от одной модели к другой.
Такой подход к составлению системы обучающих заданий обуславливает разнообразие формулировок и способов выполнения заданий на каждом этапе.
С этих позиций можно определить требования системе задач.
Требования к структуре системы задач:
- отражать структуру учебного материала и структуру учебной деятельности;
- формировать у учащихся посредством данных задач целостное представление о природе научно-теоретических понятий, составляющих основу учебного предмета;
- содержать в себе потенциальную возможность дальнейшего повышения уровня развития математической образованности;
- представлять собой систему целей деятельности, направленной на овладение всеобщими способами действий.
Список использованной литературы:
1. Checland P.B. Soft systis methodology: An overview. J. of Appied Systis Analysis. 1988. V. 15. P. 27-36.
2. Петерсон Л.Г. Математика, 1-й класс. Методические рекомендации. Пособие для учителей. – М., “Балласс”, “С-инфо”, 1996, 224с.
3. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности. – М.: Просвещение, 1990.- 128с.