Практика преподавания стереометрии показывает, что наибольшие трудности учащиеся испытывают при решении задач. Одной из причин этих трудностей является отсутствие у учащихся необходимых пространственных представлении. Поэтому часто возникает потребность в использовании индивидуальных объемных наглядных пособий как при изучении теории, так и при решении задач.
На уроках стереометрии применяются фабричные или самодельные объемные модели в основном из таких материалов, как дерево, фанера, проволока, жесть, стекло, картон и т. д. Но многие из них не очень удобны для индивидуального пользования на уроке, громоздки, часто сложны в изготовлении и требуют много места для хранения. Этих неудобств можно избежать, если изготовлять складные нитяные модели.
Каждое из них делается из картонного прямоугольника размером 180Х460 мм. Толщина картона 2—3 мм.
Подготовив картон указанных размеров, вырезаем из плотной чертежной бумаги прямоугольник размером 194 Х 474 мм (здесь с каждой стороны прямоугольника сделаны припуски по 7 мм для загиба). Затем аккуратно наклеиваем на картон бумагу и загибаем ее края на другую сторону картона. По оси симметрии, параллельной меньшей стороне прямоугольника, делаем линию сгиба — надрез на половину толщины картона и аккуратно сгибаем заготовку папки по линии надреза, но в сторону, противоположную ему.
Для закрепления положения папки в раскрытом (рабочем) состоянии служит упор в виде прямоугольного треугольника из картона толщиной 3—4 мм. Величина одного из углов треугольника равна величине двугранного угла папки в раскрытом состоянии.
Изготовление модели пирамиды. Определив размеры пирамиды, вырезаем из бумаги макет основания. Раскрываем папку и с помощью макета на нижней внутренней ее стороне определяем положение основания пирамиды, а на верхней стороне отмечаем вершину пирамиды так, чтобы папка раскрывалась на достаточно большой угол, а будущая пирамида хорошо просматривалась.
Вычерчиваем на нижней внутренней стороне папки основание пирамиды и (пастой иного цвета) его необходимые элементы. Обозначаем все нужные нам точки (рис. 1). Во всех намеченных точках основания пирамиды, а также в точке ее вершины прокалываем тонким шилом отверстия. Измеряем высоту пирамиды, отрезаем нитку (желательно красного цвета) длиннее высоты пирамиды на 2 см. Продеваем нитку в отверстия вершины и основания высоты пирамиды и закрепляем ее концы клеем с внешних сторон папки.
Закрепляем также “ребра” пирамиды из ниток того самого цвета, что и стороны основания пирамиды.
Нитками третьего цвета показываем другие элементы модели: линейные углы, сечения, перпендикуляры и т. д. В вершине пирамиды все концы нитей располагаем веером, чтобы не было большого узла (рис. 2).
Для того чтобы скрыть концы нитей и придать папке более аккуратный вид, оклеиваем внешние ее стороны немаркой цветной бумагой.
Проводим окончательное оформление папки-модели: на внешней лицевой стороне папки вверху пишем “Модель пирамиды”. Ниже этой надписи выполняем изображение модели пирамиды в соответствующих цветах. Под изображением пишем: “Модель применяется при решении задач №... из “Геометрии 10-11”
Но пространственное воображение трудно развить, если пользоваться только моделями математических объектов. Обращение к модели в каждом случае, когда в теореме или задаче речь заходит о соответствующем объекте, тормозит развитие пространственного воображения. Основная нагрузка должна ложиться на изображения этих объектов. Поэтому на уроках геометрии в 10-м классе следует специально тренировать учеников в правильном чтении чертежей.
Например, некоторые ученики не могут правильно прочесть изображения кубов, находящихся в различных положениях относительно наблюдателя. Учащимся непонятно, какие грани находятся дальше от наблюдателя, какие ближе и т. д. Разъяснить это можно на модели куба, но лучше использовать рис. 3 и 4. Дополнительные изображения на этих рисунках — кувшин, стоящий на столе, лампочка, прикрепленная к потолку,— помогут ученикам осознать зависимость изображения от различных положений куба в пространстве. Им станет понятно, какие грани — видимые, какие — невидимые и т. д. Это делать полезно еще и потому, что в дальнейшем ученики смогут мысленно прибегать к таким дополнительным изображениям.
Следует предлагать ученикам переводить взгляд с рис. 3 на рис. 4 и представлять соответствующий куб в пространстве. Упражнение можно сделать более интересным и полезным, если на одном и том же контуре будет появляться то изображение куба на рис. 3, то изображение куба на рис. 4. Это легко осуществить следующим образом. На листе ватмана 20Х26 см сплошной линией рисуем контур куба—шестиугольник АА1В1С1СD (рис. 5). Затем пунктиром проводим отрезки ВВ1, АВ, ВС, А1D1, D1C1 и DD1. Лезвием вырезаем бумагу в местах разрывов пунктирной линии. На другом листе ватмана (20,7Х20 см) изображаем сплошной и пунктирной линиями отдельные ребра куба (рис. 6.) так, чтобы, поместив этот лист за первым листом в одном положении, получить рис. 5, а в другом рис.7. К первому листу ватмана с обратной стороны нужно приклеить другой лист так, чтобы вставка с рис. 6 могла двигаться между ними.
Аналогичным образам можно сделать прибор для преобразования рис. 8 в рис. 9, причем стороны сечения КLМNР нужно изобразить сплошными линиями. По рисункам задаются такие вопросы: “Какая боковая грань пирамиды расположена ближе к вам? Какие боковые грани невидимы? Какие стороны сечения KLМNP невидимы и их следовало изобразить пунктиром? Пересекаются ли прямые LM и SD, KP и AВ, MN и BC, PN и DS?
При построении сечения многогранника плоскостью учащиеся, допуская ошибку, часто получают изображение неплоского многоугольника и не замечают этого. Для предупреждения таких ошибок и закрепления некоторых теоретических положений можно предложить такие упражнения.
1. На боковых ребрах призмы (рис. 10) даны точки А, В, С, D. Точки М и N принадлежат отрезкам АС и BD соответственно, прямая MN параллельна боковому ребру призмы. Может ли четырехугольник АВСD быть сечением призмы плоскостью? Параллельна ли прямая KL боковому ребру призмы?
Учащиеся должны заметить, что четырехугольник АВСD не может быть сечением призмы плоскостью, так как он неплоский, прямые AС и BD — скрещивающиеся: прямая AС пересекает диагональную плоскость DBR в точке M, не принадлежащей прямой BD. Прямая KL не параллельна боковому ребру призмы; в противном случае она была бы параллельна прямой MN и прямые AС и BD лежали бы в одной плоскости.
2. АBCD1B1C1D1 — параллелепипед, АВ1 // KL (рис.11). Верно ли, что прямые АК и B1L пересекаются и общая точка принадлежит прямой ВС? Пересекаются ли прямые АВ и KL, B1C1 м KL? Постройте проекцию точки пересечения диагоналей четырехугольника АВ1LK на плоскость основания АВСD.
Учеников необходимо приучать к аккуратному, точному выполнению чертежей. Небрежность может послужить причиной противоречия между правильно проведенными рассуждениями при решении задачи и парадоксальным результатом построения. Вот пример.
3. Дана прямая призма АВСDА1В1С1D1, и точки K, L и М на ее ребрах.
Постройте сечение призмы плоскостью KLM (рис.12)
Решение. Пусть точка К1—проекция точки К на сторону основания ВС;
КK1 || BB1.
Опишем построение.
Прямые KL и K1D пересекаются в
точке Х, а прямые КМ и К1А — в точке Y. Тогда
плоскость KLM пересекает плоскость основания
призмы по прямой XY. Далее CD 
XY=Z, ZL С1D1=P,
AB XY =V,
VM A1В1=N,
MNKPL — сечение.
Рассуждения все верные. Но из-за неточности в построениях на рис. 10 учащиеся получают, что секущая плоскость и верхнее основание призмы пересекаются по ломаной NKP. Ученик с плохим пространственным воображением и слаборазвитым логическим мышлением не увидит неправильный результат, а если и указать ему на это, то он не сможет разрешить противоречие. На самом деле уже после построения точки Р есть возможность определить действительное положение точки N на прямой А1В1 и построить сечение верно, как это сделано на рис.13.
В 10-м классе учителю нужно помнить о том, что на протяжении всех лет обучения школьники имели дело в основном лишь с плоскими фигурами и их изображениями всегда служили фигуры, подобные данным. Поэтому нужны упражнения, развивающие навык верного восприятия изображений пространственных фигур.
