Учителю математики следует шире использовать на уроках задачи, возникающие в практической деятельности человека и показывающие необходимость математических знаний для людей самых разных профессий.
Я привожу задачи с несложной и совершенно реальной фабулой, требующие для своего решения самых различных идей и методов школьной геометрии.
Построение треугольника
З а д а ч а 1. Для определения по карте места нахождения S судна с помощью радиопеленгатора определяют углы SAB и SBA, где А и В береговые радиомаяки, изображённые на карте. Ту же задачу решают с помощью радиолокатора, определяя расстояние от S до А и до В. как найти на карте месторасположение судна по данным: а) радиопеленгатора, б) радиолокатора?
Р е ш е н и е сводится к построению треугольника:
а) по стороне и двум углам,
б) по трём сторонам.
Сумма углов треугольника
З а д а ч а 2. Для измерения величины угла между наклонной и горизонтальной прямыми на местности используют специальный прибор – эклиметр, принцип действия которого ясен из рис. 1 (ОР – нить с грузиком, отвес). Докажите, что нить ОР показывает на шкале величину искомого угла.
Рис.1
Рис.2
Р е ш е н и е. Проведём прямую ОВ, перпендикулярную прямой OS.
Так как угол OPS прямой, то суммы величин углов PSO и SOP, POB и SOP равны. Отсюда следует, что величины углов POB и PSO равны.
Теорема Пифагора
З а д а ч а 3. Телевизионные радиосигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны. При каком наибольшем расстоянии s от определяющей антенны высоты H можно принять телепередачу с помощью приёмной антенны высоты h? Определите, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны в 20 м с Останкинской телебашни (её высота 538 м).
Р е ш е н и е. Вершина В принимающей антенны (рис.2) за счёт шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае ещё видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности. В этом случае имеем
| АС |2 = | ОА |2 – | ОС |2 = Н (2R + Н),
где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по
сравнению с 2R, то полагаем, что 2R + Н 
2R, а
поэтому | АС | 
.
Полагая в этой формуле | АС | 3,6 • 103
• 
, при
R 6,4 •
10
Определив таким же образом | ВС |, найдём | АВ |.
Увеличив полученную величину на 15% получаем
искомую формулу для s (в метрах): s 4,1 • 103
( + 
),
которая и приводится в справочниках. Из неё
теперь нетрудно получить ответ на второй вопрос
задачи.
Длина окружности
З а д а ч а 4. При правильном (без пробуксовки) повороте колёса экипажа должны катиться по дугам концентрических окружностей. Возможно ли это при одинаковой линейной скорости вращения ободов колёс? Выясните, как эта проблема решена технически в автомобиле и вагоне поезда.
Р е ш е н и е. Пусть точки А и А1 (рис. 3) соответствуют началу поворота, а точки В и В1 – его окончанию. Тогда за одно и то же время обод одного колеса пробегает дугу АВ, а другого – дугу А1В1. Из формулы длины дуги окружности замечаем, что эти дуги разной длины. Значит, ободы колёс должны вращаться с разной линейной скоростью.
В автомобиле нужный эффект достигается за счёт того, что каждое колесо (в том числе и ведущие) имеет свою ось, и потому они могут вращаться даже с различными угловыми скоростями. В вагоне поезда соответствующие пары колёс сидят на одной оси и вращаются с одинаковой угловой скоростью. Необходимый эффект достигается за счёт конической поверхности обода колеса (рис. 4,а). Колёса на повороте как бы меняют свой диаметр: одно увеличивается, а другое уменьшается (рис.4,б)
Рис. 3
Рис. 4
З а д а ч а 5. Впервые длину радиуса Земли нашёл древнегреческий учёный Эратосфен. Эратосфен узнал: когда в городе А солнце находится в зените, в городе В, находящемся с А на одном меридиане, солнечные лучи с отвесной прямой угол величины В
= 7о
12' (рис. 5). Оценив по времени движения каравана
расстояние от А до В (800 км), он вычислил радиус
Земли. Какое значение у него получилось?
Р е ш е н и е. Так как прямые SА и SВ (лучи
солнца) параллельны, то величины углов АОВ и SВР
равны, а потому из формулы для длины дуги
окружности находим: 
(км)
Рис. 5
З а д а ч а 6. Известно, что пучок света
от фар расходится под углом = 2о к направлению
движения, а на дороге проектируемой категории
видимость должна быть не менее s метров. Какой
радиус закругления допустим на такой дороге?
Р е ш е н и е. Пусть автомобиль
находится в точке А (рис. 6) и фары освещают дугу АВ
длины l. Так как направленные движения
совпадают с касательной к траектории, то сумма
углов СОА и САО равны сумме углов МАС и САО.
Отсюда следует, что величина угла АОВ равна 4о.
Так как в нашем случае должно выполняться
неравенство l 
s, то из формулы для длины дуги
окружности получаем 
, или R > 14, 3 · s.
Площадь треугольника
З а д а ч а 7. В землеустроительной практике иногда бывает необходимо ломаную границу АВС (рис. 7) двух полей заменить отрезком так, чтобы площади полей не изменились. Как это сделать?
Рис. 6
Рис. 7
Р е ш е н и е. Через точку В проведем прямую, параллельную прямой АС. Она пересечет границу массива в некоторой точке D. Покажем, что отрезок АD и может служить искомой границей.
После спрямления границы поля как бы поменялись треугольниками АОВ и DOC. Требуется доказать, что эти треугольники равновелики. Но это сразу следует из равновеликости треугольников АВС и АDС.
Площади многоугольников
З а д а ч а 8. В землеустроительной практике нужно разделить участок треугольной формы на три равновеликих трапеции, так как такая форма удобнее для механизированной обработки. Как это сделать?
Р е ш е н и е . Через точку О пересечения медиан треугольника АВС (рис. 8) проведем прямые, параллельные сторонам. Получим разбиение треугольника на три трапеции ОDAE, ОЕВF, ОFСD. При этом
SODAE = SODAE + SOF1E
SOEBF = SCEBD1 + SOD1F
Отрезок DD1, параллельный стороне АВ, делиться медианой СС1 пополам. Поэтому площади параллелограммов ОDAF1 и OEBD1 равны. Треугольники ОF1E и ОD1F конгруэнтны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, их площади тоже равны. Поэтому трапеции ODAE и OEBF равновелики. Аналогично устанавливается равенство площадей трапеции ОFCD и ODAE.
Рис. 8
Рис. 9
Объем призмы
З а д а ч а 9. При одном из способов защиты почв от смыва на склонах штампуют лунки в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона квадрата 50 см.) и высотой 10см. Определите, сколько литров воды может собраться в такой лунке на склоне с углом наклона в 10о, если:
а) одна из сторон основания лунки горизонтальна,
б) одна из диагоналей основания лунки горизонтальна.
Р е ш е н и е.
а) Из рис. 9 видно, что | BL|= 50 tg 10о < 10. Поэтому в момент наибольшего наполнения лунки слой воды представляет собой призму высоты 50 см, основанием которой является трапеция Аа1В1L. Поэтому объем воды
V= 25 · (|AA1|+|LB1|) · 50 = 500 · 25 (2 – 5 tg 10о)
14 (л).
б) Так как одна из диагоналей основания параллелепипеда горизонтальна, то перпендикулярная ей диагональ АС (рис.10) расположена по направлению склона и образует с плоскостью воды угол в10о.
Рис. 10
Поэтому |А1L|=10ctg 10о 56,7. Сравнивая с
длиной диагонали |А1С1| = 50 
70,7, заключаем,
что вода не покрывает полностью основание лунки.
Определив положение точки L, построим (рис.11) сечение параллелепипеда плоскостью поверхности воды.
Рис. 11
Для этого достаточно провести через L прямую, параллельную горизонтальной диагонали В1D1, и продолжить стороны А1В1 и А1D1.
Объем воды получим, если вычтем из объема
пирамиды АА1МN объема конгруэнтных пирамид
ВB1МЕ и DD1NF. Основание пирамиды АА?МN
является равнобедренный прямоугольный
треугольник с высотой А1L, основание
которого |МN| = 2 |А1L|. Поэтому VAA1MN = 
| AA1| • |
A1L|І 10,7 (л).
Основание пирамиды ВВ1МЕ –
равнобедренный прямоугольный треугольник,
высота которого равна |О1L|=|A1L| - |A1O1|
24,4. Высота
пирамиды равна |О1Р| (см. рис. 11), а |О1Р| =
|АА1| - |РО|
3,8. (рис.10). Отсюда VBB1ME = | P1O | • | O1L|2 = 0,6
(л).
Значит, объем воды в лунке равен 9,5 л. Сравнение вариантов а) и б) показывает, что первый способ штампования лунок целесообразнее.
Объем шара
З а д а ч а 10. При защите почвы отводной
эрозии на склонах иногда делают лунки в форме
полушара диаметра d. Сколько воды может накопится
в такой лунке на склоне с углом наклона ?
Рис. 12
Р е ш е н и е. Объем воды равен объему (рис.12) шарового сегмента:
V = 
H2 (
d – H),
где Н – высота сегмента. Так как расстояние от центра лунки до поверхности воды
| OP | = 
,
то Н = 
Отсюда находим 
Несколько задач практического характера
В курсе геометрии учащиеся знакомятся с формами геометрических тел и формулами для вычисления их поверхностей и объемов. Однако часто учащиеся чувствуют себя совершенно беспомощными при решении задач, где геометрический факт является не главным, а только вспомогательным для ответа на чисто производственный вопрос. Затрудняют их также задачи на комбинации геометрических тел или, такие в которых элементам геометрических фигур и самим фигурам даются не школьные названия, а иные, принятые в технике. Таким задачам желательно уделять более серьезное внимание, подчеркивая каждый раз то, что они очень часто встречаются в производстве: в токарном, слесарном, столярном деле и т.д.
Приведем несколько таких задач.
1. Воронка имеет форму усеченного конуса, у которого диаметры оснований 600 и 300 мм, а высота 500 мм. Сколько жести пойдет на ее изготовление, если на припуск добавляется 5% площади поверхности воронки?
2. Паровой котел (рис.1) имеет длину 8000 мм и внешний диаметр 4000 мм. Какое количество листов стали марки Ст3 КП необходимо для его изготовления, если известно, что лист стали такой марки имеет размеры 6 х 1,5 м?
Внутри котла проходят четыре жаровые трубы диаметром 400 мм. Вычислите их общий объем.
Рис. 1
3. Из деталей, имеющих формы правильной треугольной и четырехугольной призм, необходимо изготовить цилиндры наибольшего объема. Какой процент материала пойдет в отходы в каждом случае?
4. Для придания детали формы “фланец”
определяют угол среза для соответствующей
установки резца. По данным на рис. 2 найдите ?
Рис. 2
5. Для правильной обработки детали формы
“клин” на токарном станке необходимо
рассчитать угол конуса , т.е. величину угла АОВ на
рис. 3. Вычислите по данным размерам.
Рис. 3
6. На рис. 4 показан ящик для упаковки арматуры и даны его размеры (в мм). Определите объем ящика и количество материала, необходимого для его изготовления. Можно ли изготовить ящик такого же объема, на который пойдет меньше материала того же качества?
Рис. 4