Цель: ввести определение логарифмической функции и рассмотреть её свойства и график.
Концентрация внимания.
| Монотонность Асимптота Точность Единица Максимум Аргумент Точка Исследование Корень Абсцисса |
Концентрация внимания N равна (число верно воспроизведённых слов в указанном порядке) х 0,1х 100% |
Функция y = ax (a > 0, a =/= 1) при a>1 монотонно возрастает на R; при 0 < a < 1 – убывает на R. Для данной функции справедливо следующее утверждение: каждому значению y из области значений функции соответствует единственное значение x из области определения функции.
y = ax, a > 1
|
y = ax, 0 < a < 1
|
Пусть a положительное, не равное единице число. Каждому положительному числу x поставим в соответствие число y, равное логарифму числа x по основанию a, т. е. y = logax.
Определение. Функцию y = logax, (a > 0, a =/= 1) называют логарифмической функцией.
Таким образом:
| g(x) = ax, a > 0, a =/= 1 | f(x) = logax, a > 0, a =/= 1 |
| D(g) = R | D(f) = (0; ) |
| E(g) =( 0;) |
E(f) = R |
По определению функции g(x) = ax, a > 0, a =/= 1 и f(x) = logax, a > 0, a =/= 1 являются взаимно обратными. Так как графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой h(x) = x, то
|
|
Построим графики логарифмических функций: f(x) = log2 x, f(x) = log1/2 x.
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
и |
|
|||||||||||||||||
Свойства логарифмической функции
Свойства функции |
a > 1 |
0 < a < 1 |
|
1. |
Область определения |
(0; |
|
2. |
Область значений |
(– |
|
3. |
Четность, нечетность |
Функция не является ни четной, ни нечетной |
|
4. |
Нули функции |
y = 0 при x = 1 |
|
5. |
Промежутки знакопостоянства |
y > 0 при x |
y > 0 при x |
6. |
Экстремумы |
Функция экстремумов не имеет |
|
7. |
Промежутки монотонности при x |
Функция возраcтает |
Функция убывает |
8. |
Асимптота |
x = 0 |
|
(1; При заполнении таблицы решаем следующие задания.
Задание № 1. Какое значение аргумента x является допустимым для следующих функций?
| y = logax, a > 0, a =/= 1 | D(y) |
| y = log5(–x) | (– ;0) |
| y = log3(x)1/2 | (0; ) |
| y = log2x(x–1) | (1; ) |
| y = log0,5(x2–1) | (– ;–1)
U (1; ) |
| y = logx+2(x2 + 1) | (–2;–1) U(–1; ) |
| y = log 0,7 | x | | (–? ;0) U(0; ) |
Задание № 2 (Для промежутков знакопостоянства).
Пусть y = logax
| a >1 и x >1 0 < a < 1 и 0 < x < 1 |
y > 0 |
| a > 1 и 0 < x < 1 0 < a < 1 и x > 1 |
y < 0 |
Вывод 1. Если число и основание логарифмической функции находятся с одной стороны от единицы, то значение логарифмической функции положительно.
Вывод 2. Если число и основание логарифмической функции находятся по разные стороны от единицы, то значение логарифмической функции отрицательно.
Определите знак числа.
| log23 > 0 | 2 > 1 и 3 > 1 |
| log50,1 < 0 | 5 > 1 и 0 < 0,1 < 1 |
| log0,31,8 < 0 | 0 < 0,3 < 1 и 1,8 > 1 |
| log0,20,8 > 0 | 0 < 0,2 < 1 и 0 < 0,8 < 1 |
Сравните с единицей число m если:
| log0,5 m = – 0,5 | m > 1 | 0 < 0,5 < 1 и – 0,5 < 0 |
| log3 m = 1,5 | m > 1 | 3 > 1 и 1,5 > 0 |
| log0,2 m = 5 | 0 < m < 1 | 0 < 0,2 < 1 и 5 > 0 |
| log2,4 m = – 0,2 | 0 < m < 1 | 2,4 > 1 и – 0,2 < 0 |
Задание № 3. (Для исследования на монотонность).
Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими?
| y = log2x | возрастающая | 2 > 1 |
| y = log0,5(2x + 5) | убывающая | 0 < 0,5 < 1 |
| y = lg (x)1/2 | возрастающая | 10 > 1 |
| y = ln(x + 2) | возрастающая | e > 1 |
Сравните с единицей число a, если известно:
| loga0,2 = 3 | 0 < a < 1 | 0 < 0,2 < 1 и 3 > 0 |
| loga0,5 > loga0,4 | a > 1 | 0,5 > 0,4 |
| loga0,8 = – 5 | a > 1 | 0< 0,8 <1 и – 5 < 0 |
| loga 2/3 > loga1,5 | 0 < a < 1 | 2/3 < 1,5 |
Между числами m и n поставить знак > или < если:
| log0,5 m > log0,5 n | m < n | 0 < 0,5 < 1 |
| log8 m > log8 n | m > n | 8 > 1 |
| log2,5 m < log2,5 n | m < n | 2,5 > 1 |
| log0,2 m < log0,2 n | m > n | 0 < 0,2 < 1 |
После заполнения таблицы выполняются следующие задания.
Задание № 1.
В одной координатной плоскости построить
графики следующих функций:
g(x) = ln x, h(x) = log5x, f(x)=lg x. Сделайте
вывод о расположении графиков функций
относительно осей координат в зависимости от
основания логарифмической функции.
Вывод. При a > 1 чем больше основание логарифмической функции, тем ближе к осям координат располагается график логарифмической функции.
Задание № 2.
В одной координатной плоскости построить графики следующих логарифмических функций: f(x) = log0,1x, g(x) = log0,3x, h(x) = log0,5x.
Вывод. При 0 < a < 1 чем больше основание a логарифмической функции, тем дальше от осей координат располагается график логарифмической функции.
Домашнее задание. Колмогоров п.38 № 499–504, 510. Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.