Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счету бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то хотя бы они не извлекали из этого для себя никакой иной пользы, все же становятся более восприимчивыми, чем были раньше.
Платон.
Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.
Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа её закладывается в первые 5–6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и др. предметов.
Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.
О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.
В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.
Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.
Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности.
Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.
Перечислю важнейшие вычислительные умения и навыки по каждой параллели.
5-й класс
У учащихся необходимо закреплять умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами. В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; применять законы сложения и умножения к упрощению выражений, использовать признаки делимости на 10, 2, 5, 3, округлять числа до любого разряда, определять порядок действий при вычислении значения выражения.
6-й класс
У учащихся необходимо закрепить умение находить числовое значение выражение с использованием всех действий с десятичными дробями. В процессе изучение нового материала учащиеся должны уметь выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробей. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами.
У учащихся 7–9-х классов развивается и закрепляется умение находить числовое значение выражения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эта работа проводится как при изучении нового материала, так и при выполнении заданий вычислительного характера.
7-й класс
Вычислительная техника школьников совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при использовании тождеств сокращенного умножения.
8-й класс
При изучении тем: “Рациональные дроби”, “Неравенства”, “Квадратные корни и квадратные уравнения” – широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.
9-й класс
В процессе изучения тем: “Квадратные уравнения”, “Уравнения и неравенства с двумя переменными”, “Системы уравнений и неравенств”, “Степень с рациональным показателем” – девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами.
Учитель должен иметь представление об уровне вычислительных умений и навыков учащихся, сформированных ранее. Этому могут помочь проведение самостоятельных работ и наблюдения учителя за работой учащихся в классе. Анализ письменных и устных работ учащихся дает возможность установить, как усвоен данный материал, какие общие и наиболее характерные ошибки допущены при проведении вычислений, кто из учащихся и что именно не усвоил и как ликвидировать выявленные пробелы.
Учитель должен постоянно следить за тем, чтобы учащиеся закрепляли свои навыки в действиях с многозначными числами, восстанавливали в памяти приемы вычисления. Поэтому для установления уровня умений учащихся выполнять арифметические действия в натуральными числами я предлагаю им выполнить самостоятельную работу. Эта самостоятельная работа должна удовлетворять определенным требованиям. В нее должны быть включены примеры на выполнение отдельных арифметических действий (с учетом простых и сложных случаев) и на совместные арифметические действия. Ее анализ помогает понять причины слабых умений учащихся. Например, при выполнении сложения обнаруживаются ошибки, связанные с плоим знанием таблицы сложения однозначных чисел, с неумением распорядиться суммой разрядных слагаемых в том случае, когда она является двузначным числом. Но возможно, что учащиеся хорошо владеют таблицами сложения и умножения. Правильно подписывают цифры, но не понимают механизма действия. Для того чтобы выяснить, понятен ли учащимся смысл действия, я задаю соответствующие вопросы. Например, если учащийся сделал ошибки при умножении многозначных чисел, то ему задаю вопросы:
- Почему первый множитель умножается на каждую цифру другого (на единицы, десятки и т.д.)?
- Как подписываются промежуточные произведения (в том числе в случае, когда в середине второго множителя содержится нуль)?
- Можно ли начинать умножение с высших разрядов (если да, то изменится ли запись счета)? И др.
Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки у учащихся навыков устного счета. Не секрет, что у детей с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой.
Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность к самоконтролю, повышается культура вычислений.
Готовясь к уроку, я отбираю материал, располагаю его в систему, продумывая переход от одного упражнения. При обдумывании системы заданий и форм организации устного счета не исключаю учет индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям. Но чтобы все учащиеся быстро считали, выполняли простейшие алгебраические преобразования, необходимо время для их отработки. 5–7 минут устного счета на уроке не достаточны не только для развития вычислительных навыков, но и для их закрепления, если нет системы устного счета.
Первое время на уроках я предлагала учащимся для устного счета обычные карточки типа: найти сумму чисел 57 и 9; 37; 18 и 13 и т.д. или же проводила игры типа “Быстрый счетчик”, “Математическое лото”. Для слабого ученика это разнообразие приемов недостаточно. Слабому ученику необходимо иметь систему устных упражнений и дома.
Поэтому на первом уроке математики в 5-м классе я предлагаю каждому учащемуся карточки 1. (Приложение 1) устного счета. Взглянув на карточку, нетрудно догадаться, что по горизонтали располагаются однотипные примеры на одно и то же правило. По вертикали – примеры на разные правила. Сначала предлагаю учащимся считать примеры по горизонтали строка за строкой. Ученик вслух прочитывает пример, затем называет его ответ. Это помогает учащемуся быстро привыкнуть к карточке. Обычно все идет без особых затруднений до шестой строки. В этой строке у кого-нибудь из учащихся обязательно возникнут трудности. Тогда задаю классу вопрос: “А как проще выполнить деление в данном примере?”
После того как учащиеся приходят к правильному ответу, продолжаем решать примеры этой строки дальше, обязательно с пояснениями. И если учащиеся все еще затрудняются при решении примеров данной строки, прошу их еще раз вычислить эти же примеры с подробными объяснениями. Если и этого недостаточно, можно назвать следующую строку с аналогичным алгоритмом решения (например, строка 18).
Итак, все основные правила, алгоритмы устного счета повторены.
Если дети не утомлены (а это зависит от уровня вычислительных навыков в классе), предлагаю считать примеры 1 столбика. Опять – таки сначала учащиеся вслух причитывают пример, затем называют ответ.
Дальше переход бывает очень интересен и для различных классов различен. Так, если класс имеет достаточно твердую математическую подготовку, учащиеся вскоре начинают называть только ответы примеров. С этого момента наступает как бы перелом в работе учащихся. Стараясь не отставать от одноклассников, каждый из учащихся напрягает свое внимание, развивает смекалку, вычислительную сноровку! Причем этот процесс длительный. В любое время я могу прервать ученика и предложить дальше считать другому. Установка карточки на длительное внимание дает возможность максимально загрузить учащихся, поверить их работоспособность. Дух соревнования – игры еще больше увлекает ребят. И вопроса о дисциплине, по-моему, не может возникнуть.
Если же в классе слабая математическая подготовка, мне самой приходится предлагать учащихся называть только ответы в примерах. Этот процесс перехода более длительный, зато вызывает удовлетворение у учащихся. Дети перестают бояться карточек, работа с ними им нравится.
Следующий этап работы с карточками – счет на время. Если после недели работы учащиеся считают до 28 примеров в минуту, то к концу октября месяца до 65 примеров.
Итак, в течение недели работы с карточками учитель может сделать выводы об уровне вычислительных навыков учащихся. Здесь важно не пропустить момент и как можно раньше пригласить в школу родителей тех учащихся, которые считают слабо. При беседе с родителями я стараюсь убедить и ученика, и его родителей в том, что для ликвидации пробелов в знаниях необходима ежедневная работа ученика. Если ученик не высчитывает до 20 примеров в минуту, шансов на усвоение темы “Десятичные дроби” у такого ребенка нет. Поэтому прошу контролировать родителей устную работу дома при подготовке домашнего задания.
После того как учащиеся достаточно бегло стали
считать, у них появилась настоящая потребность в
расширении приемов устного счета. Так появилась
необходимость в карточках типа 
; 
; и т.д.,
затем на применение законов сложения 137 – (37 + 18);
284 – (84 + 37), законов вычитания 137 – (37 – 18); (245 – 38) –
145 и т.п.
Так как в химии и физике учащимся часто приходится умножать и делить на 10; 100;…0,1; 0,01;…, поэтому при изучении темы “Десятичные дроби” необходимы карточки типа 3 (Приложение 1 и Приложение 2). В 6-м классе при изучении темы: “Положительные и отрицательные числа” – карточки типа 4 (Приложение 2). В 7-м классе при работе с карточкой типа 5 (Приложение 2) удобней замечать время для выполнения действий целого столбца. Работа по данной карточке помогает учащимся приобрести уверенность в применении основных алгебраических тождеств. Слабым учащимся можно предложить работать по карточкам письменно.
Карточки 6, 7, 8 (Приложение 2, Приложение 3 и Приложение 4) можно использовать начиная с 9-го класса. Каждый столбец карточки учащиеся начинают с формулировки правила приведения. (Приложение 5 рекомендую для старшеклассников.)
Хочется отметить и тот факт, что данные карточки помогают учащимся не упустить из виду ни одного момента основ математики.
Считаю, что карточки можно усовершенствовать и приспосабливать к своей методике другим учителям.
Современный уровень развития науки и техники требует глубоких и прочных математических знаний. Математические расчеты, основные на использование алгоритмов основных математических действий, являются составной частью трудовой деятельности рабочего, инженера, экономиста и др., поэтому одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков и каждый учитель математики должен использовать в своей работе различные методические приемы для выполнения этой задачи.