Мотивационный этап усвоения знаний на уроках математики

Свою статью я хотела бы начать с небольшого отрывка из стихотворения Евгения Винокурова:

Подумаешь, Америку открыл!
Еще в пеленках это мы знавали!…
А я один, как клад, ее открыл
И позабыть уже смогу едва ли.
.....................................................
Она во мне. Я жил, ее тая …..
Я, стиснув зубы, в муках , на пределе,
Ее добыл. Вот истина моя!
Вы ж до сих пор банальностью владели.

Давайте и мы попробуем открыть свою истину. Обратимся к структурам 2-х уроков формирования новых знаний. Тема урока одна и та же, но возможность знакомства учащихся с новым материалом в каждом уроке своя.

Тема урока: “ Умножение положительных и отрицательных чисел”

При проведении первого урока учитель вспоминает с учащимися, что они умеют умножать только положительное число на положительное. Но так как они познакомились с отрицательными числами , то нам необходимы правила для вычислений действий с числами с разными знаками.
В конспекте урока №1 вроде бы есть все: проверка домашнего задания, актуализация знаний, знакомство с новым материалом, закрепление знаний на практике, подведение итога урока.

При проведении второго урока, учитель начинает его со сценки, разыгранной другими учащимися (или эмоционально обыгранной самим учителем) на основе сказки.

СКАЗКА.

“Жил на свете богач, очень богатый богач, самый богатый на земле, но все ему казалось, что он еще недостаточно богат.
И вот однажды пришел к этому самому богатому богачу самый бедный бедняк на свете и сказал:
– О, господин! Сияние твоих сокровищ слепит глаза. И все-таки у меня есть способ умножить твое богатство. А заодно и свое.
Богач прямо затрясся от жадности:
– Чего ты стоишь? Умножай скорее!
– А ты не будешь на меня в обиде? – опасливо спросил бедняк.
– Да ты что! Ведь ты хочешь умножить мое богатство!
– Конечно, умножить, – подтвердил бедняк.
– Так умножай, и дело с концом! – закричал богач, теряя терпение.
– Быть по-твоему, – ответил тот. – Раз, два, три! Готово!
Богач бросился к своим сундукам да как закричит:
– Что ты наделал, негодный?! Ты меня разорил! Где мое золото? Где алмазы? Где жемчуга?
– Были у тебя, теперь они у меня, – сказал бедняк.– Ведь ты же сам просил меня умножить! Я и умножил.
Как вы думаете, почему так получилось?
Хитрый бедняк не сказал, на какое число будет умножать.”[1]

В конспекте урока № 2 есть все-таки самое важное: стремление завоевать интерес каждого ученика – мотивационный этап усвоения. Какой же урок оставит след в памяти ребенка? Думаю, вы со мною согласитесь, что второй.

Что такое урок? Как правило, понятие “урок” сводят к целостному, логически завершенному, ограниченному рамками времени отрезку образовательного процесса, в котором учебная работа проводится с постоянным составом учащихся примерно одинакового возраста и уровня подготовки. Реализация идеи использования наиболее характерных структурных элементов остальных уроков, позволила выделить 12, так называемых, основных типов уроков. Если мы проанализируем структуры основных типов уроков, то можно выделить этап, присущий всем урокам: мотивация учебной деятельности. Цели этого этапа: раскрыть значимость изучения данного материала, привлечь внимание учащихся, пробудить их интерес, желание узнать, понять, применить. Каким же образом можно заинтересовать учащихся?

Можно использовать следующий материал:

1. Исторические задачи, легенды, сведения из истории по данной теме.
2. Решение задач с практическим содержанием, с использованием межпредметных связей.
3. Проведение исследовательских, лабораторных и практических работ с использованием моделей, чертежей, таблиц и т.п.
4. Решение задач, требующих расширение знаний по теме.
5. Математические фокусы, задачи занимательного характера.

Я попыталась выделить несколько групп обобщения материала для проведения мотивационного этапа. Систематизировать данный материал достаточно сложно, потому что иногда материал очень тесно перекликается и поэтому его трудно отнести к конкретной группе.

Например, по темам:

1. Линейные уравнения.

Эпизод из жизни М.Ю.Лермонтова:

– Задумайте какое угодно число, и я с помощью простых арифметических действий определю его, – предложил М.Ю.Лермонтов.
– Хорошо, я задумал, – сказал один из стоявших вокруг него офицеров…
– Благоволите прибавить к нему еще 25. Теперь не угодно ли прибавить еще 125? Засим вычтите 37. Еще вычтите число, которое вы задумали сначала. Теперь остаток умножьте на 5. Засим полученное число разделите на 2. Теперь посмотрим, что у вас должно получиться. Если не ошибаюсь, число 282?.
Офицер даже привскочил, так поразила его точность вычисления:
– Да, совершенно верно.
На чем основан фокус? [26]

2. Сумма углов треугольника.

Задача: Как измерить изображенный на доске угол, часть которого вместе с вершиной случайно стерли? (Обыграть, что учитель растерян, ему требуется помощь) [4]

3. Сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Египетские Папирусы, 2 тысячелетие до н.э.:

– Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми, разность между каждым человеком и его соседом равна 1/8 .

4. Срединный перпендикуляр.

– На листе бумаги начертите отрезок и без карандаша, ручки отметьте на листе место, где лежат все точки, равноудаленные от концов отрезка.

Дети сгибают лист, соединяя концы отрезка.

5. Скалярное произведение векторов.

Дано: АВСД – трапеция. Угол А равен углу В и равен 90 градусов. Длина стороны АВ равна 2, стороны ВС – 1, АД – 4.
Доказать: диагонали трапеции перпендикулярны. (На основе того, что скалярное произведение равно нулю.)

Очень важно отметить, что при подготовке к уроку, нужно учитывать в каком классе будет проводиться урок: классах со слабой математической подготовкой или КРО, в классах со средней математической подготовкой или специализированных классах. Так же, как вы отбираете упражнения с учетом уровня вашего класса, также должен подбираться материал для мотивации темы урока.

Например, по теме “Теорема Пифагора” можно использовать следующий материал:

1. Задача: На охоте с 2 отвесных скал 2 охотника заметили козла и разом в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью. Кому достанется козел, если известно, что высота одной скалы 40 м., второй 20 м, а расстояние между скалами 100 м.? (Газета “ Математика” № 24/1997 стр. 2)

2. Практическая работа.

Задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4; 12 и 5 ; 6 и 8; 8 и 15 и заполнить таблицу .

Решение задачи: Дан прямоугольный треугольник. На сторонах треугольника построены квадраты. Из вершины прямого угла проведен перпендикуляр, продолжение которого делит квадрат, построенный на гипотенузе на 2 прямоугольника. Докажите, что площади прямоугольников равны площадям квадратов, построенный на катетах.

Можно провести практическую работу с разрезанием чертежа по линии перпендикуляра, чтобы практически показать, что “пифагоровы штаны во все стороны равны”.

Тема: “Сумма n членов арифметической прогрессии”.

1. Представь, что ты прораб на стройке. Привезли и выгрузили большое кол-во труб. Нужно быстро определить, чтобы закрыть наряд шоферу, сколько их (труб). Как ты это сделаешь? Какое рационализаторское предложение внесешь по транспортировки и выгрузке труб?
В данном случае нужно выбрать такую форму контейнера, или захвата для выгрузки, чтобы подсчет труб осуществлялся по простым формулам. Один из способов: использовать естественное расположение труб штабелем так, чтобы в каждом верхнем ряду количество оказывается на одну меньше, чем в предыдущем нижнем, т.е. число труб в последовательных рядах образуют арифметическую прогрессию, и общее кол-во легко подсчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью равной 1. (Газета “ Математика”,  № 24/1997, стр. 2)

2. Легенда о Гауссе. Будучи семилетним ребенком (первый год обучения), он учился в народной школе в Брауншвейге. Однажды на уроке арифметики учитель Бюттнер дал задачу: Найдите сумму 100 последовательных натуральных чисел, начиная с единицы. Решив мгновенно устно, Карл, вскоре, положил на стол учителя доску с решением. Самым коротким и безупречным было решение Гаусса. [3]

3. Задача. Докажите, что сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат. ( Единица в школе Пифагора представлялась в виде квадрата, а последовательные числа в виде “ гномонов”, т.е. фигур г-образной формы, состоящих из нечетного числа квадратов (единиц).

Мы уже говорили о том, что мотивация очень важный этап каждого урока. Чаще всего мы стараемся найти наиболее яркий материал для уроков изучения новой темы. Это оправдано: если ребенок “зажегся”, заинтересовался темой, то это станет стимулом для последующих уроков. Но важно помнить, что любое “пламя” гаснет. Так и интерес ученика нужно поддерживать на каждом уроке, т.е. на каждом уроке должен быть запланирован этап мотивации. Помните, что класс – это Пети, Кати, Маши и др. – и каждый со своим видом мышления и своей мотивацией учения.

А теперь я просто приведу примеры для проведения мотивации.

5 класс

1. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Рулон обоев имеет ширину 60 см. и длину 10 м. Необходимо оклеить стены в комнате, размер которой 3 · 4 · 2,5 м. Общая площадь окна и двери 4 м?. Сколько рулонов нужно купить?

2. Объем, единицы измерения объемов

Давно это было. Два могущественных царя заспорили, кто из них богаче. Оба имели обширные плодородные земли, засеянные золотистой пшеницей. Это и было их главное богатство. Осенью, когда урожай был собран, владыки думали разрешить свой спор. Но как сравнить между собой горы пшеницы, состоявшие из многих миллиардов зерен? Можно было бы, конечно, свезти пшеницу в одно место и сравнить кучи. Но на это ушло бы немало дней, да и тогда никто не смог бы точно сказать, какая из них больше. Оба царя позвали своих мудрецов, чтобы те сравнили их богатство. Мудрецы посовещались, и самый мудрый из них обратился к правителям: “ О, государи! Мы нашли простой способ разрешить ваш спор. Для этого нужно…” Но перед тем как выслушать решение мудрых математиков, подумайте, что вы предложили бы на месте мудрецов. [1]

3. Нумерация.

Звучит Первый концерт для фортепиано с оркестром П.И.Чайковского. Учитель показывает слайд или фотографию памятника Петру I в Санкт-Петербурге ( скульптор Фальконе) и читает :

О, мощный властелин судьбы!
Не так ли ты над самой бездной,
На высоте уздой железной
Россию поднял на дыбы? А.С. Пушкин.

Необходимо прочитать надпись на памятнике Петру (перевести римскую нумерацию в арабскую):

6 класс

1. НОД. Взаимно простые числа, числа, кратные данному

Продавец потерял гири. Будучи человеком изобретательным, он находит товары весом по 4 кг и 6 кг. Какой вес он может взвесить с их “помощью”? Сможет ли он взвесить любое число килограммов?

2. Длина окружности. Площадь круга

1. Практическая работа. Измерить длину окружности (модель из картона) с помощью нитки.
2. Необходимо купить папе в подарок рубашку. Что тебе нужно знать, чтобы рубашка была впору? (Размер: рост и обхват шеи)
3. Витя Верхоглядкин катался на карусели на лошадке. Сколько кругов ему нужно сделать, чтобы путь его лошадки был равен 100 метрам. [27]
4. Практическая работа. Площадь круга. [28]

7 класс

ГЕОМЕТРИЯ

1. Срединный перпендикуляр

Обсудите в четверках проблему: где жители 3 сельских домов должны выкопать новый колодец, чтобы он находился на одинаковом расстоянии от каждого дома. (Урок-мастерская А. А. Окунева. Газета “Математика”,  № 37/1997 г.)

2. Построение треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

От оконного стекла треугольной формы откололся один из его углов. Можно ли по сохранившейся части, заказать стекольщику, вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры? [27]

3. Сумма углов треугольника

1) Практическая работа. Отрывание 2 углов модели треугольника и прикладывание к третьей вершине, образуя развернутый угол. [29]

2) Практическая работа. Измерить углы остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников (задание по рядам). Найти сумму углов каждого из треугольников, сравнить результаты.

4. Равенство треугольников

В конце урока учитель сообщает, что на следующем уроке будет предложено задание: за 3 мин. начертить как можно больше равных треугольников в разных положениях. (Лучшее решение – трафарет, следовательно, интересный прием.)

8 класс.

АЛГЕБРА

1. Арифметический квадратный корень

1) Существуют ли числа, квадраты которых: 9; – 9; 1/4; 0; 1/25; 25; 4; 2.
2) Начертите квадрат, площадь которого равна 2.

ГЕОМЕТРИЯ

1. Теорема Пифагора

1) Практическая работа. Задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4; 12 и 5 ; 6 и 8 ; 8 и 15 . Найдите гипотенузы треугольников.

2) Задача. Случилося некоему человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота 117 стоп. И обрете лестницу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать” (Л.Ф.Магницкий. Арифметика) [17]

3) На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломил.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С течением реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В 4 лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя , скоро теперь мне скажи :
У тополя как велика высота?

Индийский математик Бхаскары 12 в. [18]

2. Центр описанной окружности

Смотри 7 кл. Срединный перпендикуляр.

9 класс .

ГЕОМЕТРИЯ

Дана выкройка спинки блузки. Увеличьте выкройку в 2 раза.

АЛГЕБРА

1. Функции

Вопрос: почему не бывает животных, какой угодно величины? Например, почему нет слонов в 3 раза большего роста, чем существует, но тех же пропорций? [20]

10 класс

АЛГЕБРА

1. Наибольшее и наименьшее значения функции

На буровой заболел человек. Его товарищ на велосипеде поехал в город С за медицинской помощью. Известно, что по полю он мог ехать со скоростью 6 км/ч, по шоссе со скоростью 12 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время попасть в город С , если ВА = 9 км, АС = 15 км.?

2. Тригонометрические уравнения

Известно, что постоянный ток характеризуется следующим уравнением I ₁ = Ѕ, а переменный ток изменяется по следующему закону I ₂ = А sin wt ( A = 1 – амплитуда, w = 1 – частота колебания). Найти моменты времени, в которых данные токи имеют одинаковую силу.

3. Производная

1) При торможении маховик за t сек. поворачивается на угол f = 6t + t² (f –  в радианах) Найти угловую скорость w – вращения маховика в момент t = 2c (w(t) = f'(t) = (6t + t²)'?).

2) Скорость точки, движущейся прямолинейно задано уравнением v = 2t² + 5t. В какой момент времени ускорение точки будет
2 м/с² (а = v'(t)= (2t² + 5t)'?).

ГЕОМЕТРИЯ

1. Перпендикулярность плоскостей

Строители проверяют вертикальность стен с помощью отвеса. Является ли такая проверка достаточной?

11 класс

АЛГЕБРА

1. Интеграл.

Л.Н.Толстой “ Война и мир” т.3, ч.3, гл.1 О дифференциале истории и искусстве интегрирования как средстве постижения ее законов.

2. Показательная функция

1) Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год число растений увеличивается в 50 раз. Найти количество растений за n лет. Как изменяется время? Количество растений?(y = 50ⁿ)

2) Банк выплачивает дивиденды в размере 50 % годовых, т. е. за каждый год первоначальный капитал, равный а, увеличивается в 1,5 раза. Какую сумму вклада составит через n лет ? ( y = a · 1,5?)

ГЕОМЕТРИЯ

1. Конус, объем конуса

А.С.Пушкин “ Скупой рыцарь” сцена 2.

…Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу,
И гордый холм возвысился, – и царь
Мог с вышины с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.

Считай, что численность войска составляет, например, 100000 человек, объем горсти имеет порядок 0,2 куб. дм., а угол при основании холма равен 45°. Вторая часть задачи: положив рост царя 1,7 м, определить как далеко “царь мог с вышины с весельем озирать”. [18]

Л.Н.Толстой “Война и мир” 2 часть эпилога.: “ Военное устройство может быть выражено совершенно точно фигурой конуса, в котором основание с самым большим диаметром будут составлять рядовые; сечение, которое выше основания, – восходящие чины армии и т.д. до вершины конуса , точку которой будет составлять полководец.”

А теперь просто из моего опыта работы. Наиболее удобно, по-моему, оформлять интересный материал на карточках, которые затем должен систематизироваться по параллелям и темам. Дело в том, что нет и возможности, и необходимости помнить такой материал. Различные записи в тетрадях – это проблема поиска нужной информации. Чаще всего достаточно отметить на карточке источник информации (тему, книгу, страницу). Конечно, если данная книга не из вашей личной библиотеки, то лучше кратко законспектировать мысль или задачу.

Тема организации, проведения мотивационного этапа на уроках очень и очень обширна. Охватить все проблемы и вопросы достаточно трудно. Я попыталась сделать акцент на конкретные примеры для конкретных тем. Также, предлагаю неполный список литературы для подготовки и проведения этапа мотивации на уроках математики. Примеры из этих книг я использовала в статье.

В заключении хотелось сказать: в последнее время очень часто говорят о том, что ученик не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь. Но часто на практике мы сталкиваемся с тем, что факелы только тлеют, а сосуды упорно наполняются. Чтобы научить детей думать, открывать, изобретать, учитель должен очень много придумывать, изобретать и открывать. Факелы зажигаются только при условии активной творческой деятельности самого учителя.

Список литературы.

1. Акимова С. Занимательная математика: Нескучный учебник.– С-Петербург: Тригон,1998
2. Асташкина И.С., Бубличенко О.А. Дидактические материалы к урокам алгебры в 8-9 классах. – Ростов н/ Д.: Феникс, 2003.
3. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М : Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 1999
4. Варданян С.С. Задачи с практическим содержанием. – М.: Просвещение , 1989
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М: Просвещение.
6. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики – М: Просвещение,1989
7. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики. – Серия “Квантор”,1991
8. Едуш О.Ю., Угловатова Т.Ю. Математика: 5 кл. Подсказки на каждый день.: Рабочая тетрадь. – М. : Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 1998.
9. Едуш О.Ю. – Математика: 6 кл. Подсказки на каждый день.: Рабочая тетрадь. – М. : Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2000.
10. Еленьский Щепан По следам Пифагора.– М. : Гос. Изд. Дет. Лит., 1961г.
11. Занимательная математика. 5-11 классы. (Как сделать уроки математики нескучными)/ авт.-сост. Т.Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2004.
12. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики М: Просвещение, 1990.
13. Крысин А.Я. Поисковые задачи по математике в 4-5 кл.– М.: Просвещение, 1979г.
14. Левитас Г.Г. Геометрия без доказательств. – М: Просвещение, 1995.
15. Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике. – М: Просвещение, 1995.
16. Минковский В.Л. За страницами учебника математики. – М: Просвещение, 1966.
17. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. – М.: МГУ,1996.
18. Перельман Я.И. Занимательная арифметика, Занимательная алгебра, Занимательная геометрия, Живая математика и др. (Очень часто переиздается разными издательствами)
19. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М: Просвещение, 1990.
20. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. – М: Столетие, 1995.
21. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М: Наука, 1989.
22. Серия МПИ ( Математика. Психология. Интеллект). Томск.
23. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. – М:Просвещение,1990.
24. Ткачева М.В. Домашняя математика, 7, 8, 9 кл. – М: Просвещение.
25. Учебник-собеседник. Математика. 5-6кл./ Л.Н. Шеврин и др.– М: Просвещение, 1989.
26. Фоминых Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов – М: Просвещение, 1999.
27. Цукарь А.Я. Дидактический материал по геометрии с элементами исследования – М: Просвещение, 1998.
28. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике. – М: Просвещение,1994.
29. Эрдниев П.М. Математика 5-6. – М. : Просвещение, 1993г.
30. Энциклопедический словарь юного математика . – М: Педагогика, 1989.

ДОПОЛНЕНИЕ:

1. РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ различных издательств.
2. Газета “Математика”
3. Журнал “Математика в школе”