Современному обществу необходимы грамотные специалисты и творческие люди. Школа должна научить выпускника находить пути решения различных проблем, сформировать способность к самостоятельному творческому мышлению. Математические задачи – главное звено в формировании творческого мышления. Опыт обучения детей решению нестандартных задач как средство развития математического мышления.
Реальная цель школы – дать каждому школьнику общее образование и предоставить условия для гармоничного развития и совершенствования всех сторон его индивидуальности.
Сегодня нашему обществу, как никогда, необходимы не только грамотные специалисты в той или иной области, но и творческие люди, умеющие решать нестандартные задачи.
Школа должна научить выпускника находить пути к решению различных проблем, а это значит сформировать у учащихся способность к самостоятельному, творческому мышлению.
Возможность для приобщения школьников к учебной деятельности творческого характера предоставляют математические задачи. Не случайно известный педагог-математик Д.Пойа пишет: “Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”.
Решение задач должно занять главное, а не второстепенное место в обучении. Особенно ценно развивать математическое мышление, умение правильно, обоснованно и последовательно рассуждать. Все эти способности развиваются и крепнут в ходе изучения математики. Именно творческие, причем посильные задания наиболее цепко держат внимание ребят. При этом опора на интерес и радость, которую получают дети от сделанных на уроке открытий своих возможностей, способностей, может создать мотивационную основу для истоков созидательной деятельности.
Работу над данной темой я начала 5 лет назад. В качестве эксперимента стала решать на уроках с детьми 5-6 классов нестандартные задачи, т.е. задачи, алгоритм которых был учащимся не известен. На уроке отводилось время и на решение занимательных задач, задач-шуток, разгадывание математических ребусов. При этом я старалась подобрать задачи, вызывающие у учащихся интерес и желание их решать.
Я считаю, что такую работу необходимо начинать именно в 5-6-х классах (если она не проводилась в начальной школе), так как именно в этом возрасте определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики, ее возможности в совершенствовании умственных способностей, в преодолении трудностей.
За 5 лет работы над данной темой я подобрала около 200 задач, направленных на развитие логики и сообразительности, интуиции, пространственного воображения – всего того, что обычно называется математическим мышлением. Тематика традиционна: это задачи на натуральные числа, дроби, проценты, движение, логические задачи и многое другое. Я объединила их по соответствующим темам школьного курса 5-6-х классов.
В каждом разделе или теме сложность задач идет по спирали: от простой к более сложной.
Считаю, что такие задачи можно давать на уроке:
- во время устного счета;
- в начале урока для активизации внимания;
- в перерывах между учебными блоками;
- давать индивидуальные карточки ученикам, рано и успешно справившимся с работой;
- заканчивать урок такой задачей;
- давать их в качестве необязательного домашнего задания.
Предлагая задачи в качестве необязательного домашнего задания, слежу, чтобы все они были проверены самоконтролем, Не забываю и о поощрении учащихся, успешно справившихся с заданием. В конце недели наиболее красивые и аккуратно оформленные решения, с полными объяснениями, вывешиваю на стенд в кабинете.
Я пришла к выводу, что заниматься развитием школьников просто необходимо и делать это надо систематически и целенаправленно. Решать нестандартные задачи нужно не эпизодически, а планомерно. Познакомив учащихся с приемами решения задач, нужно обязательно, время от времени, давать различные задачи на их использование. В связи с этим, я составила и провожу четыре работы за год по изученным приемам решения. В первой работе даю 3 задачи, приемы, решения которых учащимся известны. Во второй работе – учащиеся знакомы только с двумя задачами, а третья для них новая. В третьей работе – только одна знакомая задача. Эти контрольные работы стараюсь проводить на последних уроках четверти, а первый урок новой четверти посвящаю анализу работ. В конце года провожу последнюю четвертую итоговую работу.
Работа I
I вариант
- Продолжи ряд чисел, поняв закономерность:
- В записи 4 • 12 + 18 ? 6 + 3 поставь скобки, так чтобы получилось 50.
- За игрушечного медведя в магазине заплатили 70 рублей и еще половину его стоимости. Сколько стоила игрушка?
а) 2, 3, 5, 6, 8, 9, …
б) 1, 3, 6, 8, 16, 18, …
Дополнительная задача
Аня, Боря, Вера и Гена всего поймали 10 рыбок, причем каждый из детей поймал разное количество рыбок. Аня поймала больше всех, а Вера – меньше всех. Кто поймал больше рыбок, мальчики или девочки?
Работа II
I вариант
1.
а) Какое число следует поместить в свободном секторе?
б) Установи закономерность и допиши слово:
1 2 3 4 5 — автор
3 4 2 1 5 — ?
в) исключи лишнее:
морж, дельфин, тюлень, акула
2. Угадай, какие цифры обозначены буквами в записи. Одинаковые буквы обозначают одну и ту же цифру:
3. Как с помощью бидонов емкостью 5 л и 8 л отлить из цистерны 7 л молока?
Дополнительная задача
Три товарища Алеша, Коля, Саша сели на скамейку в один ряд. Сколькими способами они могут это сделать?
Работа III
I вариант
1.
а) Сколько всего существует двухзначных чисел?
б) Сколько раз в записи этих чисел встречается цифра 5?
2.
а) Из 7 палочек построить три треугольника.
б) Разделить четырехугольник на 4 части так, чтобы ни одна из этих частей не была прямоугольником, но чтобы среди этих частей были две одинаковые пары частей.
3. По столбу высотой 10 м взбирается улитка. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на 4 м. Сколько дней ей потребуется, чтобы подняться на вершину столба?
Дополнительная задача
Отца одного гражданина зовут Николай Петрович, а сына этого гражданина – Алексей Владимирович. Как зовут гражданина?
Итоговая работа
I вариант
1. В выражении 4 + 32 ? 8 + 4 • 3 расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число 28.
2. Вставьте вместо точек слово, которое служило бы окончанием первого и началом второго слова ПЕ (…) ОЛ.
3. Продолжи ряд чисел, поняв закономерность: 18, 20, 24, 32, …
4. Сколько всего четырехзначных чисел, первая цифра которых 5.
5. Когда сумма двух чисел равна их разности.
6. Исключите слово, которое не объединено общим признаком с другими словами: сложение, умножение, деление, слагаемое, вычитание.
7. Можно ли, имея два сосуда емкостью 3 л и 5 л набрать из водопроводного крана 4 л воды.
8. Вставь пропущенное слово, поняв закономерность:
КАНАВА (ВНУК) УЛИКА
ХОЛСТ ( ) ОЛЕНЬ
9. Пять полукилограммовых пачек мясного фарша стоят 40 рублей. Сколько килограмм фарша можно купить на 16 рублей.
Обучение процедурам мышления и саморегуляции может иметь место в рамках обучения приемам решения мыслительных задач: через обучение отдельным мыслительным операциям; пошаговое обучение приемам мыслительной деятельности, включающих различные операции, выделения эвристик и обучение этим эвристикам.
С точки зрения воспитания творческой личности, особенно важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков вошли эвристические приемы, как общего, так и конкретного характера. Владение этими приемами необходимо для самостоятельного управления процессом решения творческих задач, применения знаний в новых, необычных ситуациях.
Приведу краткую характеристику основных эвристических приемов, соответствующих математическому стилю мышления учащихся 5-6-х классов.
Метод “проб и ошибок”
Значительную долю задач, решаемых с помощью этой эвристики, составляют задачи, связанные с поиском закономерности или конструированием объектов по заданным условиям.
Начиная с 5 класса, уделяю большое внимание на уроках задачам на закономерности. Задания стараюсь разнообразить.
1.
а) восстановите три предыдущих числа в последовательности
…9, 11, 13
б) назовите три следующих числа в последовательности
729, 243, 81, …
2. Установи закономерность:
6, 9, 12, 15, …
9, 1, 7, 1, 5, 1, …
2, 3, 5, 6, 8, 9, …
3, 4, 6, 9, 13, 16, …
1, 2, 4, 8, 16, …
3. Найдите правило нахождения числа, помещенного в среднюю клетку
84 19
16
53
11
21
11 ? 37
4. Вставьте число в свободное окошко.
Аналогичные задачи даю и в 6-м классе при изучении тем: “Простые и составные числа”, “Дроби”, “Положительные и отрицательные числа”. Эта система задач не только развивает логику мышления, но и подготавливает учащихся к теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии в 9-м классе”.
Задание даю не только с числами.
Рассмотри геометрические фигуры и их расположение.
Заполни пустые клетки.
В 5 классе повторяется таблица умножения, порядок действий.
Здесь уместны задания типа:
Замени 
цифрой
Расшифруй запись:
В записи 7 • 9 + 12 : 3 – 2 расставьте скобки так, чтобы значение выражения было равно 23; 75.
Решение таких задач не только способствует повторению пройденного в начальной школе, но и воспитывает у учащихся навыки решения комбинаторных задач.
Интересные геометрические задачи:
1. Из 5 палочек построить два треугольника, из 7 палочек – три треугольника.
2. Из 22 спичек сложите контур прямоугольника с наибольшей, возможной площадью.
3. Разделите прямоугольник на четыре части так, чтобы ни одна из этих частей не была прямоугольником.
4. Как разделить прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см так, чтобы сложить квадрат?
Анаграммы
В задачах этой серии требуется расшифровать каждую запись путем перестановки букв в ней так, чтобы получилось некоторое осмысленное слово. Особый интерес представляют случаи, когда анаграмма может быть решена несколькими способами, то есть из одного набора букв можно получить не менее двух различных слов.
Примеры:
1. Д В А К А Т Р - КВАДРАТ
2. Г И К О А Л - ЛОГИКА, ИГОЛКА
3. О С Т Р - РОСТ, СОРТ, ТОРС, ТРОС
Решение анаграмм требует тренированной языковой памяти, умения оперативно выполнять перестановку букв в слове. Эти упражнения дают большой развивающий эффект при систематическом использовании на уроках математики в 5 классе во время устного счета.
Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении.
Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач. Задачи этой серии направлены на обработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогий между фигурами.
Примеры:
1. Уменьшаемое – Разность
Множитель - ?
а) сумма; б) вычитаемое; в) произведение; г) умножение.
2. Исключение лишнего
В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта: слова, выражения или фигуры, из которых три в значительной мере связаны друг с другом и только один отличается от всех остальных. Главное требование этих заданий состоит в выявлении лишнего объекта.
Примеры:
Исключить лишнее:
а) сумма, разность, множитель, частное
б)
в) 9, 12, 8, 15
г) 17, 3, 40, 2
Классификация – это прием логического мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы).
Примеры:
1. Подумайте, что объединяет слова в верхней строчке и добавьте слово в нижнем ряду, которое к ним подходит.
Длина, площадь, масса
а) секунда; б) центнер; в) объем; г) величина; д) метр.
2. Раздели на две группы числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Перебор
Сущность этого приема заключается в проведении разбора и анализа всех случаев, которые возможны в ситуации, описанной в задаче.
Примеры:
1. Написаны подряд все натуральные числа от 1 до 99.
Сколько раз в записи встречается цифра 5?
2. Сколько существует двузначных натуральных чисел, записанных разными цифрами?
3. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 выбрать такие три числа, сумма которых будет равна 50.
4. На складе имеются гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16 кг. Может ли кладовщик отпустить со склада 100 кг гвоздей, не распечатывая ящики?
5. Лиса наловила 28 окуней и разложила их в 7 кучек так, чтобы во всех было разное число рыб. Попробуйте и вы.
Перефразирование
Особенность этого приема состоит в переходе к равносильной задаче, чаще всего алгоритмической, путем перевода текста исходной задачи на другой язык.
Примеры:
1. За кухонный гарнитур заплатили сначала 4600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит гарнитур?
2. Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через два, … седьмой – через шесть дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все семь рыбаков снова соберутся вместе на озере?
Инверсия
Под ней мы понимаем перестановку или расположение членов выражения в особом порядке, нарушающем заданный так называемый прямой порядок, с целью получения нового выражения, тождественно равного данному и более удобного для выполнения последующих преобразований. Этот прием лежит в основе различного рода группировок, вычисления значений числовых выражений.
Примеры:
1. Как быстро вычислить:
а) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 99
б) 99 + 95 + 91 + … + 7 + 3 – 1 – 5 – … – 89 – 93 – 97
2. Упростить выражение:
0,57у + 42,39у + 49,43у + 6,02у + 8,61у
Доказательство “от противного”
Допустим, что исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно.
Примеры:
1. Существует ли самое большое число?
2. Доказать, что из натуральных чисел от 1 до 100 нельзя выбрать 71 число таким образом, чтобы их сумма равнялась сумме остальных чисел.
Доказательство “по контрапозиции”
Проводят в том случае, когда доказательство прямого утверждения несопоставимо по сложности с доказательством утверждения, противоположного данному.
Обучение этому приему полезно начинать с 5-го класса.
Примеры:
1. 9 чисел записаны в виде таблицы из трех строк и трех столбцов. Складывая числа первой строки, ученик получил сумму 818, второй – 819,третьей – 917. Проделав те же вычисления для столбцов, он получил суммы: 185, 722 и 648. Правильны ли его вычисления?
2. Доказать, что если площадь квадрата больше 49 см?, то длина его стороны больше 7 см.
Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.