Традиционное изложение применений производных в исследовании функций на монотонность, экстремумы и выпуклость основано на следующей теореме Лагранжа:
Если функция 
имеет производную в каждой
точке невырожденного интервала 
, а также непрерывна на
концах этого интервала, то существует 
со свойством
.
Известно, что представление об истинности этой
формулы Лагранжа легко внушить обучающимся с
помощью понятия касательной к графику функции 
и
геометрического смысла производной. Именно эта
возможность используется уже более века в
учебниках для школьников при изложении
применений производных в исследовании функций с
доказательством основных выводов даже в обычных
классах средней школы (см., например, [1]).
На самом деле, понятие касательной к кривой на
плоскости является более сложным по своей сути,
чем понятие производной. Более того,
общеизвестный способ "доказывать"
существование этого числа c движением прямой
параллельно отрезку, соединяющему концы графика
функции ,
очаровывает своей простотой, но совершенно
искажает у обучаемого представление о том, что
такое доказательство математической теоремы.
В связи с этим, было бы честнее и правильнее во всех подобных учебниках для школьников формулировать теорему Лагранжа без какой-либо попытки ее обосновать. Достаточно указывать на то, что в вузовских курсах по высшей математике или математическому анализу эта теорема является следствием длинной цепи весьма не простых теорем, среди которых традиционно присутствуют теоремы Вейерштрасса о свойствах непрерывной на отрезке функции, а также, обычно, теоремы Ферма и Ролля о дифференцируемости (именно этот способ обоснования теоремы Лагранжа использован и в учебнике [2] для математических классов).
Проблема состояла в том, что формула Лагранжа весьма удобна для получения достаточных условий монотонности и экстремума (и многого другого!), но сама эта формула была доказана классиками математического анализа длинным и непростым путем. И после работ Лагранжа и Вейерштрасса (XIX век) математики, видимо, не смогли найти простого и краткого доказательства этой формулы. Существует ли оно вообще? Теперь это не важно!
Уже в работе [3] автор этих строк наметил несколько необычный способ решения указанной проблемы: вместо формулы Лагранжа использовать более слабое (по внешнему виду) условие (см. условие в лемме 2 из [3], названное ниже ПОС), которое бы обладало почти всеми достоинствами формулы Лагранжа, но при этом имело бы краткое и простое обоснование. Вторую половину замысла удалось реализовать лишь в 2001 году.
Подробные выкладки этой реализации изложены в работах [4], [5], [7] (Отметим, что работа [5] на прошедшем в Москве Всероссийском открытом конкурсе “Педагогические инновации 2003” отмечена высшей наградой этого конкурса — медалью Януша Корчака и дипломом Министерства образования РФ). По материалам этого альтернативного метода были сделаны доклады на III Всероссийской школе-семинаре “Профессионализация предметной подготовки учителя математики в педагогических вузах (концепции, стандарты, программы, учебники)” в Ярославле (май 2002 года), на Всероссийской научно-практической конференции “Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики” в Нижнем Новгороде (декабрь 2002 года) [6], на Международном Форуме по проблемам науки, техники и образования “III тысячелетие — новый мир” (тема доклада: “Научные основы новых способов преподавания разделов о производной функции и ее приложений в школе и вузе”) в декабре 2003 года.
Альтернатива формуле Лагранжа конечных приращений при исследовании функций с помощью производной
Приведем два небольших фрагмента текста, которые можно использовать при изучении необходимой теоретической основы перед рассмотрением темы “Применение производных при исследовании функций”, вместо соответствующих страниц ныне действующих учебников для 10-х классов, посвященных подготовке и изложению теоремы Лагранжа. При этом первый фрагмент предназначен для обычных классов, а оба вместе — для математических.
Фрагмент 1.
Для доказательства многих прикладных свойств производной и, в том числе, для обоснования достаточных условий монотонности, экстремумов и выпуклости функции достаточно иметь следующее утверждение, которое названо нами Принципом Охвата Скоростей (или, коротко, ПОС):
Если функция
, таких, что
, в отрезке
найдутся числа
со свойством
Этот принцип имеет простое физическое обоснование.
Действительно, если функция 
описывает закон
прямолинейного движения точки, то в силу
физического смысла производной 
— скорость движения этой
точки в момент времени 
, а отношение 
— ее средняя скорость 
на промежутке от 
до 
.
Если в этой ситуации предположить, что
указанного выше числа 
нет, то для всех из отрезка 
выполняется неравенство 
. Тогда мы
приходим к абсурдному, с точки зрения опыта,
выводу: будто два тела одновременно выходят из
одной и той же точки, двигаются в одном
направлении, одно по закону , другое — 
, при этом скорость движения одного
из них 
все
время больше скорости другого, однако за время 
оба тела
проходят одинаковое расстояние 
.
Аналогично поясняется существование точки 
.
Всё! Фрагмент 1 закончен. В нем на уровне достаточно простых физических понятий поясняется истинность утверждения, которое далее заменит формулу Лагранжа в совершенно строгих (и не менее простых, чем в классическом подходе) доказательствах достаточных условий убывания (возрастания), максимума (минимума), выпуклости вверх (вниз) функции. Кстати, физическая трактовка производной излагается во всех нынешних учебниках, Следовательно, новым будет только текст приведенного фрагмента 1. В то же время, для целей подготовки и изложения темы исследования функций с помощью производных совершенно не нужны фрагменты текстов, связанных с изложением понятия касательной к графику функции и геометрического смысла производной.
После сообщения фрагмента 1 учащимся 10-х классов, изучающим начала анализа по основному уровню, можно переходить к теме исследования функции с помощью производной.
В классах (школах), в которых математика изучается углубленно, ПОС можно обосновать логически, т.е. доказать. Для таких случаев приводим следующий фрагмент текста, который содержит все необходимые пояснения и само доказательство ПОС.
Фрагмент 2.
При изложении математического анализа с
обоснованием всех его положений (именно такая
установка положена в основу учебника [2] для
математических классов) нельзя обойтись без
свойства непрерывности множества 
всех действительных чисел.
Как и в учебнике [2], мы предпочитаем вводить это
свойство в форме Принципа Разделяющей Точки
(коротко, ПРТ).
Известно, что из ПРТ легко выводится следующая теорема Кантора:
Если последовательность отрезков 
удовлетворяет следующим
условиям:
1) вложенности:
,
2) стягиваемости:
,
то существует единственное действительное
число 
такое,
что для всех 
выполняются неравенства 
, причем 
и 
.
Кроме самых простых свойств предела числовой последовательности — арифметических, именно это важное свойство сходящихся числовых последовательностей понадобится нам ниже. Естественно, что доказательства этих общеизвестных фактов мы здесь не приводим.
Чтобы изложить доказательство ПОС, предварительно установим одно дополнительное свойство производной, которое учителям-практикам менее известно:
Лемма. Если функция имеет в точке 
производную, то для любых числовых
последовательностей 
и 
,
удовлетворяющих условиям
,
,
выполняется равенство 
.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда для всех 
выполняются строгие неравенства 
. Тогда, в силу определения
производной и указанных условий, имеем
и 
, (*)
Ясно, что в рассматриваемом варианте величина 
всегда
принадлежит интервалу 
, что означает ограниченность
числовых последовательностей 
и 
. Тогда доказываемое равенство
следует из соотношений
на основе условий (*) и арифметических свойств сходящихся числовых последовательностей.
Осталось заметить, что если 
или 
совпадает с числом 
(всегда или для каких-либо
значений ), то
это не повлияет на основной вывод. Напротив,
обоснование в этом варианте достигается более
просто. Действительно, если, например, 
, то 
и
.
Лемма доказана.
Приведем теперь доказательство ПОС. Для
этого применим метод от противного. Предположим,
например, что указанное 
не существует в некотором отрезке 
, являющемся
подмножеством 
.
Тогда для всех 
из отрезка выполняется неравенство
. (**)
Пусть 
и 
— середина
отрезка .
Очевидно, что величина 
не меньше одного из следующих чисел:
или 
,
поскольку сумма этих чисел равна 
.
Обозначим именно это число через 
, а соответствующую ему
половинку первоначального отрезка через 
. Т.о., имеем
, 
.
Аналогично, пусть 
— середина отрезка 
. Тогда, как и выше, число не меньше одной
из следующих дробей
или 
.
Ту из них, которая удовлетворяет этому условию
обозначаем через 
, а соответствующую ей половинку отрезка — через 
. Т.о., выполняется
, 
.
Продолжая намеченный процесс выбора половинок
далее, построим последовательность вложенных
отрезков 
, для
которых выполняются условия
, 
.
Поскольку при 
имеет место 
, эта последовательность отрезков
обладает свойством стягиваемости. Тогда по
теореме Кантора имеется точка 
, принадлежащая всем
отрезкам ,
причем 
и 
.
В силу леммы выше отсюда следует, что 
, и поэтому из
неравенств 
по
теореме о предельном переходе в неравенстве
получаем 
.
Так как 
, то
этот вывод противоречит предположению (**).
Следовательно, оно неверное, и существование
тоски 
доказано.
Существование числа 
можно обосновать аналогично. Можно
также к функции 
применить доказанную уже часть ПОС. Тогда
найдется точка ,
для которой 
.
Отсюда, поскольку 
, легко получить искомое неравенство для
функции 
относительно .
Все, принцип охвата скоростей доказан! Фрагмент 2 завершен.
Осталось еще раз сказать, что для обоснования с помощью ПОС классического достаточного условия возрастания (убывания) функции необходимо воспользоваться рассуждением, сходным с традиционным, только вместо равенства Лагранжа применить левое (соответственно, правое) неравенство из формулировки ПОС. А с помощью этих достаточных условий монотонности стандартным образом выводятся достаточные условия экстремума функции. Наконец, применив ПОС дважды, несложно обосновать также достаточные условия выпуклости вверх (вниз) в терминах производных второго порядка. Мы все эти выкладки не приводим, так как их сможет расписать любой учитель математики. Желающие могут обратиться к любой из работ [4], [5], [7].
Замечание 1. В работах [4], [5], [7] приведено другое, более короткое доказательство леммы из фрагмента 1. Оно основано на свойстве медианты двух дробей с положительными знаменателями (см. об этом подходе замечание 2).
Замечание 2. В работах [4], [5], [7] ограничения
снизу для чисел , , , … в
доказательстве ПОС обосновывались за счет
ссылки на простейшее свойство так называемой
медианты двух дробей: она не может быть меньше (и
больше тоже!) обеих первичных дробей с
положительными знаменателями. В нашем случае, в
силу равенства
,
величина
равна медианте дробей
и 
,
поэтому не меньше одной из них.
Замечания (о перспективах применения ПОС). 3. Изложенный выше подход позволяет изучать тему исследования функций с помощью производной строго, но с большой экономией времени, поскольку не требует предварительного изучения свойств непрерывности и дифференцируемости функций на промежутке.
4. В указанных выше работах автора предложенный альтернативный метод доведен до своего логического завершения: с помощью ПОС и (только!) теоремы о нуле непрерывной на промежутке функции в них доказаны:
- Теорема Дарбу. Если функция
дифференцируема на 
, причем 
, 
, 
, то для любого действительного числа 
, расположенного
строго между числами 
и 
,
найдется число
со свойством 
.
- и, как ее тривиальное следствие, сама теорема Лагранжа.
Это позволяет излагать обсуждаемую тему этим новым методом в курсе математического анализа с полным обоснованием известного алгоритма исследования функции с помощью производной (даже и без предположения о непрерывности этой производной). Кроме того, обоснованная на этом этапе теорема Лагранжа, как известно, даст возможность доказать далее теорему Коши о среднем, правило Лопиталя и другие известные теоремы анализа, т.е. развивать математический анализ далее в традиционном ключе.
5. Вместе с тем, можно также отметить, что сам ПОС прекрасно позволяет “справляться” со многими другими задачами математического анализа, традиционно решаемыми с помощью формулы Лагранжа конечных приращений. Например, непосредственно после введения интеграла Римана (посредством интегральных сумм) ПОС позволяет доказать формулу Ньютона-Лейбница (без предварительного рассмотрения интеграла с переменным верхним пределом и теории квадрируемых плоских фигур) в следующей известной общей формулировке:
Если функция 
интегрируема по Риману на отрезке 
и непрерывная на нем функция
удовлетворяет
условию 
для
всех 
, за
исключением, быть может, конечного множества
точек, то 
С помощью ПОС, не выводя формул остаточных
членов в формуле Тейлора (в формах Лагранжа или
Коши), можно коротко обосновать (опять же без
использования теорем Лагранжа и Коши о среднем)
разложения в ряды Тейлора таких функций как 
, 
и т.д. (см. [5]), что позволяет
изучать темы рядов Тейлора и приближенных
вычислений значений функций с любой заранее
заданной точностью в математических классах.
Литература
[1] Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11
классов общеобразовательных учреждений /
А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под
ред. А.Н.Колмогорова. — М.: Просвещение, 1997. — 320с.:
ил.
[2] Виленкин Н.Я., Ивашов-Мусатов О.С., Шварцбурд
С.И. Алгебра и математический анализ. 10 класс. —
М.: Просвещение, 1992.
[3] Попов В.А. О функциях с монотонными
производными. // Математика в школе, 1978, №1, стр.
71-72.
[4] Попов В.А. К вопросу об исследовании
функций с помощью производных. — Коми
государственный педагогический институт. —
Сыктывкар, 2002 — 16с. — Библиография 7 назв. — Рус.
— Депонирована в ВИНИТИ 19.03.2002, №503-В2002.
[5] Попов В.А. Новые основы дифференциального
исчисления. Учебное пособие для спецкурсов. —
Сыктывкар, “Полиграф-сервис”, 2002. — 64с.
[6] Попов В.А. Инновационные методы
преподавания тем раздела “Производная
функции”. — В сб. “Проблемы качества подготовки
учителя математики и информатики. Материалы
Всероссийской научно-практической конференции
3-4 декабря 2002 года”, Нижний Новгород: НГПУ, 2002,
с.146-148.
[7] Попов В.А. Элементарная математика и начала
анализа: методические статьи и задачи. —
Сыктывкар: Коми государственный педагогический
институт, 2002. — 300с.