Интегрированный урок по алгебре и информатике, 11-й класс

Тема урока: "Корень n-ной степени и его свойства. Нахождение корня n-ной степени с помощью электронной таблицы Excel."

Цели урока: ввести понятие корня n-ой степени; познакомить учащихся с решением уравнений вида хⁿ=a ; рассмотреть примеры вычисления корней n-ой степени; ввести формулу Ньютона для приближенного вычисления корней р-ой степени; формирование навыков и умений нахождения корня р-ой степени с помощью компьютера.

Ход урока.

1. Слово учителя.

• Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы познакомимся со следующими понятиями: корень n-ой степени, арифметический корень n-ой степени из числа, с решениями уравнений вида хⁿ=a, научимся находить целые корни и с помощью формулы Ньютона приближенные значения корня р-ой степени. Сейчас учащиеся 8 класса, изучающие тему “Квадратные корни”, познакомят вас с историей возникновения квадратного корня, термина “радикал”, т.е. корень, и напомнят определение квадратного корня.
• С давних пор, наряду с отысканием площади квадрата по известной длине его стороны, приходилось решать и обратную задачу: “Какой должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась а ?”. Такую задачу умели решать еще четыре тысячи лет назад вавилонские ученые. Они составили таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Вавилоняне использовали метод приближенного извлечения квадратных корней , который состоял в следующем: “Пусть а – некоторое число (имеется в виду натуральное число), не являющееся полным квадратом. Представим а в виде суммы b²+c, где с – достаточно мало по сравнению с b². Тогда, например, если а=112, то квадратный корень из а равен 10,6. Проверка: 10,6² =112,36.
• Указанный метод извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским. В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), а затем сокращенно буквой R (отсюда произошел термин “радикал”, которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV века для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить ромбик, а в последствии знак V и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять.
• Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а.
• Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
• Аналогично определим корень n-ой степени. Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.
• Примеры:

Корень третьей степени из числа 27 равен 3, т.к. 3³=27.

Корень шестой степени из числа 64 равен 2 и (-2), т.к. 2⁶=64 и (-2)⁶=64.

Согласно данному определению, корень n-ой степени из числа а – это решение уравнения хⁿ=а. Число корней данного уравнения зависит от n и а.

Рассмотрим функцию f(x)=xⁿ. Эта функция при любом n возрастает на промежутке от нуля до бесконечности и принимает все значения из этого промежутка.

По теореме о корне уравнение xⁿ=a для любого а из промежутка от нуля до бесконечности имеет неотрицательный корень, и притом только один. Его называют арифметическим корнем n-ой степени .

Арифметическим корнем n-ой степени из числа а называют неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

Арифметический корень третьей степени из числа 8 равен 2, т.к. 2³=8

Арифметический корень четвертой степени из дроби 81/16 равен 3/2.

1. если а>0, то уравнение имеет корни;
2. если а=0, то х=0;
3. если а<0, то уравнение действительных корней не имеет.

Пример: решить уравнение х⁴=81. Отсюда х=3 или х= -3.

При нечетных n функция f(x)=xⁿ возрастает на всей числовой прямой и , отсюда, уравнение имеет при любых а один корень.

Пример: решить уравнение х⁵= -32. Отсюда х= -2.

А) х⁶=5;

Б) х⁵=3;

В) х³+4=0.

• Вы уже заметили, что часто в решении уравнений появляются корни – иррациональные числа. Их значения можно найти приближенно, используя формулу Ньютона:

У_n+1=1/Р[(Р-1)У_n+Х/У_n^p-1].

(Далее класс делится на 2 группы: одна группа работает на компьютере, используя обучающую карточку, другая группа работает по индивидуальным карточкам по алгебре за партами.)

Используя формулу Ньютона, вычислите х с точностью EPS=0.000001 для Х=277234 и Р=7 при начальном приближении У₀=5.

Выполните следующие шаги:

1. Создайте заголовок задания. Запишите формулу Ньютона. Расположите строки в центре и выберите подходящий для них шрифт.
2. Запишите в ячейку А5 текст “Х=”, в ячейку В5 значение 277234. Выровняйте содержимое А5 по правому краю, содержимое В5 – по левому. Таким же образом запишите в ячейку С5 – “Р=”, D5 – 7, Е5 – “EPS=”, F5 – 0.000001, G5 – “У₀=”, Н5-5.
3. Создайте шапку таблицы, записав в ячейки D7 и Е7 “№ шага” и “У” соответственно.
4. Запишите в ячейку D8 значение 0. Скопируйте в ячейку Е8 содержимое ячейки Н5. Запишите в следующую строку столбца D номер очередного шага и в следующую строку столба Е – формулу Ньютона.
5. Повторите пункт 4, скопировав формулу Ньютона из предыдущей строки. Повторяйте эти действия каждый раз в таблицу по одной строке.
6. Создайте рамку таблицы.
7. Занесите в ячейку D16 текст “результат”, а в ячейку Е16 – результат с заданной точностью – до 6 значащих цифр.

Вариант 1.

1. Решите уравнения

а) х⁴=10; б) х¹⁰-15=0; в) х⁷+128=0

2. Решите неравенства:

а) х⁴<3; б) х¹¹>7

3. Найдите значение числового выражения:

а) корень девятой степени из -1;

б) корень пятой степени из 0;

в) корень четвертой степени из дроби 81/256.

Вариант 2.

1. Решите уравнения

а) 16х⁴ -1=0; б) 0,01х³+10=0; в) 0,02х⁶-1,28=0

2. Решите неравенства:

а) х³<5; б) х¹⁰>10

3. Найдите значение числового выражения:

а) корень четвертой степени из выражения 16•625;

б) корень пятой степени из выражения 32•243;

в) корень четвертой степени из дроби 128/8.

Вариант 3.

1. Решите уравнения

а) 125х³=1; б) 0,001х¹⁰-1,5=0; в)0,04 х⁷+128=0

1. Решите неравенства:

а) 2х⁴<12; б) 5х¹¹>35

2. Найдите значение числового выражения:

а) корень четвертой степени из выражения 48•27;

б) корень пятой степени из выражения 160•625;

в) корень шестой степени из дроби 128/2.

Итог урока, задание на дом.