Решение задач по кинематике

Решение задач по кинематике равнопеременного движения традиционно вызывает у учащихся затруднения, что связано в основном с тем, что здесь впервые встает проблема формализации физической задачи, т.е. перевода ее с языка “текстовой задачи” по физике на язык математики. До этого учащимся приходилось в основном решать задачи, если можно так выразиться, “по формулам”, а теперь необходимо осмыслить задачу не только с точки зрения физики, но и суметь записать ее в терминах уравнений кинематики и затем из этих уравнений, опираясь на условие задачи, получить нужные “формулы”. В настоящей работе представлен ход обзорного урока по этой теме.

Чтобы научиться решать задачи по кинематике нужно прежде всего уметь правильно выбрать систему отсчета (СО), которая включает в себя:

1. Точку отсчета (выбираем произвольно из соображений удобства)
2. Систему координат, связанную с точкой отсчета
3. Начало отсчета времени (счетчик времени, выбираем из соображений удобства).

Вообще важно, чтобы учащиеся отдавали себе отчет, что для решения задач по кинематике необходимо:

1. Выбрать СО подходящим образом, чтобы в этой СО уравнения кинематики принимали наиболее простой вид. Обязательно обратить внимание на выбор начала отсчета времени.

2. Сделать чертеж, иллюстрирующий описанное в условии задачи явление: начертить систему координат, траекторию движения, вектора скоростей и ускорений.

3. Записать основные уравнения кинематики равнопеременного движения в выбранной СО для произвольного момента времени:

         

где x_0,y₀ – начальное положение тела, v_0x, v_0y – проекции начальной скорости тела, a_x, a_y – проекции ускорений.

4. Записать уравнения (1)-(4) для характерных моментов времени, из которых находить требуемые в условии задачи величины, т.е. получить рабочие формулы.

Важно, чтобы учащиеся понимали, что можно получить решение любой задачи кинематики равнопеременного движения, если записаны основные уравнения (1)-(4). Важно также, чтобы они осознавали, что вид этих уравнений меняется в зависимости от выбора СО. В связи с этим, решим несколько задач, иллюстрирующих сказанное.

Задача 1. Теннисист при подаче запускает мяч с высоты h над землей. На каком расстоянии от подающего мяч ударится о землю, если начальная скорость равна v₀ и направлена вверх под углом   к горизонту?

Решение: а). Точку отсчета (начало координат) поместим в точку на поверхности земли, где стоял теннисист в момент удара. Время начнем отсчитывать от момента удара по мячу. На рис.1 изображена система координат XOY, траектория движения мяча, вектора скорости и ускорения.

Рис. 1

В выбранной СО начальные условия имеют вид: x₀ = 0, y₀ = h, a_x = 0, a_x = - g,

и кинематические уравнения (1)-(4) запишутся в виде:

             

Требуемое в условии задачи расстояние D (дальность полета) найдем из условия: D = x(t_n), где время полета t_n определяется из соотношения y(t_n) = 0, т.е.можем записать уравнение:

При решении этого квадратного уравнения удобнее записывать его в приведенном виде x² + 2qx + + q = 0 и находить корни по формуле

Опыт показывает, что учащиеся зачастую не знают этого и находят корни такого уравнения по общей формуле, что осложняет выкладки. Перепишем уравнение в виде

тогда его решение

Т.к. t >=  0, то физический смысл имеет корень

Теперь из условия D =x(t_n) получим рабочую формулу

б). Решим эту задачу, выбрав за точку отсчета (начало координат) точку, где находился мяч в момент удара. Время по-прежнему отсчитываем от момента удара по мячу. На рис.2 изображена система координат XOY, траектория движения мяча, вектора скорости и ускорения.

Рис. 2

В выбранной СО начальные условия имеют вид: x₀ = 0, y₀ = 0, a_x = 0, a_x = - g,

Кинематические уравнения (1)-(4) теперь запишутся так

        

и время полета t_n мяча до земли найдется из условия: y(t_n) = - h. Дальше решение задачи повторяет способ а).

В рассмотренной задаче было безразлично, где поместить начало координат, однако в задачах, где высота, на которой происходит событие, не задана, начало координат лучше всего помещать именно в эту точку на неизвестной высоте. Направление осей выбирается из соображений удобства.

Задача 2. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, последние h м пути прошло за время с. Какое время и с какой высоты падало тело?

Решение: Начало координат поместим в точку на неизвестной высоте H, ось Y направим вертикально вниз. Время начнем отсчитывать с момента начала падения тела. На рис.3 изображена система координат и ускорение свободного падения тела.

Рис. 3

В выбранной СО v_0y = 0, y₀ = 0, a_y = g и уравнения кинематики (1)-(4) сведутся к двум

Т.к. в условии задачи речь идет о свободном падении тела, то в любой момент времени его координата будет равна пройденному пути. Выразим из уравнения для координаты отрезки пути H и h. Из рис.3 очевидно, что 

где t_n – время падения тела на землю. Получили два уравнения с двумя неизвестными H и t_n. Уравнение (6) после преобразований принимает вид

Откуда

Подставляя найденное t_n в (5), получим искомое выражение для высоты

Таким образом, требуемые в задаче величины определены.

Следует отметить, что если на размещение начала отсчета и направление осей системы координат учащиеся еще обращают внимание, то выбор начала отсчета времени обычно ускользает из их поля зрения. Это особенно заметно при решении задач, где в движении участвует несколько тел.

Если тела начинают свое движение одновременно, то отсчет времени начинается с момента начала движения тел, а кинематические уравнения пишутся для каждого из тел.

Задача 3. Два тела, расстояние между которыми l, начинают одновременно двигаться навстречу друг другу: первое - равномерно со скоростью v, а второе – из состояния покоя равноускоренно с ускорением a. Через какое время тела встретятся?

Решение: Поместим начало координат в точку, где находилось первое тело в начальный момент, ось OX направим по движению первого тела. Отсчет времени начнем с момента начала движения тел. На рис.4 изображена ось ОХ, вектора скоростей и ускорений обоих тел.

Рис. 4

В этой СО x₁₀ = 0, x₂₀ = l. Уравнение движения для первого тела

Уравнение движения для второго тела

В момент встречи x₁(t) = x₂(t), t – время в пути до встречи, т.е.

откуда

Задача 4. Лифт поднимается с ускорением a. В тот момент, когда его скорость стала равна v, с потолка кабины лифта начал падать болт. Высота кабины лифта h. Вычислить время падения болта.

Решение: Свяжем начало неподвижной системы координат с точкой, в которой находится пол лифта в момент, когда болт начинает падать. Время начнем отсчитывать от момента начала падения болта. На рис.5 изображена система координат (ось ОY), вектора скоростей и ускорений.

Рис. 5

Пусть y_k v_k - координата и проекция скорости кабины лифта, y_б v_б - координата и проекция скорости болта. Для кабины лифта основные уравнения (1) - (4) запишутся в виде

а для болта примут вид

Когда болт упадет на пол, будет выполняться: y_k (t) = y_б (t), где t – время падения болта:

Наибольшие затруднения вызывает у учащихся выбор начала отсчета времени, и особенно запись уравнений кинематики в случае, когда тела, участвующие в движении, начинают двигаться неодновременно.

Задача 5. Тело с начальной скоростью v₀ и ускорением a₁ начинает двигаться из некоторой точки по прямолинейной траектории. Через время  из той же точки вслед за первым телом начинает двигаться другое тело без начальной скорости с ускорением a₂. Через какое время после выхода первого тела второе тело его догонит?

Решение: Начало координат свяжем с точкой, из которой начинают двигаться тела. Ось ОХ направим по движению тел. Время начнем отсчитывать от начала движения первого тела. На рис.6 изображена система координат, вектора скоростей и ускорение.

Рис.6

В этой СО уравнения кинематики для первого тела имеют вид

а для второго тела, с учетом того, что оно начало свое движение на секунд позже первого, запишутся в виде

На запись этих уравнений нужно особенно обратить внимание учащихся. В момент, когда второе тело догонит первое, будет выполняться x₁(t) = x₂(t), т.е.

Получаем квадратное уравнение для определения времени t

С учетом того, что t >= 0 находим

Задача 6. Два тела брошены вертикально вверх с поверхности Земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени , с одинаковыми начальными скоростями v₀. Определить, через какое время тела встретятся.

Решение: Начало отсчета поместим в точку бросания. Ось OY направим вертикально вверх. Отсчет времени начнем с момента бросания первого тела. На рис.7 изображена ось OY и вектора начальной скорости и ускорения свободного падения.

Рис. 7

В выбранной СО y₁₀ = y₂₀ = 0, v_01y = v_02y = v₀, a_1y = a_2y = -g. Уравнения кинематики для первого тела имеют вид

Основные уравнения кинематики для второго тела с учетом того, что оно начала свое движение на секунд позже первого, запишутся в виде

Тела “встретятся”, когда y₁ (t) = y₂ (t), т.е. получаем уравнение для нахождения искомого времени “встречи”

откуда