Урок по геометрии "Теорема Пифагора"

Да, путь познания не гладок,
Но мы знаем со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!

На радужной узрел я оболочке
Бегущие квадратики, кружочки,
Вселенной опрокинутый узор,
И вспыхнуло в мелькании сквозь строчки
Пылающее имя – Пифагор!

 

Тема урока: “Теорема Пифагора”.

Цели урока:

• усвоение теоремы Пифагора;
• формирование умений применять теорему Пифагора при решении задач разной степени трудности;
• развитие познавательного интереса, логического мышления.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

• Дома вы должны были начертить прямоугольные треугольники по известным катетам, измерить гипотенузу и заполнить таблицу. Давайте проверим, как вы справились.

(Под диктовку учащихся заполняется таблица на доске)

II. Изучение нового материала.

• Почему сумма катетов больше гипотенузы?
• Останется ли треугольник прямоугольным, если увеличить или уменьшить одну из его сторон?
• Может ли катет быть длиннее гипотенузы?
• Попадает ли каждая отдельная сторона прямоугольного треугольника в полную зависимость от двух других его сторон?
• Сколько надо знать длин отрезков, чтобы построить прямоугольный треугольник?
• Можно ли, зная лишь длину одной стороны, имея лишь один отрезок, построить прямоугольный треугольник?
• Можно ли в прямоугольном треугольнике, зная длины двух сторон, найти третью?
• Сформулируйте утверждение, позволяющее найти гипотенузу, зная длины катетов, в прямоугольном треугольнике.

Историческая справка.

Утверждение, позволяющее найти гипотенузу, зная длины катетов, называется теоремой Пифагора. За 1200 лет до Пифагора в Вавилоне и за 2000 лет в Египте уже было известно соотношение между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике, установленное опытным путём на основе измерений. По-видимому, Пифагору удалось доказать это утверждение.

Пифагор родился в 570 г. до н. э. на острове Самос. Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое число легенд. Пифагор – один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк.

Пифагору приписывается много замечательных открытий и доказательств: теорема о сумме углов треугольника, геометрические способы решения квадратных уравнений, построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой, знаменитая теорема Пифагора и т. д.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство. Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. проведём высоту СD из вершины прямого угла С.

Выразим cos A из прямоугольного треугольника ADC: cos A=AD/AC.

Выразим cos A из прямоугольного треугольника AВC: cos A=AС/AВ.

Приравнивая правые полученных равенств, имеем пропорцию AD/AC=AС/AВ.

По основному свойству пропорции получаем АС²=АD*АВ. Аналогично

выразим cos В из прямоугольного треугольника CDB: cos B=DB/BC.

Выразим cos B из прямоугольного треугольника AВC: cos A=BС/AВ.

Приравнивая правые полученных равенств, имеем пропорцию DB/BC=BС/AВ.

По основному свойству пропорции получаем BС²=DB*АВ.

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:

AC²+BC²=AB(AD+DB)=AB².

Теорема доказана.

III. Закрепление теоремы Пифагора.

Устно:

1. Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Вычислите гипотенузу треугольника.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Определите второй катет.

Решение задач разных уровней сложности.

Первый уровень

1. Найдите стороны ромба, если его диагонали равны 24 см и 18 см.

2. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого равна 9 см, а диагональ – 15 см.

3. Стороны прямоугольника 8 см и 15 см. Найдите его диагонали.

Второй уровень

1. В равнобокой трапеции основания равны 8 см и 14 см, боковая сторона – 5 см. Найдите высоту трапеции.

2. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а его основание – 30 см. Найдите боковую сторону данного треугольника.

3 .Сторона равностороннего треугольника равна 183 см. Найдите биссектрису этого треугольника.

Третий уровень

1. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 дм, боковая сторона меньше основания на 1.5 дм. Найдите высоту этого треугольника.

2. В окружность, радиус которой равен 17 см, вписан прямоугольник. Найдите стороны этого прямоугольника, если отношение их равно 15:8.

3. На сторонах прямоугольного треугольника АВС построены квадраты, причём S3+S2=1252 см², а S1= 100 см². Найдите периметр треугольника АВС.

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание:

1. Подготовить сообщение о Пифагоре.

2. Ответить на вопросы викторины “Пифагор”.

• Где и когда родился Пифагор?
• Что лежало в основе религии Пифагора?
• Какие числа называются фигурными? Приведите примеры?
• Назовите длины сторон египетского треугольника? Для чего использовали землемеры этот треугольник?
• Какие треугольники называются пифагоровыми треугольниками?
• Как читается знаменитая теорема Пифагора?
• Как называлась книга, в которой пифагорейцы объединили свои правила поведения?
• “Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова”. Какой смысл вкладывал Пифагор в эти слова?
• Что являлось тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга?
• Не отрывая карандаш от бумаги, начертите пентаграмму.
• Найдите среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое чисел 1 и 9.
• К какому открытию в математике подошел Пифагор, рассматривая длину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС с катетами длиной по 1 см.
• Что связывает имя Пифагора и олимпийские игры?
• Какие названия имела теорема Пифагора в древности, Средние века?
• Какие числа Пифагор называл счастливыми, а какие – несчастливыми. Какая традиция, связанная с этим, сохранилась и сегодня?

3. Доказать теорему Пифагора другим способом.