В последние годы многих учителей все чаще заставляет о себе задумываться геометрическая подготовка выпускников наших школ. Подготовка учеников по курсу планиметрии (VII – IX классы) удовлетворительная, а по курсу стереометрии (X – XI классы) – очень даже плачевная. И такая ситуация учителей сильно волнует и всё время подталкивает каждого из них на новые поиски. Речь здесь не идет о стереометрических знаниях учащихся и неумении их решать сложные задачи, а об их геометрическом мышлении и геометрических представлениях, так как развитие геометрического мышления и пространственных представлений учащихся является важнейшей задачей уроков геометрии и, прежде всего, учителя математики.
Причину такого положения мы видим в отсутствии необходимого наглядного материала и наглядных средств и в недостатке их для каждого учащегося. Ученики должны уметь применять наглядные средства и фигуры в своей работе, сравнивать их положения в пространстве между собой и относительно друг друга, моделировать, уметь грамотно изображать планиметрические и стереометрические фигуры на чертеже и правильно их читать. Всему этому можно добиться, лишь систематически применяя на уроках средства наглядности.
На уроках геометрии, особенно в части стереометрии, никогда не следует забывать о наглядности, и её применению всегда должно быть уделено значительное место. Стереометрический материал, изучаемый в X – XI классах, требует от учащихся хорошего пространственного представления. Поэтому, как известно, перед большинством учащихся при решении задач возникают трудно-преодолеваемые препятствия. Как уже говорилось, отсутствие моделей всех стереометрических фигур (например, тел вращения) также создает большие трудности для представлений учащихся. Конечно, в кабинетах математики многих школ имеются стандартные наборы моделей тел вращения, сделанные из твердого материала (дерева или пластмассы), и они успешно применяются учителями при практических и лабораторных работах. Но, из-за непрозрачности этих моделей, многие их элементы ученикам показать невозможно. А модели, сделанные из стекла, имеются только для многогранников, но, из-за размерности и опасности, их не часто применяют.
Однако наш опыт показывает, что из подручных средств легко изготовить необходимые и недостающие для уроков модели стереометрических фигур, которые легки по своей массе, безопасны и, кроме того, прозрачны. Мы сделали такой набор моделей для своего кабинета математики. У нас имеются и модели многогранников и модели тел вращения. Для изготовления моделей конуса, усеченного конуса, цилиндра нам понадобились прозрачные пластмассовые бутылки, ножницы и клей “Момент”. Прежде всего, выполняются необходимые вычисления (образующая, радиус, длина дуги), изготавливаются развертки будущих моделей, и полученные детали соединяются между собой.
Изготовление модели цилиндра
Изготовление модели усеченного конуса
Изготовление модели конуса
В таких моделях, из-за их прозрачности, очень легко и удобно показать такие элементы как образующая, высота, угол между основанием и образующей, а также угол между секущей и плоскостью и другие. Чтобы показать эти элементы на моделях можно применить разноцветные нити или проволоку и разместить их внутри фигуры.
В большинстве случаев на уроках геометрии средством наглядности является рисунок. Однако учащиеся часто забывают, что стереометрический рисунок отличается от планиметрического и не вспоминают, что он должен быть объемным. На чертеже величины углов сильно искажаются, пересекаются между собой линии, в действительности не имеющие общих точек. Часто по чертежу, сделанному учащимися, трудно бывает получить нужную информацию, так как многие элементы изображаются неправильно. Применение сделанных нами моделей помогает учащимся и при изображении стереометрических фигур на чертеже. Они очень удобны и наглядны и поэтому дают возможность учащимся правильно изображать фигуры и их элементы на плоскости.
У многих учеников пространственное воображение развито недостаточно. В связи с этим для них усложняется представление полной геометрической фигуры по её плоскостному изображению. Применение сделанных моделей дает возможность учащимся рассматривать их с разных сторон, помогает учащимся представлять необходимые для решения задач и доказательства теорем элементы и, вместе с тем, значительно упрощает процесс решения задачи.
В нашем кабинете имеются и на уроках успешно применяются модели тетраэдра вписанного в куб, октаэдра, вписанного в куб, куба, вписанного в додекаэдр, конуса, цилиндра, конуса, описанного около цилиндра, усеченного конуса, цилиндра описанного около конуса, призмы, пирамиды, усеченной пирамиды, наклонного параллелепипеда. Все модели многогранников, все модели тел вращения и их сочетания сделаны из пластмассовых бутылок и твердой прозрачной плёнки.
Ещё одна методическая находка (в первую очередь для 10-х классов), которая помогает развивать пространственные представления, пространственное воображение, мышление и навыки моделирования учащихся – стереометрический ящик. Применение этого пособия (комплекта) активизирует работу каждого ученика, дает им возможность творчески работать. Их лучше всего изготовить в таком количестве, чтобы один комплект был на каждой парте, что позволит каждому учащемуся включиться в интересную работу. Каждый комплект этого пособия состоит из модели плоскости и металлических иголок. В качестве модели плоскости мы используем кусочек пенопласта квадратной формы размером 20см Х 20см, а вместо иголок мы применяем вышедшие из употребления стержни от ручек. Так как стержни имеют металлические концы, то ими легко можно проткнуть пенопласт и расположить стержни в разных положениях относительно плоскости. Такое простое пособие каждый учащийся может сделать у себя дома и, с таким же успехом как в классе, может применять его при решении задач и выполнении домашних заданий.
Применение стереометрического ящика приводит к положительным результатам при объяснении таких тем, как расположение прямых, прямой и плоскости относительно друг друга, проекция, сечение многогранников плоскостью и при решении задач, помогает в развитии речи учащихся.
Не только полезно, но и необходимо начинать развивать способности учащихся мысленно представлять геометрические фигуры и их положения в пространстве с 5 – 6 классов, т. е. до начала курса стереометрии. При работе с геометрическими фигурами об этом постоянно нужно думать и всё время об этом заботиться. В этом возрасте ученики хотят до всего дотронуться, сравнивать их между собой, всё подсчитать, т. е. они желают работать именно руками и пальцами. Поэтому работа с моделями и их развертками для них интересна и увлекательна. Учитывая это обстоятельство, каждый раз, когда появляется возможность, на уроках в этих классах необходимо использовать модели и их развертки. Например, при изучении тем: “Треугольник”, “Прямоугольник”, “Квадрат”, “Окружность”, “Круг” можно предложить учащимся найти изучаемые фигуры и подсчитать их количество в моделях куба, прямоугольного и наклонного параллелепипедов, призмы, конуса, пирамиды. Можно также попросить выяснить: равны ли найденные фигуры между собой; если разрезать модель на части, то по какой фигуре она разрежется. Ребята также с огромным желанием будут измерять или сравнивать углы и стороны найденных на моделях треугольников и прямоугольников.
Ученики 10 – 11 классов – это уже не дети. Им уже не интересно что-то вырезать из бумаги, делать из разверток модели или же считать вершины, ребра, грани фигур, дотронувшись до каждого из них пальцем. У старшеклассников появляется потребность в логическом мышлении и они этого могут, поэтому у большинства учащихся этого возраста теряется интерес к работе руками. Это не означает, что для старшеклассников наглядность утратило свое значение и они больше не нуждаются в наглядности. В действительности наглядность для них превращается в орудие размышления. Усложняются модели, с которыми учащиеся работают. Старшеклассники уже безоговорочно не доверяют фактам, установленным с помощью моделей, и стараются их подтвердить рассуждениями и доказательством, причем пути и способы для доказательства они сначала находят на модели, а потом только подтверждают дедуктивным путем.
Применение моделей, сделанных из бумаги и прозрачных пластмассовых бутылок, на уроках математики в 5 – 6 классах способствует повышению познавательной активности, доступности изложения и усвояемости материала, развитию пространственного воображения учащихся и, вместе с тем, повышается интерес к предмету математики. Многие учащиеся и сами пытаются делать такие модели и у них очень часто возникают интересные вопросы: “Почему моя модель получилась немножко кривой?”, “Почему у моей модели это место короче, или длиннее, или же элементы не соединяются между собой?”. А если модель получилась удачной, то это для ребят в действительности большое открытие. Поэтому, по моему мнению, необходимо вместе с учениками средних классов организовать работу по изготовлению простых моделей в математических кружках, на факультативах, в неделях математики или же в свободное от уроков время. Хотя модели, сделанные учениками, получатся и не очень красивыми, эта работа позволяет не только воспитывать такие качества, как старательность, усердие, точность, внимательность, терпение, но и помогает развивать геометрическое мышление, пространственное представление, воображение учеников и, вместе с тем, готовит их к изучению курса стереометрии.