План урока
Учебник :Алгебра и начала анализа 10 –11 класс. Алимов Ш.А. и др.
Тема: “Логарифмическая функция и ее применение”.
Цели:
а) обобщить и закрепить понятие логарифма числа, повторить основные свойства логарифмической функции;
б) Расширить представления учащихся о логарифмической функции, применении ее свойств в нестандартных ситуациях;
в) воспитывать уверенность, привитие интереса к предмету.
Ход урока
Подготовка учащихся к работе на уроке. Сообщаются цели урока. Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:
Задание №1 (Разминка по теории логарифма числа)
а) Дать определение логарифма числа;
б) работа по карточкам (Один у доски, а три на месте)
На доске: Вычислить: а) log64 + log69 =
б) log1/336 – log1/312 =
Решить уравнение: log5х = 4 log53 – 1/3 log527
На месте: Карточка №1
Вычислить: а) log211 – log244 =
б) log1/64 + log1/69 =
Решить уравнение: log7х = 2 log75 + 1/2 log736 – 1/3 log7125.
в) решение примеров на вычисление табличных логарифмов;
г) заслушать ответ учащегося у доски.
Задание №2 Повторение свойств логарифмической функции:
Вопросы: 1) Функцию какого вида называют логарифмической?
2) В какой точке график функции пересекает ось абсцисс? Почему?
3) При каких условиях функция возрастает? Убывает?
4) Решить примеры:
а) Сравнить числа: log34 и log36;
log1/47 и log1/49;
log23 и log1/21/5.
б) Установить знак выражения log0,83 · log62/3.
3. Приложение логарифмов
Вопрос: Как вы думаете, в каких областях применяются логарифмы?
“Даже изящные искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?”
Из “Оды экспоненте”
Логарифмы в музыке.
Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина “алгеброй гармонию”, встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими “странными” вещами, как логарифмы. Известный физик Эйхенвальд вспоминал:
“Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах”.
И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).
Положим, что ноте “до” самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте “до” первой октавы будут соответствовать 2п колебания в сек., а ноте “до” третьей октавы - 2m · п колебания в сек. И т.д.. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой
Nmn = n · 2 (12v2)p
Логарифмируя эту формулу. Получаем lg Nmp = lg n + m lg2 + p(lg2)/12,
lg Nmp = lg n + (m + p/12) lg2/
Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2. имеем log2 Nmp = m + p/12
(Звучит музыка: Иоган Севастьян Бах Прелюдия Фуга “до – минор” (опус 546))
Что за прелесть Логарифмическая “комедия 2 > 3”
Комедия начинается с неравенства ? > 1/8, бесспорно правильно. Затем следует преобразование (1/2)2 > (1/2)3, тоже не внушающее сомнение. Большему числу соответствует больший логарифм, значит,
lg(1/2)2 > lg(1/2)3; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) имеем 2 > 3.
- Ваше впечатление?
- Где ошибка?
(Решение: ошибка была допущена при сокращении на lg(1/2); т.к. lg(1/2) < 0, то при сокращении на lg(1/2)необходимо было изменить знак неравенства, т.е. 2 < 3).
А вот еще один пример:
Любопытная задача, взятая из книги “Господа Головлевы” Салтыкова-Щедрина:
“Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: Сколько было бы у него денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей?
Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущение, что он произвел вычисления правильно (допущения маловероятное, т.к. едва ли Головлев знал логарифмы и умел вычислять сложные проценты), требуется установить, сколько % платил в то время ломбард.
Вопрос на засыпку: “Можно ли число представить тремя двойками?”
Вот вам остроумная алгебраическая головоломка, которой развлекались участники одного съезда физиков в г. Одесса.
Задача: любое число, целое и положительное изобразить с помощью трех двоек и математических символов, например “3”.
Решение: 3 = - log 2 log 2vvv2, т.к. vvv2 = 21/8 , log 2(21/8) = 1/8 log 22 = 1/8 = log 21/8 = 3
Аналогично 5 = - log 2 log 2vvvvv2.
Общее решение N = - log 2 vv… 2.
N раз
Еще один пример:
“Завещание на сотни лет”
Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенжамина Франклина. Вот извлечение из него.
“Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастет до 4060000 фунтов стерлингов. Из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а 3000000 – правлению Массачуйстской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов”.
Оставляя всего 1000 фунтов, Фраклин распределяет миллионы. Математический расчет подтверждает, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь в 1,05 раза (т.к. капитал, приносящий 5 %, увеличивается ежегодно в 105 раз), через 100 лет должны превратиться в х = 1000 · 1,05100 фунтов. Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов lg 1000 + 100lg1, 05 = 5,11893 откуда х = 131000 в согласии с текстом завещания.
Далее 31000 фунтов в течение следующего столетия превращается в сумму у = 31000 · 1,05100, откуда вычисляя с помощью логарифмов, находим у = 4076000.
4. Логарифмы в 10 классе.
Самостоятельная работа (тест на 4 варианта)
Вариант № 1
Вычислить: log 216 - log 264
а) 1 б) 2 в) 3 г) 4
Определить х, если log 4 х = -3
а) 1 б) 3/4 в) –4/3 г) 1/64
Вычислить: 2 log 525 + 3 log 264
а) 72 б) 22 + 36 в) 22 г) 19
4) Найти область определения функции у = log 2 (3х – 2)
а) (-
; ) б) (0; ) в) (-; 2/3) г) (2/3; )
5) Сравнить числа и выбрать из них наибольшее:
А) 1 б) log 1/38 в) log 35 г) log 1/39.
5. Подведение итогов: В каких областях встречаются логарифмы?
На доске появляются картинки, где изображены области применения логарифмов, т.е.
6. Домашняя работа:
а) найти области применения логарифмов.
б) творческое задание: Чайнворд.
Вопросы:
1) График показательной функции.
2) Точное предписание, которое задает процесс.
3) Дробная часть десятичного логарифма.
4) Независимая переменная величина.
5) Цифра.
6) Промежуток, расстояние между точками числовой
прямой.
7) Показатель степени.
8) Число, составленное из единицы и нулей.
9) Соотношение между величинами, показывающее,
что одна величина больше или меньше другой.
10) Число, возводимое в степень.
11) Самая низкая школьная оценка в)№103 (2,4); №101 (2;4)
