Решение линейных уравнений с параметром аналитическим и графическим способами (7-й класс)

Цель урока: научиться решать уравнения с параметром линейного вида.

1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

Выполненные на отдельных листах упражнения из домашнего задания, вывешиваются перед уроком на специальной доске для самопроверки.

2. НАЧНЕМ УРОК С УСТНЫХ УПРАЖНЕНИЙ.

1. Решите логическую задачу.

На конференции 85% делегатов знают английский язык и 75 % испанский. Какая часть делегатов знают оба языка?

(85% + 75%=160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет чего образовался излишек? За счет тех людей, которые оба языка знают, - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60 % делегатов конференции.)

2. Найдите корни уравнения

а) 1 + х = 2 – х, (0,5)

б) 9х - 4 = 9х + 5, ( ø )

в) 3х + 1 = 3х + 1. (х принадлежит R)

3. При каких значениях b число 3 является корнем уравнения?

а) bx = - 6, (b =- 2)

б) 8x = 3b. (b = 8)

4. Что значит решить уравнение с параметром? (Под решением уравнения f(x;a)=0

с параметром а будем понимать систему значений х и а из области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство)

5. Решите уравнение с параметром:

а) , (если m = 0 то x принадлежит R; если m <> 0, то решений нет)

б) , (х = а/4)

в) (если а = 0, то решений нет; если а не равен 0, то х = а/4).

6. Назовите одно из решений уравнения .
7. На крыльце дома сидят мальчик и девочка. Саша говорит:”Я – девочка”. Женя говорит: “Я – мальчик”. Если по крайней один из детей врет, то кто из них мальчик, а кто девочка? (Если один из детей врет, то врет и второй. Следовательно, Саша – мальчик, а Женя – девочка.)

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Сегодня мы посвятим урок решению задач с параметром аналитическим и графическим способами.

№1. Решите уравнение:

Решение:

1. Если а = 0, решений нет.

Если а не равно 0, преобразуем уравнение: а+х = а² + ах,

х - ах = а ² - а,

(1 - а) х = а (а - 1),

(а - 1) х = - а (а - 1).

2) Если а - 1 = 0,

а = 1, тогда

х принадлежит R.

3) Если а не равно 1, а <> 0, х = - а.

Для удобства записи ответа сделаем рисунок решений

Ответ: если а = 0, то решений нет, если а = 1, то х– любое число, если а? 0, а? 1, то х=- а.

Дадим геометрическую интерпретацию уравнения

Работа с графиком:

Назовите пары решения уравнения

Например: а = 1, х = 2,

а = 1, х = 3,

а = - 2, х = 2,

а = 5, х = - 5.

№ 2 Отцу 40 лет. Через сколько лет отец будет в два раза старше сына?

Решение:

Пусть сыну а лет. Пусть через х лет отец будет в два раза старше сына.

х + 40 (лет) будет отцу, а + х (лет) будет сыну. Т.к. по условию задачи отец будет в два раза старше сына, то 40 + х = 2 (а + х),

40 - х = 2 а,

х = 40 - 2 а.

По смыслу задачи а >= 0, но 40 - 2 а >= 0, а значит а < 20. Следовательно, условию задачи удовлетворяют значения 0 <= а <= 20.

Ответ: 40 - 2 а, где 0 <= а <= 20.

 

Вопрос: Если сыну 16 лет, через сколько лет отец будет в два раза старше сына?

 

(а = 16, х = 8)

№ 3 Решите уравнение двумя способами: | x + 2| =a.

 

1 способ. Аналитический

00У: а принадлежит R, x принадлежит R.

 

1. Если а = 0; | х + 2| = 0,

 

х = - 2.

2. Если a < 0, | x + 2| = a,

ø .

 

3. Если a > 0, x + 2 = a или х + 2 = - а,

х = а - 2, х = - а - 2.

Ответ: если a < 0, то решений нет;

если а = 0, то х = - 2;

если a > 0, то х₁ = а - 2.

х ₂ = - а - 2.

2 способ. Графический

Построим в одной системе координат графики функций у = | х + 2| и у = а.

у = | х + 2| ,

Если a > 0, то у = - х - 2, или у = х + 2,

у = а, у = а,

- х - 2 = а, х + 2 = а,

х = - а - 2; х = а - 2.

 

Ответ: еслиa < 0, то решений нет;

если а = 0, то х = - 2;

 

если a > 0, то х₁ = а - 2.

 

х ₂ = - а - 2.

№ 4 Самостоятельно с последующей проверкой на доске.

При каком значении а уравнение имеет один корень?

а) | х| + | х - а | = - 3,

 

б) | х| + | х - а| = 0,

 

в) 2| х| + | х - 1| = а.

 

Решение:

а) | х| + | х - а | = - 3,

Ответ: при любом а корней нет, т.к. сумма двух неотрицательных чисел есть число неотрицательное.

б) | х| + | х - а | = 0,

Ответ: при а = 0, единственный корень х = 0.

в) 2 | х| + | х - 1 | = а.

Это уравнение решить аналитически трудно. Попробуем решить его графически.

Построим в одной системе координат графики функций: у = 2 | х| + | х - 1 | и у = а.

у = 2 | х| + | х - 1 |

Если х < 0, y = - 2x - x + 1,

y = - 3x + 1.

Если 0<= x<1, y = - x + 1,

y = x + 1.

Если x >= 1,y = 2x+x- 1,

y = 3x - 1.

Ответ: при а = 1 уравнение имеет единственный корень х = 0.

2) последняя цифра А равна 1, 3) А - 8 – точный квадрат.