Урок "Площадь треугольника" - заключительный урок в курсе планиметрии

Тип урока. Урок обобщения и систематизации.

Цели урока:

• Образовательная. Обобщить и углубить знания по теме и применять их при решении задач в стандартных и нестандартных ситуациях.
• Дидактическая: формулирование умений применять формулы площади треугольника на уровне обязательной подготовки.
• Развивающая:
  • дальнейшее формирование познавательного интереса,
  • познавательной самостоятельности на основе: соединения теоретического материала с его практическим применением; создания проблемной ситуации при закреплении и отработке ранее изученного материала;
  • развитие творческих способностей учащихся, развитие умственной и особенно мыслительной активности, развитие самостоятельности и умения учиться, развитие навыков самоконтроля.
• Воспитательная: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при доказательстве теорем и решении задач.

Оборудование: раздаточный материал, плакаты с готовыми чертежами, кодоскоп, телевизор.

Основные этапы урока

1. Организационный момент (2 мин.).
2. Анализ домашней контрольной работы (3 мин.).
3. Повторение формул (работа с тестами, проверка - 5 мин.).
4. Историческая справка (5 мин.).
5. Проверка умений учащихся самостоятельно применять знания в стандартных ситуациях (проверочная работа - 15 мин.).
6. Проверка умений учащихся применять знания в нестандартных задачах (10 мин.).
7. Домашнее задание (2 мин.).
8. Подведение итогов (5 мин.).

Исходный уровень знаний, умений и навыков учащихся:

Учащиеся знают формулы для вычисления площади треугольника S=ah, S=, где a – сторона правильного треугольника, S=ab, где a и b – катеты, S=pr, где p – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности, S=absinС, S=, S= , где R - радиус описанной окружности, S=c2, S=a2, умеют применять их при решении задач.

Оформление доски. Дома: № 1037, № 1065, № 1202** (стр. 239).

Тема урока (слева).

В-I	1	2	3	4	5
	у	д	а	ч	и

 

B-II	1	2	3	4	5
	у	д	а	ч	и

Задачи из вступительных экзаменов в вузы. На обратной стороне решение II варианта.

Анализ контрольной работы (домашней).

“Радость от решения трудной задачи будет вам наградой за упорство.” Л.С. Атанасян.

Ход урока

I. Кто не слышал о загадочном бермудском треугольнике (находится в Атлантическом океане между бермудскими островами, государством Пуэрто–Рико и полуостровом Флорида), в котором бесследно исчезают корабли и самолёты?

А ведь знакомый всем с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Не случайно 38 пунктов из 112 геометрии 7-9 (3-я часть) сводится к изучение треугольника.

Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник.
А уж вам-то, как не знать!
Но совсем другое дело -
Очень быстро и умело
Его площадь подсчитать.

Для вычисления площади треугольника в рукописи “Книга сошного письма”, написанной в 1629 г., рекомендуется произведение большей и меньшей сторон разделить на два. Это правило даёт лишь приближенное значение истинного размера площади.

Мы с вами научились точно вычислять площадь треугольника, используя различные формулы, которые сегодня будем использовать при решении стандартных и нестандартных задач.

Итак, тема урока “Площадь треугольника” (заключительный урок в курсе планиметрии). Урок обобщения и систематизации.

II. Сейчас всем предстоит выполнить тест, который позволит вспомнить формулы для вычисления площади треугольника и является подготовкой для проверочной работы.

Должны получить слово удачи!!!

Тест

Фамилия	1	2	3	4	5
Вариант 1	У	Д	А	Ч	И

Стороны треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.

а) 120 см²; б) 60 см²; у) 30 см²; г) 65 см².

Площадь треугольника со сторонами a, b, c, периметром Р через радиус r вписанной в этот треугольник окружности вычисляется по формуле:

а) S = pr; б) S =; д) S = p*r; с) S =

Сторона правильного треугольника равна 3 см. Найдите площадь этого треугольника.

а) см² ; б) см² ; в) см² ; г) см².

Треугольники, имеющие равные основания и равные высоты:

х) равны; у) подобны; ч) равновелики.

5. Найдите площадь треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

а) 32 см²; и) 24 см²; б) 28 см².

Мы с вами доказали все теоремы, связанные с вычислением площади треугольника ( в том числе и формулу Герона). По крайней мере существует пять способов доказательств этой теоремы. Мы же использовали формулу для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними S =absina, основное тригонометрическое тождество, теорему косинусов, формулы сокращённого умножения и свойства арифметического корня. За эту теорему все получили оценки.

Теорема

Если a, b, c – стороны треугольника ABC, p – его полупериметр, то для площади треугольиика справедлива формула

S = .

Дано: a, b , c, - стороны ?ABC, p – полупериметр.

Т р е б у е т с я доказать, что S=.

Доказательство. В силу теоремы S=absinC=ab (1)

( Так как 0<C< , то перед радикалом берется знак плюс.)

Внесём произведение ab под знак радикала, а cosC найдём по теореме косинусов:

cosC=

Тогда из формулы (1) получим

S== (2)

Преобразуем подкоренное выражение в полученном равенстве:

a2b2-==

==

=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

По определению p=

a+b+c = 2p

a+b-c = (a+b+c)-2c=2p-2c=2(p-c),

a+c-b = (a+b+c)-2b=2p-2b=2(p-b),

-a+b+c = (a+b+c)-2a=2p-2a=2(p-a)

Следовательно,

a2b2-(= 4p(p-a)(p-b)(p-c).

Возвращаясь к равенству (2), получим нужный результат:

S = .

Историческая справка. (// Глейзер Г.И. История математики в школе.)

Найти площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15.

P==21

S=

S====3*7*2*2=84

Разобрать задачу 2 домашней контрольной работы.

Мы с вами знаем и умеем применять 9 формул для вычисления площади треугольника. (Выяснить по таблице, каких не хватает.)

!! Доказать, что площадь треугольника можно вычислить через все углы и радиус описанной около треугольника окружности.

S = 2R2sinAsinBsinC

S =absinC, =2R, a = 2RsinA , b = 2RsinB

S =2RsinA2RsinBsinC = 2R²sinAsinBsinC.

Эту формулу можно использовать в практической работе.

Практическая работа с проверкой.

Вариант 1

Вычислить площадь треугольника ABC

№ 1

S=AB*AC*sinA

S=*8*15*sin30^о = 4*15*=30

S = 30

№ 2

S=, a = 7, b = 20, c = 15

p=, p===21

S= =

 = = 3 * 7 * 2 = 42

№ 3

AC² = 19, AB² + BC² = 5 + 14 =19.

Так как AC² = AB² + BC², то по теореме, обратной теореме Пифагора B=90^о, поэтому ABBC.

S =AB * BC, S=*= . S =

№ 4

1) BCA=90^о, CDAB, CD=

CD ===6; AB=2+18=20

2) S_ABC=AB*CD, S= *20*6=60

S = 60

№ 5

1) Пусть AB=BC=CA=a, тогда S= ;

2) S= p*r, p = 3a, S =*3a*2 = 3a.

3) =3a |:a 0; = 3; a = ==4;

4) S = 3a, S = 3*4=12. S = 12.

AB = BC = AC

За 5 верно выполненных заданий – “5”

За 4 – “4”

За 3 – “3”

При решении ряда задач значительное место в программе для поступающих в вузы отводится примерам, связанным с определением площадей треугольников.

Решите задачи из вступительных экзаменов в вузы.

№ 1059.

Дано: ABCD – произвольный четырёхугольник, AC и BD-диагонали, а – угол между АС и BD.

Доказать, что S=AC*DB*sinа

Доказательство:

Четырёхугольник ABCD состоит из четырёх треугольников: AOB, BOC, COD и AOD, поэтому

S = S_AOB + S_BOC + S_COD + S_AOD, а,

180^о - а.

S_AOB = AO*BOsinа

S_COD =DO*CO*sinа

S_BOC =BO*COsin(180^о - а) = BO*CO*sinа

S_DOA =DO*AO*sin (180^о - а) = DO*AO*sinа

S =AO*BO*sinа +BO*COsinа+DO*CO*sinа+DO*AO*

sinа =sinа(BO(AO+CO)+DO(CO+AO)) = sinа(AO+CO)*(BO+DO) = sinаAC*BD

S=AC*DB*sinа

Показать второй способ из видеофильма. (Следствие. Площадь квадрата и ромба.)

Теорема: Медианы треугольника делят его на шесть треугольников, площади которых равны.

Дано: треугольнок ABC, где AA1, BB1, CC1 – медианы.

Доказать, что S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆

Доказательство:

1. S₁ = S₂, т.к. в OBA₁ и COA₁ BA₁ = A₁C и высота общая.

Аналогично S₃ = S₄, S₅ = S₆

2. S_ABB = S_BBC, т.к. AB₁ = B₁C и высота у треугольников ABB₁ и BB₁C – общая.

S₄ + S₅ + S₆ = S₁ + S₂ + S₃. Так как S₄ = S₃ , то S₅ + S₆ = S₁ + S₂

Т.к. S₅ = S₆ и S₁ = S₂ , то 2S₅ = 2S₁ , S₅ = S₁ или 2S₆ = 2S₁, S₆ = S₁

3. S_BBC =S_ACC , т.к. BC₁ = C₁A и высота общая.

S₆ + S₁ + S₂ = S₃ + S₄ + S₅, S₁ + S₂ = S₃ + S₄

Т.к. S₁ = S₂ и S₃ = S₄ , то 2S₁ = 2S₃ , S₁ = S₃ и 2S₁ = 2S₄ , S₁ = S₄.

Следовательно, S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

Показать второй способ через кодоскоп.

II способ.

Теорема о медианах треугольника (из вступительных экзаменов в вузы).

Теорема: Медианы треугольника делят его на шесть треугольников, площади которых равны.

Дано: треугольник ABC, AA₁, BB₁, CC₁ – медианы.

Доказать: S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

Доказательство.

1. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника, то OC=2OC₁, OA=2OA, OB=2OB₁.

===

BOA₁= AOB₁(как вертикальные), значит, S₁ = S₄

Аналогично S₂ = S₅ и S₃ = S₆

2. S₁=S₂ , т.к. BA₁=A₁C и высота BOA₁ и COA₁ общая.

Аналогично S₃ = S₄ и S₅ = S₆

Следовательно, S₁ = S₂ = S₃ = S₄= S₅ = S₆.

Домашнее задание. № 1037, 1065, 1202** (дополнительно) – учебник Атанасяна.