Повторительно-обобщающий урок по теме "Последовательности". 9-й класс

Повторительно – обобщающий урок по теме ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 9 класс

Цель урока: Проверка теоретических и практических знаний по теме. Умение применять знания в решении практических задач. Ознакомление с историческим материалом. Подготовка к зачету то теме последовательности.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Проверка домашнего задания, по написанному на доске (самопроверка).
2. Объяснение нового материала

Учитель: Математика постоянно имеет дело с бесконечностью. Особенно это характерно для высшей математики. Например математический анализ изучает бесконечные множества чисел, бесконечные суммы и произведения, отношения бесконечно малых и бесконечно больших величин. Но уже такое простое понятие, как натуральный ряд чисел 1,2,3,4… обозначает бесконечный объект. С помощью натурального ряда описывают и другие бесконечные объекты, в частности числовые последовательности.

1. Последовательность Фибоначчи

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34;…

Выступление ученика с сообщением о последовательности чисел Фибоначчи: ”Многим поколениям европейцев Леонардо Пизанский ( Фибоначчи) был известен прежде всего как автор книги абака (1202г) по которой знакомились с десятичной системой счисления. Теперь его имя чаще всего вспоминают в связи с последовательностью чисел ( 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21…), которую он рассмотрел при решении задачи о размножении кроликов. Здесь первые два числа – единицы, а каждое последующее равно сумме двух предыдущих. Эта последовательность задается следующим рекуррентным соотношением: а1 =1, а2=1,

ап+2= ап+1+ап Числа Фибоначчи встречаются во многих разделах математики: комбинаторике, геометрии, теории чисел, в задачах на максимум и минимум

Предлагается геометрический парадокс, связанный с числами Фибоначчи. Надо взять квадрат 8х8=64, разрезать его определенным образом и сложить в прямоугольник, 5х13=65, появилась лишняя клетка. Если взять квадрат со стороной 13 и разрезать его подобным образом то получим прямоугольник со сторонами 8х21=168 т.е. одна клетка исчезнет. Рис.1.

Можно привести другой пример (на усмотрение учителя)

2.2. Арифметическая прогрессия.

Вопросы:
1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
2. Что называется разностью арифметической прогрессии.
3. Формула п-го члена.
4. Формула суммы n-первых членов.

Старинная задача:

100 мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого , на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того двое первых должны получить в семь раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

а =х, а =x+d. A =x+2d u m.д.

7(x+x+d)=x+2d+x+3d+x+4d

x+x+d+x+2d+x+3d+x+4d=100 , m.e.

5x+10d=100

x=1 2/3

14x+7d=3x+9d,

d= 9 1/6

Ответ 1 2/3; 10 5/6; 20; 29 1/6; 38 1/3.

2.3 Геометрическая прогрессия.

Вопросы:
1. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?
2. Назовите формулу n-го члена.
3. Назовите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Предлагается задача:

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать, и возразил продавцу – “ Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.” Тогда продавец предложил другие условия: - “Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же тогда получишь бесплатно, в придачу. Гвоздей в каждой подкове – шесть. За первый гвоздь дай мне всего четверть копейки, за второй полкопейки, за третий одну копейку и т.д.” Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая получить даром лошадь принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более десяти рублей. На сколько покупатель проторговался?

Решение: За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить: надо найти сумму геометрической прогрессии, где в₁ =1/4, а q=2

ј + ¹/₂ +1+2+2²+2³+…+2²¹ копеек, т.е. 41943 рубля 3 3/4 копеек

Около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

3. Итог урока.

Мы сегодня обобщили знания по теме “Последовательности”, повторили арифметическую и геометрическую прогрессии, формулы для вычисления членов и суммы прогрессий. Решили древние задачи. Увидели на конкретных примерах, где можно применить полученные знания.

Можно провести небольшую самостоятельную работу по экзаменационным сборникам, задать домашнее задание из сборника для экзаменационных работ.

Урок окончен.

Оформление доски: