Предисловие.
В наше Ардатовское профессиональное училище №104, Нижегородской области поступают учащиеся с основным образованием, которые уже выбрали рабочую профессию и желают получать знания, необходимые для своей специальности и повседневной жизни. Стремление к знаниям актуальным и прикладным у всех людей выше, чем к абстрактным и не практичным. На теоретические знания и задачи математики, связанные с жизненной потребностью любого человека, уделяется на моих уроках достаточно много внимания и разрабатывается собственный материал аналогичного характера учащимися под руководством учителя. Уроки с задачами, составленными в нашем училище, всегда проходят интересно, активно и с высокими результатами. В настоящий период в учебных планах и программах очень много изучаемого материала, который ранее никогда не применялся и не применяется учащимися в практических целях. Исходя из собственного опыта, пожеланий учащихся и здравого смысла, рекомендуем наполнять учебные планы и программы материалами, имеющими большое значение для жизни каждого человека. Так, существуют участки треугольной формы в лесах, горах, на сельскохозяйственных угодьях и т. д., на которых определить длины двух сторон или высоту для определения их площади по формулам школьных учебников очень сложно, так как на них может быть лес, болота, сельскохозяйственные культуры, речки, озера. Формулы, с помощью которых можно легко замерить площади данных треугольных участков, в учебниках не даются и в учебных заведениях не изучаются.
Ход проведения занятий.
Цель урока: Развить творческую деятельность учащихся.
Тип урока: Изучение и решение учащимися проблемных ситуаций окружающего их мира.
Задачи урока:
- Продолжить формирование творческой активности и навыков в работе на вычислительной технике.
- Научить преодолевать трудности при решении задач собственными творческими силами.
- Развить навыки бережного отношения к окружающей природе и оборудованию.
Оборудование урока: Компьютерный класс, программы QBasic, Microsoft Office, учебники, книги (В.П. Зудин. Площадь треугольника. Новые задачи.), индивидуальные задания.
Продолжительность занятий: 2 часа.
Проверяется наличие учащихся в классе, их состояние, работоспособность, количество и качество необходимых учебных инструментов, дидактических материалов.
Каждый день учащиеся ездят на автобусе из Гремячева в Ардатов в наше училище, пересекая две дороги, идущие на Мухтолово. Эти дороги окаймляют треугольный, лесной участок.
Для примерного определения количества леса в кубометрах необходимо найти площадь этого треугольного, лесного участка.
С целью проверки знаний своей местности сначала дается, что дороги на Мухтолово, которые они пересекают, сходятся в Венце. После неверной информации учащиеся активно вступают в дискуссию и поправляют учителя, сообщая о том, что они в этих местах собирали грибы, ловили рыбу и видели их пересечение в Мухтолове. Первая проблема решается быстро. Для определения площади требуемого участка по формулам, которые они проходили в школе, необходимо знать длину одной из сторон и величину высоты, опущенной на эту сторону, или длины двух сторон и величину угла между ними. Длину дороги, по которой они ездят, замерить несложно, а высоту или длины других сторон данного лесного участка определить в данной ситуации очень сложно, так как они находятся в лесу, и их пересекает речка Теша. Для решения этой проблемы предлагается создать свою формулу. С помощью наводящих вопросов все приходят к выводу, что необходима формула определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Зная длину дороги и два прилежащих к ней угла, которые также легко замерить, можно найти примерно площадь требуемого участка. После этого учащимся дается формула
(1)
определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, разработанная в нашем училище, если один из прилежащих углов к стороне с треугольника будет 90°, то данная формула примет вид
(2)
Где S – площадь треугольника, с– длина стороны треугольника, a и b величины углов, прилежащих к стороне с.
Затем учащиеся с большим интересом изучают доказательство этих формул, так как они увидели их применение в своей повседневной деятельности. Рассматриваются три случая.
I. Углы a и b острые. СО = Н – высота.
- Из геометрии известно, что
2. Из прямоугольного треугольника АОС
- Из прямоугольного треугольника ВОС
4. Из 2 и 3 пунктов следует, что
Откуда
- Подставляем значение х из пункта 4 в пункт 2, получим
(1)
II. Угол a острый и угол b тупой.
Опустим из вершины С высоту СО на продолжение стороны АВ.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВОС,
где
, откуда Н= –х•tg?.
2. Из прямоугольного треугольника АОС, где ? АО ? = ? с ? +? х ? и ¦ОС¦=Н, следует, что
3. Приравниваем правые части уравнений пунктов 1 и 2, так как у них равны левые, откуда находим х.
и
4. Из геометрии известно, что
5. Подставляем значение х из 3 пункта в 1 и определяем значение Н.
6. Подставляем значение Н из 5 пункта в 4 пункт, откуда найдем искомую формулу (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам для II случая.
(1)
III. Пусть угол a острый и угол b – прямой.
ВС=Н – высота.
- Из геометрии известно, что
- Из прямоугольного треугольника АВС следует, что
- Подставляем в выражение пункта 1 значение H из пункта 2, получим искомую формулу (2).
(2)
III. Анализ формулы училища определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
- Учащимся предлагается самостоятельно перейти от формулы (1) к формуле (2) методом тригонометрических преобразований. В формуле (1)
на основании школьного учебника предлагается сделать замену tga и tgb правыми частями
формул
при значениях, имеющих смысл, откуда получится новая формула (3).
(3)
(3)
Где с любая из сторон треугольника, a и b величины углов, прилежащих к стороне с. Далее предлагается рассмотреть формулу (3) при величине угла b = 90°.
Таким образом, от формулы (1) перешли к искомой формуле (2).
Изучив формулы (1), (2) и (3), у учащихся создается проблема в смысле изучения всех аналогичных формул. Здесь им сообщается, что формулы (1) и (2) нашего училища находят применение в большем количестве задач, чем формула (3), а некоторые задачи без них не решаются алгебраическим методом. После этого возникает повышенный интерес к таким задачам. Всему классу сообщается одна из таких задач — задача №1.
Задача № 1
Одна речка впадает в другую под углом 63,4°. Между этими речками необходимо создать треугольный участок площадью 24 (га). Длина дороги, ограничивающая этот участок и соединяющая эти речки должна быть 800 (м.), а угол слияния речек величиной 63,4° находится напротив дороги. Определить величину углов между речками и строившейся дорогой.
Решение задачи.
Для решения данной задачи предлагается применить уравнение, которое составляется с помощью формулы (1).
(1)
Где S площадь участка = 24 (га), a = 63,4°, то есть tg a = 2, с– длина дороги (стороны треугольника) = 800 (м.), a – величина искомых углов.
Правила получения уравнения (1) предлагается изучить в книге нашего училища (Зудин В.П. Площадь треугольника. Новые задачи), рекомендованную научно-методическим советом Нижегородского института развития образования или в статье “Площадь треугольника. Новые задачи” (Еженедельное учебно-методическое приложение к газете “Первое сентября”, “Математика” №2, 1999 год.).
Подставляя в уравнение (1) исходные данные, учащиеся получат
или после вычисления
Делая подстановку tga = t, уравнение примет вид t2 – 4t+3 = 0, откуда по обратной теореме Виета t1 = 3 и t2 = 1.
Отсюда находят tga 1=3 и tga 2 =1, откуда
Ответ: a 1 = 71,6° и a 2=45°.
При известной площади участка S, длине гипотенузы c для определения неизвестных углов, прилежащих к гипотенузе, учащиеся с помощью указанной выше литературы получают уравнение вида (2)
(2) , где S – площадь участка, c – длина гипотенузы,
a – величина неизвестных углов, прилежащих к с.
Если в задаче №1 потребуется определить уравнения прямых, проходящих согласно через стороны треугольника, совпадающие на данном участке с речками, то для рационального решения таких задач уравнение (1) имеет смысл преобразовать в дифференциальное уравнение (3) с чем учащиеся глубже знакомятся в указанной выше литературе.
(3)
Где S – известная площадь треугольника, с – длина данной стороны треугольника, g – величина угла напротив стороны с, g – величина угловых коэффициентов искомых прямых.
Учащиеся видят, что уравнения (1) , (2) и (3), разработанные в нашем училище с помощью формулы (1) , дают самое оптимальное решение аналогичных задач аналитическим методом в математике, экономике, физике и других отраслях народного хозяйства, а многие задачи данного типа без указанных уравнений не имеют решений. Такая информация повышает интерес учащихся к творческой деятельности на уроках, самостоятельной работе и поднимает престиж образования.
IV. Самостоятельная работа на уроке.
Группа учащихся разбивается на две бригады, а каждая бригада состоит из 3 звеньев по 3–4 человека, где бригадиры и звеньевые наиболее активные учащиеся. Каждой бригаде дается своя задача, компьютер звену и дидактический материал учащемуся.
Задача первой бригады
Определить примерную площадь лесного участка между участками дорог Гремячево – Саконы, Саконы – Мухтолово и Гремячево – Мухтолово согласно рисунка 6. Участок дороги Гремячево – Саконы равен 4 (км.), угол между дорогами Гремячево – Саконы и Гремячево – Мухтолово составляет 77°, угол между участками дорог Гремячево – Саконы и Саконы – Мухтолово равен 85°. Для решения задачи примените программу Microsoft Excel и компьютер.
Задача второй бригады
Определить примерную площадь лесного участка между участками грунтовых дорог Гремячево – Саконы, Гремячево – Разъезд-Саконы, Саконы – Разъезд-Саконы согласно рисунка 7. Участок дороги Гремячево – Саконы равен 9 (км.), угол между дорогами Гремячево – Саконы и Гремячево – Разъезд-Саконы составляет 70°, угол между участками дорог Гремячево – Саконы и Саконы – Разъезд-Саконы равен 63°. Для решения задачи примените программу Microsoft Excel и компьютер.
Ход выполнения задания.
Для выполнения данных заданий учащиеся должны применить формулу (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, а также компьютеры. Здесь им сообщается, что формулу (1) они должны перевести в формулу для Microsoft Excel и подставить в нее данные задачи, чтобы получить правильный ответ. Учащиеся любят компьютеры и с достаточным желанием на них работают.
Формула первой задачи для Excel. =(4000^2*TAN(77/57,3)*TAN(85/57,3))/(2*(TAN(77/57,3)+TAN(85/57,3)))
После правильного ввода формулы в Excel учащиеся
первой бригады получат ответ:
S = 25112123,45(м2) = 2511,2 (га).
Формула второй задачи для Excel.
=(9000^2*TAN(70/57,3)*TAN(63/57,3))/(2*(TAN(70/57,3)+TAN(63/57,3)))
После правильного ввода формулы в Excel учащиеся
второй бригады получат ответ:
S = 46354604,37 (м2) = 4635,46 (га).
Учащимся рекомендуется для получения более точных результатов при решении задач самим замерить длины дорог и прилежащие к ним углы согласно рисунков 6 и 7, а затем решить эти задачи по своим измерениям и сверить ответы. Учащиеся живут в этом регионе, и результаты задач для них представляют достаточный интерес.
Задача №2
Сопка, поросшая растительностью, имеет форму близкую к четырехугольной пирамиде. Основанием сопки является прямоугольник со сторонами: a=210 (м), b= 180(м), c=210(м) и d=180(м). Плоские углы боковых граней, прилежащих к стороне а равны 51,3° и 68,2°, к стороне b 61,5° и 61,5°, к стороне с 51,3° и 68,2°, к стороне d 66,3° и 66,3°.
Для примерного определения количества растительности на поверхности сопки определите приближенную боковую ее поверхность. Составьте программу решения этой задачи на языке программирования “QBasic”.
Задача №2 дается для решения всей группе, но каждое звено получает свои измерения сопки, поэтому математические модели и программы для решения данной задачи будут отличаться.
Здесь учащиеся должны самостоятельно принять вывод, что для решения задачи им необходимо использовать формулу определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, а затем перевести математическую модель задачи на язык программирования QBasic.
Решение задачи №2
10 LET S1=((210^2*TAN(51.3/57.3)*TAN(68.2/57.3))/(2*(TAN(51.3/57.3)+TAN(68.2/57.3))))*2
20 LET S2=(180^2*TAN(61.5/57.3)*TAN(61.5/57.3))/(2*(TAN(61.5/57.3)+TAN(61.5/57.3)))
30 LET S3=(180^2*TAN(66.3/57.3)*TAN(66.3/57.3))/(2*(TAN(66.3/57.3)+TAN(66.3/57.3)))
40 PRINT “S=”;S1+S2+S3;”кв. м”
После выполнения программы компьютер даст примерный ответ: S = 70086 кв.м.
V. Подведение итогов урока.
Оценка 5 выставляется за правильное решение задач и правильные ответы.
Оценка 4 выставляется за правильные решения задач, но неточные ответы, полученные из-за ошибок при вводе значений.
Оценка 3 выставляется за решение задач с небольшими ошибками, допущенными при составлении программ, и вводе данных, которых бывает очень мало.
VI. Домашнее задание.
1) Изучить правила образования уравнений (1), (2) и (3).
2) Составить формулы для решения задач бригад с помощью собственных измерений.
Мой адрес: 607130 Нижегородская область, р. п. Ардатов, ул. Садовая 9, Зудин В. П.
E-mail: vpz@mts-nn.ru