Задачи с практическим содержанием на уроках математики в сельской школе

Разделы: Математика

Изучение математики без должной связи с жизнью, без наглядности мешает развитию логического мышления, снижает уровень математической подготовки…

Маркушевич А. И.

Для овладения и управления современной техникой и технологией нужна серьезная подготовка, включающая активные знания по математике.

Наличие знаний не означает, что они являются активным запасом учащихся, что ученики способны применять их в различных конкретных ситуациях. Эта способность формируется в процессе целесообразного педагогического воздействия. Наша задача – обеспечить приобретение школьниками таких знаний, на которые они смогут широко опираться в трудовой и общественной деятельности. Подобный уровень математической подготовки достигается в процессе обучения, ориентированного на широкое раскрытие связей математики с окружающим миром, с современным производством.

Возможность таких связей обусловлена тем, что:

  • многочисленные математические закономерности, изучаемые в школе, широко используются в производственных процессах;
  • математические умения и навыки находят применение в производительном труде;
  • процесс трудового обучения и воспитания немыслим без опоры на математические знания.

Связь преподавания математики с практической деятельностью помогает понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе. Немаловажное значение имеет связь преподавания математики с трудом в сельской школе, так как трудовая деятельность значительной части учащихся будет связана с сельскохозяйственным производством. Трудовой и жизненный опыт школьников помогает усвоению математических знаний, а приобретенные знания находят применение в ходе трудового обучения. Эту двустороннюю связь представляется возможным наиболее широко осуществлять при изучении функций, уравнений, неравенств и их систем, измерении геометрических величин.

Разновидности задач прикладного характера

Часть задач, содержащихся в школьных учебниках, может быть отнесена к задачам с практическим содержанием. Однако ни один учебник не может раскрыть все многообразие связей школьного курса с производительным трудом, поэтому приходится дополнять предлагаемые в учебнике системы упражнений составленными задачами. Большое значение имеет привлечение школьников к отыскиванию примеров применения знаний, полученных на уроках, в жизненных явлениях. Интерес учащихся вызывает самостоятельное составление задач на основе опубликованных в печати исходных данных. Д. Пойа говорил: “Математический опыт учащегося нельзя считать полным, если он не имел случая решать задачу, изобретенную им самим”.

Содержание используемых в школьном обучении задач прикладного характера можно обогатить, включив в их число следующие разновидности задач:

1) на вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности;
2) на составление расчетных таблиц;
3) на построение простейших номограмм;
4) на применение и обоснование эмпирических формул;
5) на вывод зависимостей, встречающихся в практике.

Задачи первого вида – это задачи, решение которых сводится к вычислению числового значения алгебраического выражения.

№1. Для вычисления объема скирды ”рис.1” можно воспользоваться формулой V » abh/2, где V – объем скирды (м3), a, b, h – измерения скирды (м2).Вычислите объем скирды при a=6,7; b=12,5; h =2,4.

Рисунок 1

Задачи второго вида. При решении задач второго вида ученикам следует сообщить математическое правило, на основании которого таблица должна быть составлена. Это правило представляет собой формулу или график, с помощью которого задана конкретная функция. Ученики 9 класса, изучающие информатику, выполняют задания такого вида с помощью электронных таблиц Excel.

№2. Составьте таблицу для вычисления объема стога по эмпирической формуле

V = с2(0,040k – 0,012c), где k – длина перекидки стога, м; c – длина замкнутой кривой, ограничивающей основание стога, м.

Задачи третьего вида. Учитывая роль номограмм в производственной деятельности, целесообразно рассмотреть отдельные задачи на построение простейших номограмм и показать их применение для выполнения практических расчетов. Для решения таких задач:

  • выявляется математическое правило, на основании которого строится номограмма;
  • устанавливается область определения функции;
  • отбираются значения параметра, для которых строятся графики функций;
  • строится график функции для каждого параметра.

№3. Старинная русская мера массы – пуд – приближенно равна 0,16 ц. Обозначив массу тела в пудах через x, а соответствующее число центнеров через y, задайте формулой зависимость между x и y. Постройте номограмму для перевода пудов в центнеры.

Задачи четвертого вида. Обоснование эмпирических формул с использованием теоретических знаний, поиск их истоков представляет интерес. Алгоритмов решения таких задач нет, поэтому требуется находчивость, допускаются упрощения, приближенные методы решения.

Решение задач пятого вида – работа творческая. Успешное решение возможно лишь при наличии четкого представления о процессе, явлении, которое предстоит описать на языке математики.

К задачам с практическим содержанием предъявляются следующие требования:

а) познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние на ученика;
б) доступность используемого в задаче нематематического материала;
в) реальность описываемой в задаче ситуации.

Задачи с практическим содержанием можно применять на различных этапах урока. Использование задач как средства мотивации знаний создает условия для реализации в процессе введения нового учебного материала связи обучения математике с жизнью, развития межпредметных связей. Предварение изучения математической теории постановкой практической задачи представляет возможности для использования на уроках математики элементов проблемного обучения. Использование задач проблемного характера обеспечивает более сознательное овладение математической теорией, учит школьников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям.

№3. Перед введением понятия линейного уравнения с двумя переменными можно сформулировать задачу: “Надо проложить водопровод к животноводческой ферме длиной 191м. Для этой цели имеются трубы в 5м и 7 м. Сколько труб той и другой длины понадобится для прокладки водопровода?”

Примеры из окружающей действительности позволяют раскрывать перед учащимися практическую значимость математики. Эти примеры должны быть простыми, убедительными, доступными пониманию школьников. Многочисленные закономерности окружающего нас мира, производства являются конкретными моделями общих математических зависимостей.

При закреплении темы “Функция“ учащимся была предложена система упражнений с практическим содержанием.

Решение практических задач по теме “Функция” в 7 классе

Цели урока:

  • закрепление понятий функция, линейная функция, прямая/обратная пропорциональность;
  • применение примеров из окружающей действительности как моделей математических зависимостей;
  • выработка навыков решения практических задач;
  • изучение связи математики с сельскохозяйственным трудом.

Ход урока.

1. Теоретическая проверка

а) понятие функции;
б) способы задания функции;
в) прямая и обратная пропорциональность;
г) линейная функция.

2. Прямая и обратная пропорциональность.

Устные упражнения

а) являются ли прямо пропорциональными:

масса сахарного песка и его стоимость;
масса аквариума с водой и объем воды в нем;
рост человека и его возраст;
время движения с постоянной скоростью и пройденный путь;
масса медного провода и его длина?

б) являются ли обратно пропорциональными:

число прочитанных и непрочитанных страниц в книге;
давление газа и объем при одной и той же температуре;
давление, производимое столбом жидкости определенной высоты, и площадь основания сосуда, в котором находится эта жидкость?

Решение задач.

а) Составьте формулу для вычисления расхода горючего трактором при бороновании поля, если на боронование 1га расходуется 1,3 кг горючего. Заполните таблицу.

Решение. В задаче используется функция y = kx (прямая пропорциональность). Если m – расход горючего трактором, S – величина обрабатываемой площади, то m = 1,3S.

Таблица 1.

Площадь, га

3

25

43

      

Расход горючего, кг

      

1

15

20,2

б) Выясните вид зависимости расстояния между пунктами заправки сеялки семенами и нормой высева. Расчетная формула L = (104V)/(nb) м, где V – емкость ящика сеялки, кг; n – норма высева семян, кг на 1 га; b – ширина захвата сеялки, м.

(Так как V и b – постоянные величины, зависимость между L и n – обратно пропорциональная.)

в) Для нахождения p% от числа x пользуются формулой y = px/100. Используя номограмму (“считающий” чертеж) “рис. 2”, найдите: 15% от 28; 36; 85; число, 35% которого равны16; 35; 84; число, 72% которого равны 41; 72; 23.

3.  Линейная функция.

а) Понятие линейной функции можно проиллюстрировать многочисленными примерами из физики, химии, повседневной жизни. Конкретной моделью функции y = kx + b является зависимость калорийности молока от жирности, выраженная формулой k = a *113,6 + 330, где k– калорийность молока в калориях, a – процент жира в молоке.

Выполните следующие задания:

укажите реальную область определения функции;
постройте график данной зависимости;
найдите по графику значения k при значениях a, равных 3; 3,5; 4; 4,5; 5.

б) Составьте формулу для вычисления площади участка “рис. 3“. Определите вид функции, выраженной составленной формулой.

Решение. Площадь участка S = 58a – 135*19. Функция линейная, так как формула имеет вид y = kx + b.

4. Домашнее задание.

а) составьте вопросы к графикам функций “рис. 2“, “рис. 4“;
Рисунок 2
Рисунок 3
б) подготовьте примеры линейных функций.

5. Подведение итогов урока.

Виды практических работ

Важное место в системе подготовки учащихся к практической деятельности занимают лабораторные и практические работы. В процессе обучения традиционно применяются познавательные, тренировочные практические и лабораторные работы, измерительные работы на местности, выполнение которых способствует формированию тех умений и навыков, стиля мышления, которые необходимы в повседневной жизни.

Познавательные работы имеют целью поставить учеников в условия “открытия” ими новых математических фактов.

Измерительные работы на местности связаны с измерение реальных расстояний, в том числе между недоступными предметами, высот, площадей земельных участков, съемкой плана местности, способствуют подготовке к математическому моделированию практических задач.

Целью тренировочных работ является выработка у учеников умения применять теоретические знания по математике к решению конкретных задач. При выполнении работ используются инструменты для нахождения линейных размеров, широко применяемые в практике (штангенциркуль, рулетка, микрометр).

Нахождение абсолютной и относительной погрешностей при определении плотности твердого тела (алгебра – 7)

Цели урока:

  • закрепление навыков нахождения абсолютной и относительной погрешностей приближенных вычислений в ходе практической работы по определению плотности вещества;
  • выработка умения применять теоретические знания по нахождению абсолютной и относительной погрешностей к решению задачи определения плотности твердого тела;
  • закрепление вычислительных навыков при работе на компьютере;
  • применение правил округления десятичных дробей.

Оборудование:

  • дисплейный класс;
  • приборы, точность измерения которых необходимо определить;
  • оборудование для практической работы: динамометр, штангенциркуль, брусок;
  • таблица “Плотности некоторых веществ”;
  • карточки “График линейной функции m =V”.

Ход урока

  1. Устные упражнения

а) округлите
36,7; 189,51; 51,3; 3,019 до единиц;
0,1559; 7,098; 1,0036 до сотых;
2,653 до десятых.

Найдите абсолютную погрешность приближения. Что называется относительной/ абсолютной погрешностью приближенного значения?

б) какие из перечисленных величин являются точными, а какие – приближенными:

толщина книги 25 мм;
температура воздуха 19° C;
в самолете 122 пассажира;
скорость звука в воздухе 322 м/с;
масса дыни 3.2 кг;
стоимость ручки 3 рубля;
угол в тетради 50° .

  1. Определите точность, с которой может быть выполнено измерение, если использовать данный прибор:

линейка с миллиметровой шкалой;
термометр;
секундомер;
транспортир;
мензурка;
динамометр;
весы бытовые.

(Учащиеся дают название каждому из приборов, определяют их цену деления, отвечают на вопрос, с какой точностью может быть выполнено измерение данным прибором.)

  1. Решите задачу:

Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6г/см3. Вычислите абсолютную и относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см3).

  1. Практическая работа “Определение плотности твердого тела. Нахождение абсолютной и относительной погрешностей приближенных значений”.

Учащимся сообщается порядок выполнения работы. На столах у них – оборудование для практической работы. (Работу выполняют в парах)

Порядок выполнения работы.

  1. Найти массу бруска (использовать шкалу динамометра, проградуированную в граммах).
  2. Найти объем бруска, для чего измерить длину, ширину, высоту. Расчетная формула:

    3. V = abc.

  3. Вычислить плотность бруска. Расчетная формула: r = m/V.
  4. Учитывая, что брусок алюминиевый, сравнить полученное значение плотности с табличным.
  5. Вычислить абсолютную и относительную погрешности экспериментального результата.
  6. В ходе вычислений использовать компьютер.
  7. Результаты измерений и вычислений записать в таблицу.

    8. Название вещества: алюминий. Таблица 2.

     

    Результаты измерений

    Вычисления на компьютере
    Длина бруска, a, см    
    Ширина бруска, b, см    
    Высота бруска, c, см    
    Масса тела, m, г    
    Объем, V, см3   ? a*b*c
    Плотность вещества, r , г/см3    
    Табличное значение плотности, r , г/см3

    2.7

    		  
    Абсолютная погрешность r т – r    
    Относительная погрешность | r т – r | / |r |   ? ABS( …)

    5. Подведение итогов экспериментальных результатов и вычислений на компьютере.

    6. Домашнее задание.

    Используя график функции m = r V “рис. 4”, по значениям массы и объема найдите плотность. Вычислите абсолютную и относительную погрешности. Результаты запишите в таблицу.
    Рисунок 4

    Таблица 3.

    1. Масса, m, г    
    2. Объем, V, см3    
    3. Плотность, r , г/см3    
    4. Абсолютная погрешность    
    5. Относительная погрешность    
  8. Подведение итогов урока.

Применение приобретенных знаний по математике в существенно новых условиях способствует качественному изменению знаний, повышению уровня математической культуры учеников. А. Н. Колмогоров сказал: “Задача состоит в том, чтобы уже в школе убедительно показать, что современная математика строит математические модели реальных ситуаций, изучаемых в применениях…” Поэтому, выполняя практические задания на уроках, ребята все реже и реже задают вопрос: “Зачем мы изучаем данную тему?”