Опыт работы в старших классах школы, в которой учащиеся 10-х классов набираются из выпускников 9-х классов двух школ, показывает необходимость в начале изучения курса геометрии 10-11 повторения материала геометрии 7-9 классов.
Представляемый материал и есть ответ на эту необходимость.
Сборник задач разбит на параграфы:
1. Треугольник.
2. Равнобедренный треугольник.
3. Прямоугольный треугольник.
4. Трапеция.
5. Параллелограмм и его виды. Многоугольники.
6. Окружность и круг.
Предлагаемые задачи в определенной части отвечают уровню требований ЕГЭ.
По условиям “Фестиваля” нет возможности показать весь сборник, который, кстати, вырос до сборника задач и по стереометрии, и поэтому вынужден представить только фрагменты задачника, ряд параграфов. Задачи имеют до 6 вариантов числовых данных.
§1. Треугольник . Содержит около 300 задач, которые разбиты на пункты:
1.1.Теорема косинусов.
1.2. Теорема синусов.
1.3. Медиана.
1.4. Биссектриса.
1.5. Высота.
§2. Равнобедренный треугольник. Содержит около 300 задач, которые разбиты на пункты:
2.1.Теорема косинусов.
2.2. Теорема синусов.
2.3. Медиана.
2.4. Биссектриса.
2.5. Высота.
§3. Прямоугольный треугольник. Содержит около 200 задач, которые разбиты на пункты:
3.1.Решение прямоугольного треугольника.
3.2. Медиана.
3.3. Биссектриса.
4.4. Высота.
4.5. Площадь.
4.6. Вписанные и описанные треугольники.
4.7. Расстояние между замечательными точками.
4.8. Разное.
§4. Трапеция. Содержит более 400 задач, которые разбиты на пункты:
4.1.Трапеция (общий случай).
4.2. Равнобедренная трапеция.
4.3. Прямоугольная трапеция.
4.4. Трапеция, описанная около окружности.
1) общий случай;
2) равнобедренная;
3) прямоугольная4.5. Окружность, описанная около трапеции.
4.6. Разное.
§5. Параллелограмм и его виды. Шестиугольник. Произвольный четырехугольник. Содержит около 200 задач, которые разбиты на пункты:
5.1.Параллелограмм.
5.2.Ромб.
5.3. Прямоугольник
5.4. Квадрат
5.5. Шестиугольник
5.6. Произвольный четырехугольник
§1.Треугольник.
1.3.02. Известны длины трех сторон треугольника. Найти длину одной из медиан:
1.3.04. Известны длины двух медиан и сторона треугольника, найти длины двух других сторон:
1.3.06. Найти стороны треугольника, если известны длины его медиан:
1.3.08. Две стороны треугольника равны а и в. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника:
1.3.09. Известны длины двух сторон и величина угла между ним. Найти длину медианы, проведенной к третьей стороне:
1.3.12. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон.
1.3.13. В параллелограмме известны длины смежных сторон и одна из диагоналей. Найти длину другой диагонали:
1.3.14. Определить вид треугольника, если известны длины его медиан:
1.3.16. Найти площадь треугольника А1В1С, где АА1 и ВВ1 - медианы треугольника АВС:
1.3.20. Найти площадь треугольника АВО, где О - точка пересечения медиан треугольника АВС, если.
1.3.23. Найти площадь треугольника, если известны длины двух сторон и медианы, проведенной к одной из известных сторон:
1.4.02. В треугольнике АВС с острым углом С СА=в, СВ=а, СК-биссектриса. Расстояние от точки К до сторон равно d. Найти АВ:
1.4.03. Известны длины сторон треугольника АВС. Найти длину одной из биссектрис:
1.4.04. Найти расстояния между точками А1 и С1, если АА1 и СС1 - биссектрисы углов треугольника АВС, причем стороны треугольника известны:
1.4.05. В треугольнике известны длины двух его сторон и биссектриса угла между ними. Найти длину третьей стороны:
1.4.06. В каком отношении делится биссектриса АA1 треугольника АВС точкой пересечения биссектрис, если известны длины всех сторон треугольника:
1.4.08. Найти расстояние от вершины А треугольника АВС до центра вписанной в треугольник окружности, если известны длины всех сторон треугольника:
1.4.10. Две биссектрисы в треугольнике делятся в точке пересеченияи
(считая от вершины). Найти в каком отношении делится точкой пересечения третья биссектриса:
1.4.11. Найти площадь треугольника, если известны длины двух его сторон и биссектриса угла между ними:1.5.04. Найти площадь треугольника, высоты которого известны.
1.5.06. Определить вид треугольника, если известны длины его высот
1.6.06. Известны длины сторон треугольника. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами:
1.6.11. Найти площадь треугольника, если известны радиус вписанной окружности r, отрезки m и n, на которые делится одна из сторон точкой касания.
1.6.16. В треугольнике известны длины его сторон – с, а, в (в - наибольшая сторона). Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и медианой, проведенными к большей стороне.1.7.02. Стороны треугольника равны а, в, с. Найти произведение радиусов вписанной и описанной окружностей.
1.7.07. Найти расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС до высоты, проведенной из вершины С.
1.7.08. В треугольник со сторонами а, в, с, вписана окружность. Точки касания делят стороны треугольника на две части. Найти длины полученных отрезков.
1.7.13. В треугольник вписана окружность с радиусом r. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых m, n. Найти площадь треугольника.
§3. Прямоугольный треугольник.
3.1.13. Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника взята точка, удаленная от катетов на расстояния m и n, а от гипотенузы – на расстояние d. Вычислить длины катетов треугольника.
3.1.15. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен P, разбит высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен P1. Найти периметр другого треугольника.
3.2.01. В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны ma, mв. Вычислить длину гипотенузы:
3.2.02. В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны ma и mв. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна гипотенузе треугольника.
3.2.03. Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, относятся как m:n. Найти углы треугольника.
3.2.04. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами Р1 и Р2. Найти стороны треугольника.
3.2.05. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от катетов на расстояния соответственно m и n. Найти расстояние от этой точки до гипотенузы.
3.3.02. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки n и m. Найти катеты этого треугольника.
3.3.03. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки m и n. Найти эту биссектрису.
3.3.05. В прямоугольном треугольнике АВС, угол С-прямой, известны катет СВ=а и биссектриса ВВ1=lB. Найти гипотенузу и другой катет:
3.4.02. В треугольнике известны длины высот ha, hc, hв. Доказать, что треугольник прямоугольный и найти его площадь:
3.5.05. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на части в отношении m:n. Найти длины сторон этого треугольника, если известна его площадь S:
3.6.10. Найти катеты прямоугольного треугольника, если известны радиус вписанной и описанной окружности:
3.6.11. Найти площадь прямоугольного треугольника, если известны радиус вписанной и описанной окружностей:
3.7.06. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов а, в. Найти расстояние между точкой пересечения медиан и центром вписанной окружности.
§4.Трапеция.
4.1.04. Найдите высоту трапеции с основаниями а и в и диагоналями d1 и d2.
4.1.06. Доказать, что диагонали трапеции перпендикулярны, если известны длины оснований а и в, диагонали d1 и d2.
4.1.22. Основания трапеции равны а и в, а боковые стороны - c и d. Найти площадь трапеции.
4.1.23. Длины параллельных сторон трапеции равны а и в (а>в). Площадь ее равна S. На каком расстоянии от меньшей из параллельных сторон проходит линия, параллельная ей и делящая площадь трапеции на две части в отношении m:n?
4.1.25. Основания трапеции равны а и в (а>в). Определите, как относятся площади частей, на которые трапеция делится средней линией.
4.1.27. Средняя линия трапеции равна l и делит площадь трапеции в отношении m:n. Найти длины оснований этой трапеции.
4.1.34. В трапеции основания равны а и в, а одна из диагоналей перпендикулярна основаниям. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников, на которые трапеция разбивается этой диагональю.
4.2.09. В равнобедренной трапеции ABCD точка О – середина меньшего основания ВС; ОА — биссектриса угла А. Найти меньшее основание, если AD = а, а ее высота равна h.
4.2.10. Диагональ равнобочной трапеции, равная d, перпендикулярна боковой стороне. Найти меньшее основание трапеции, если ее большее основание равно a.
4.2.12. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание равно в, периметр равен Р. Найти площадь трапеции
4.2.15. В равнобедренной трапеции средняя линия равна l, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
4.3.01. В прямоугольной трапеции средняя линия равна l. Меньшая диагональ является биссектрисой тупого угла и имеет длину d. Найти стороны трапеции.
4.3.03. В прямоугольной трапеции большая диагональ, имеющая длину d, является биссектрисой острого угла. Найти стороны трапеции, если расстояние от вершины тупого угла до диагонали равно h0.
4.4.01. Длины боковых сторон трапеции равны c и d. В трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на части, отношение площадей которых равно. Найти длины оснований трапеции.
4.4.03. Разность длин оснований трапеции равна a-в, длины боковых стороны равны c и d. Вычислить площадь трапеции при условии, что в эту трапецию можно вписать окружность.
4.4.09. В равнобочную трапецию с меньшим основанием в и диагональю d вписана окружность. Найти радиус.
4.4.20. В равнобедренную трапецию, верхнее основание которой равно в, вписана окружность радиуса r. Найти площадь трапеции.
4.4.21. Около окружности описана равнобочная трапеция, основания которой, равны а и в. Найти расстояние между точками касания боковых сторон трапеции и окружности.
4.4.24. Около окружности радиуса r описана равнобочная трапеция. Расстояние между точками касания боковых сторон равно d. Найти площадь трапеции.
4.4.31. Около круга радиуса r описана равнобочная трапеция с площадью S. Найти длины сторон трапеции.
4.4.37. Около круга радиуса r описана равнобочная трапеция, у которой основания относятся как m:n. Определить стороны трапеции.
4.4.38. В равнобочной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно k. Найти углы трапеции и допустимые значения k.
4.4.42. Трапеция имеет два прямых угла и описана около окружности. Найти ее боковые стороны, если основания равны а и в.
4.4.45. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой стороны на расстояния m и n. Вычислить длину средней линии трапеции.
4.5.06. В равнобедренной трапеции даны длины оснований а и в, длина высоты h. Найти радиус описанной окружности.
4.5.12. Основания трапеции равны а и в. Найти ее площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг нее можно описать окружность.
Рейтинговая оценка
Более 10 лет в работе использую так называемую рейтинговую оценку. Каждая тема начинается с нуля и в процессе изучения темы учащийся получает различные оценки и после каждой оценки какого-либо одноклассника получает свою рейтинговую оценку. Оценка состоит из трех частей:
1) самостоятельные работы; 2) ответы у доски; 3) решение дополнительных заданий.
Части не равноценные – больший вклад в общую оценку за самостоятельными работами, далее - ответы у доски, а затем - решение дополнительных заданий.
1) За самостоятельные работы ставится дробная оценка “5+”,“5”,”5-“,”4+”,”4”,”4-“,”3+”,”3”,”3-“,”2+”,”2”,”2-“. За (+) или (-) прибавляется или вычитается 0,3 балла. Если ученика оценка не устраивает, то он может правильным решением дополнительных заданий в рамках этой самостоятельной работы изменить ее, но максимум до ”4+”; если ученик не выполнял работу, то ставится “0”, в дальнейшем ученик работу должен выполнить даже если учащийся болел ;
2) ответы у доски, решение заданий дополнительных на уроке и т.п. ставится как обычно, но оценку изменять нельзя;
3) решение дополнительных заданий, ученики сдают решения различных заданий по изучаемой теме; задания выбирают из различных современных задачников, из задачников составленных учителем: задачи по планиметрии, стереометрии, задания с параметром, вся тема производная, первообразная и интеграл, комплексные числа, уравнения высших степеней, метод координат в пространстве, метод математической индукции и ряд других. В зависимости от сложности балл ставится за 1,2,3,4 правильно решенных заданий. В этой части учащийся волен формировать оценку за тему, ребята приносят десятками решенные задачи; воспитывается воля, самостоятельность. Минус для учителя – много время на проверку.
Составлена программа на языке BASIC. В зависимости от результирующей оценки формируется средний балл (но это не механическое сложение, а идет учет роста или падения величины отметки, отставание или опережение от среднего значения по части оценки и т.п.) и фамилии учеников выводятся на экран монитора в зависимости оценки (от большего к меньшему). Среди учащихся идет здоровая конкуренция. Интересно наблюдать класс перед уроком алгебры или геометрии: учащиеся буквально покрывают классные доски решениями различных дополнительных заданий (за 1-2 задания - оценка у доски) и затем на уроке идет разбор решений.