Урок по теме "Решение уравнений"

Цели:

1. Развитие интереса к математике.
2. Знакомство с основными методами решения уравнений с одной переменной.

План

1. Целое уравнение. Степень уравнения.
2. Методы решения уравнений.

• уравнение 1 степени:
• уравнение 2 степени:
• уравнение 3 и 4 степени

а) метод разложения на множители;
б) метод введения новой переменной;
в) рассмотри уравнение как квадратное;
г) графический метод.

1. Перед нами стоит задача: рассмотреть методы решения уравнений 3 и 4-й степени. Сначала договоримся, что мы будем понимать под степенью уравнения.

Рассмотрим уравнения:







Как вы думаете, какой степени будет каждое из уравнений?

(В первых четырех уравнениях степень определяют правильно, а пятое уравнение считают уравнением 6-й степени).

Мы видим, что последнее уравнение отличается от предыдущих тем, что у тех справа 0, а здесь .

Поэтому нужно привести это уравнение к виду Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.



– уравнение пятой степени.

Таким образом, под степенью уравнения Р(х) = 0 мы будем понимать степень многочлена стандартного вида Р(х), т.е. наибольший показатель степени входящей в него переменной.

2. Рассмотрим решение уравнений разных степеней.

1. Любое уравнение первой степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, причем .

Значит .

Уравнение имеет 1 корень.

2. Любое уравнение 2 степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, . Это хорошо известное нам квадратное уравнение. Мы знаем, что корни этого уравнения можно вычислить по формуле

, где .

Т.о. уравнения 1 и 2-й степени мы можем решать с помощью формул.

3. Любое уравнение 3-й степени мы можем привести к виду:

4. Уравнение 4-й степени – к виду: .

Для этих уравнений тоже существуют формулы для вычисления корней, но они очень сложные, а вот для уравнений 5 и 6 степени таких формул вообще не существует. Поэтому встает вопрос о решении таких уравнений каким-то другим способом, без применения формул корней.

Попытаемся найти эти “ключики” к решению.

а) Рассмотрим уравнение

Как бы вы начали решать это уравнение?

Разложить многочлен в левой части на множители

Произведение = 0, если хотя бы один из множителей = 0, т.е.

Значит уравнение имеет 3 корня: -6; 0; 6.

А теперь внимательно посмотрим на такое уравнение: .

В этом уравнении также можно левую часть разложить на множители, используя способ группировки.

Ответ: –1; 1; 8.

Как же можно назвать метод решения этих уравнений?

(Метод разложения на множители)

б) Дано уравнение:

Ваши предложения по его решению?

(Предлагают раскрыть скобки).

Найти решение такого уравнения довольно сложно.

Каковы особенности данного уравнения?

(выражение встречается в уравнении дважды: во 2-й и 1-й степени, т.е. уравнение похоже на квадратное).

Обозначим .

Получим новое уравнение:

Значит, выражение может принимать значения 36 или –6.

Значит, исходное уравнение имеет четыре корня: – 4; 2; 3; 9.

(Что мы сделали для решения?)

(Ввели новую переменную).

Поэтому этот метод и назовем метод введения новой переменной.

Метод введения новой переменной можно применять для многих типов уравнений.

Например:

Найдем корни этого уравнения, а дальше решение аналогично предыдущему.

Введение новой переменной позволяет решать и такие трехчленные уравнения:

На какое известное уравнение похоже данное? (на квадратное, относительно )

Такие уравнения называются биквадратными.

Обозначим . Получаем уравнение

Например:

Значит:

Ответ: –1; 1; ;

Вообще, многие уравнения можно свести к квадратным, даже если они на квадратные совсем не похожи.

Например:

– уравнение корней не имеет.

в) Можно выделить целую группу уравнений, которые ни одним из рассмотренных методов не решаются.

И тогда на помощь приходят графики.

Рассмотрим уравнение

В правой части хорошо знакомая квадратичная функция; слева – функция вида , графики которой умеем строить.

Решить уравнение значит найти такие значения x, при которых значения этих функций будут равны, т.е. нужно найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

Графики имеют одну точку пересечения, значит уравнение имеет один корень.

Графический способ позволяет найти приближенные значения корней.

Конечно же, мы рассмотрели далеко не все методы решения уравнений, а их существует множество.