Изучение способностей к усвоению математики у младших подростков представляет теоретический и практический интерес. Изучение математических способностей школьников и условий их развития весьма важно для практики школьного обучения. Математика - один из основных предметов школьного курса, приобретающий особое значение в связи с гигантским техническим прогрессом.
Индивидуально-психологические особенности ребенка обуславливают успешность его обучения в школе. Каждый нормальный и здоровый школьник способен получить среднее образование, но далеко не каждый способен быстро и глубоко овладеть знаниями, навыками и умениями в области того или иного учебного предмета, достигнуть особых успехов при его изучении. Один, изучая математику, добивается высоких результатов без особой затраты сил и труда, другой же, при максимальном старании не может подняться выше среднего уровня овладения предметом. В этом смысле принято говорить о более способных и менее способных детях.
Но, успех в учении, в овладении знаниями, умениями и навыками, формируется не только на основе способностей школьников, но и во многом определяется содержанием и методами обучения. В связи с этим, низкая успеваемость по математике сама по себе не всегда может служить показателем низкого уровня способностей. С другой стороны, если одинаковая методика обучения, одинаковые упражнения дают при прочих равных условиях различный результат, то это может свидетельствовать о различиях в способностях учащихся [4].
Одним из инициаторов изучения математических способностей школьников был выдающийся французский математик А. Пуанкаре. Он констатировал специфичность творческих математических способностей и выделил их важнейший компонент - математическую интуицию. С этого времени началось изучение этой проблемы. Впоследствии психологи выделили три вида математических способностей - арифметические, алгебраические и геометрические. При этом оставался неразрешимым вопрос о наличии математических способностей.
В свою очередь, исследователи В. Хаекер и Т. Циген выделили четыре основных сложных компонента: пространственный, логический, числовой, символический, являющихся “ядром” математических способностей. В этих компонентах они различали понимание, запоминание, оперирование.
Наряду с основным компонентом математического мышления – способностью к избирательному мышлению, к дедуктивному рассуждению в числовой и символической сферах, способностью к абстрактному мышлению, А. Блекуэлл выделяет еще и способность к манипулированию пространственными объектами. Также он отмечает вербальную способность и способность сохранять в памяти данные в их точном и строгом порядке и значении.
Особого внимания заслуживает опубликованный в 20-х годах ХХ-го столетия ряд исследований по проблеме математических способностей, выполненных крупнейшим американским психологом Э. Торндайком. Значительная часть их представляет интерес и сегодня. В книге, которая в оригинале названа “Психология алгебры”, Э. Торндайк формулирует сначала общие математические способности: умение обращаться с символами, выбирать и устанавливать соотношения, обобщать и систематизировать, определенным образом выбирать существенные элементы и данные, приводить в систему идеи и навыки. Он выделяет также специальные алгебраические способности: возможность понимать и составлять формулы, выражать в виде формулы количественные соотношения, преобразовывать формулы, составлять уравнения, выражающие данные количественные отношения, решать уравнения, выполнять тождественные алгебраические преобразования, графически выражать функциональную зависимость двух величин и т.д. [5].
Одно из самых значительных со времени выхода работ Э. Торндайка исследований математических способностей принадлежит шведскому психологу И. Верделину. Он дает весьма широкое определение математических способностей, в котором отражает репродуктивный и продуктивный аспекты, понимание и применение, но основное внимание он уделяет важнейшему из этих аспектов – продуктивному, который исследует в процессе решения задач. Ученый полагает, что на характере математических способностей может сказываться метод обучения.
Крупнейший швейцарский психолог Ж. Пиаже придавал большое значение мыслительным операциям, выделяя в онтогенетическом развитии интеллекта стадию мало формализированных конкретных операций, связанных с конкретными данными, и стадию обобщенных формализированных операций, когда организуются операторные структуры. Он соотносил последние с тремя фундаментальными математическими структурами, которые выделены Н. Бурбаки: алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Ж. Пиаже обнаруживает все типы этих структур в развитии арифметических и геометрических операций в сознании ребенка и в особенностях логических операций. Отсюда делается вывод о необходимости синтеза математических структур и операторных структур мышления в процессе преподавания математики.
В отечественной психологии исследованием проблемы математических способностей занимался В.А. Крутецкий. В своей книге “Психология математических способностей школьников” он приводит следующую общую схему структуры математических способностей школьников. Во-первых, получение математической информации - способность к формализированному восприятию математического материала, схватыванию структуры задачи. Во-вторых, переработка математической информации - способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики, способность мыслить математическими символами, способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий, способность к свертыванию процесса математических рассуждений и системы соответствующих действий, способность мыслить свернутыми структурами. Также необходима гибкость мыслительных процессов в математической деятельности, стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений. Существенную роль играет тут способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении). В-третьих, хранение математической информации - математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним). И, наконец, общий синтетический компонент - математическая направленность ума [2].
Все приведенные выше исследования позволяют утверждать, что фактор общих математических рассуждений лежит в основе общих умственных способностей, и математические способности имеют общеинтеллектуальную основу.
Полагаясь на выше изложенное, можно предположить, что принятая сегодня пятибалльная система оценки знаний учащегося не в полной мере раскрывает уровень его математических способностей и уровень успеваемости по математике.
Согласно программе для школ с углубленным изучением математики, школьник может начать изучение математики как с 8-го, так и с 10-го класса. Обычно классы в основном формируются на первом этапе, после 7-ого класса.
При создании таких классов перед учителем математики и администрацией школы встает ряд вопросов: кто окажется в таком классе; как наиболее объективно выявить математические способности и интеллектуальные возможности ученика; как свести к минимуму попадание в такой класс “случайных” учеников.
С. Кожухов считает одной из оптимальных форм отбора учащихся в класс с углубленным изучением математики – задания в тестовой форме, нацеленные на диагностику умственного развития ребенка. В своей статье “Как провести отбор учащихся в класс с углубленным изучением математики” он предлагает два из них: тест интеллекта и тест достижений. Основой первого является форма задания: испытуемые должны выявить некоторые закономерности, и этот тест должен дать представление о структуре интеллекта и способностях учащегося. Основой второго теста является содержание задания в области математики. Однако автор замечает, что нельзя идеализировать тестовую методику ни как средство диагностики, ни как средство контроля [1].
Необходимо учитывать и ряд других факторов: уровень мотивации, мнение учителей, конкурсный отбор, собеседование и др. Хотя важно отметить, что данные тесты в системном анализе подтвердили общую тенденцию развития математических способностей семиклассников.
Таблица 1.
Уровень выполнения теста интеллекта [1] (май).
Класс |
Ниже среднего |
Средний |
Выше среднего |
Высокий |
7”А” |
----- |
3,1% |
18,7% |
78,2% |
7”Б” |
----- |
7,4% |
33,3% |
59,3% |
7”В” |
6,9% |
----- |
48,3% |
44,8% |
Таблица 2.
Уровень выполнения теста достижений [1] (май).
7”А” |
21,9% |
18,8% |
28,1% |
31,2% |
7”Б” |
33,3% |
29,6% |
14,8% |
22,3% |
7”В” |
13,8% |
17,2% |
20,7% |
48,3% |
На мой взгляд, важно проанализировать уровень математических способностей, овладения знаниями, навыками и умениями в области математики каждого ученика 7-го класса в течение учебного года. Системный анализ, по моему мнению, должен состоять из следующих компонентов: общая годовая балльная оценка по математике, тестирование психолога, сравнительный анализ полугодовой и годовой контрольных работ, тестирование в конце года на уровень интеллекта и уровень достижений по математике, тестирование уровня мотивации.
С этой целью мною было сделано следующее. Все письменные тесты и работы, математические диктанты по всем темам алгебры и геометрии, кроме обычной оценки оценивались в баллах. Каждому заданию присваивался один балл. Например, в письменном тесте на повторение 6-го класса было всего 15 заданий. Следовательно, максимально можно было получить 15 баллов. Оценка “пять” обычно ставилась мною за максимальное количество баллов, в некоторых случаях за “–0, 5” балла от максимума. Оценка “четыре” уже ставилась за 11-14 баллов, т.е. за более чем две трети правильно выполненных заданий. Оценка “три” – за 8-10 баллов, т.е. за более чем половину верно сделанной работы.
В отдельную таблицу я записывала баллы каждого учащегося 7-х классов по всем текущим работам за год. Из чего сложилась годовая балльная оценка по алгебре, по геометрии и общая. А далее просматривалась уже картина успеваемости по математике. К примеру, общий максимальный результат учащихся был равен 241 баллу. Ребята, набравшие более 200 баллов, имели ярко выраженные математические способности и обладали устойчивыми навыками; от 170 до 200 баллов набрали учащиеся с четкой математической мотивацией и хорошими навыками. Здесь необходимо заметить так называемый “балл отсутствия”. Дети, пропускавшие много работ по болезни, выполняли их позже по желанию.
Три раза за год (в начале октября, в конце декабря и в мае) все 7-е классы тестировались психологом на уровень математических способностей. Предлагались три различных теста: на числовые ряды, на логику математических рассуждений и на пространственное воображение. На каждом этапе опроса уровень сложности тестов возрастал. В таблицах представлены результаты тестирования. Очевидно, что способности не являются постоянными и неизменными, они формируются, развиваются, совершенствуются в процессе упражнения, в процессе приобретения знаний, умений и навыков. Связь и взаимовлияние умений и способностей велика.
Таблица 3.
Уровень выполнения математических заданий, выполненных учащимися 7-х классов (октябрь – 1-й опрос)
Класс |
Ниже среднего |
Средний |
Выше среднего |
Высокий |
7 “А” |
8% |
33% |
48% |
11% |
7 “Б” |
32% |
25, 5% |
28% |
14, 5% |
7 “В” |
9, 25% |
40% |
41, 5% |
9, 25% |
Таблица 4.
(декабрь – 2-й опрос)
7”А” |
6% |
34% |
49% |
11% |
7”Б” |
21% |
30,5% |
34% |
14,5% |
7”В” |
7% |
41% |
42% |
10% |
Таблица 5.
(май – 3-й опрос).
7”А” |
------ |
8% |
25% |
67% |
7”Б” |
18% |
28,5% |
25% |
28,5% |
7”В” |
14% |
17% |
24% |
45% |
Хочу отметить следующее. В общую годовую балльную оценку я намеренно не включала оценки за контрольные работы, (тематические, полугодовую и годовую). Некоторые дети от одних слов “контрольная работа” теряются и не в полной мере проявляют свои способности. Это подтверждается анализом полугодовых и годовых контрольных работ в течение нескольких лет. Сравнительный анализ контрольных работ делался отдельно, но в общей системе.
С другой стороны, достаточное количество тематических тестов, самостоятельных работ, насыщенных заданиями и ограниченных по времени, тренируют и психологически подготавливают учащегося 7-ого класса к конкурсной контрольной работе.
В своей статье В. Е. Корчевский отметил, что тестовый контроль при грамотном использовании является одним из инструментов управления учебным процессом, позволяет определять достижение каждым учащимся обязательного уровня овладения учебным материалом, а также его готовности к дальнейшему изучению последующих разделов программы по математике. Большое разнообразие видов тестовых заданий дает возможность преподавателю выявить результаты усвоения школьниками разных компонентов содержания математического образования, контролировать уровень овладения различными видами учебной деятельности, способность воспроизводить и творчески применять знания [3].
Определение уровня мотивации проводилось мною два раза: в начале и в конце учебного года. В мае проводился тест, в который были включены три группы вопросов: отношение к математике; непосредственная активная деятельность; способность (сформированность) самостоятельности и ответственности.
Структура теста также позволяет выявить фронтальную принадлежность (к положительной или отрицательной области шкалы), которую можно увидеть, построив диаграмму по меткам испытуемого в средней части таблицы.
Таблица 6.
Уровень мотивации к изучению
математики учащихся 7-х классов
(май).
Класс |
Ниже среднего |
Средний |
Выше среднего |
Высокий |
7 “А” |
--- |
5% |
15% |
80% |
7 “Б” |
9% |
15% |
36% |
40% |
7 “В” |
3% |
8% |
32% |
57% |
В заключение еще раз подчеркну, что системный подход в оценке математических способностей, знаний, умений и навыков семиклассников, наиболее адекватно выявляет учащихся, которые хотят и могут углубленно изучать математику в старших классах.
Цитируемая и используемая литература
1. Кожухов С. Как провести отбор учащихся в класс с углубленным изучением математики // Математика в школе, N4, 2000.
2. Крутецкий В.А. Опыт анализа способностей к усвоению математики у школьников // Вопросы психологии , N1, 1959.
3. Корчевский В.Е. Тестовый метод оценки математических знаний и умений учащихся // Школьные технологии, N3, 1999.
4. Метельский Н. В. Психолого-педагогические основы дидактики математики, Мн., “Вышэйш. Школа”, 1977.
5. Торндайк Э. Л. Вопросы преподавания алгебры, М., 1934.