Методические основы формирования общих интеллектуальных умений при обучении математике

Разделы: Математика

Учебная деятельность учащихся есть единство знаний и действий, направленных на их получение и использование. Чтобы сформировать полноценную учебную деятельность, недостаточно выработать у учащихся систему знаний о предмете, они должны овладеть способами умственных действий для применения этих знаний.
Исследования ведущих психологов Е.Н. Кабановой-Меллер, Н.Ф. Талызиной, Л.М. Фридмана, И.С. Якиманской показывают, что, начиная работу над школьным предметом (в нашем случае это математика), важно выделить те умения, которые необходимо сформировать, раскрыть их содержание и разработать четкие методики формирования их на материале этого предмета.
В данной статье рассматриваются методические основы формирования общих интеллектуальных умений, сформированность которых необходима в процессе обучения математике. Каждая группа общих интеллектуальных умений (логические умения, эвристические умения и речевые умения) обладает определенными особенностями (структурой, свойствами), обуславливающими объективные требования к тому, как надо их формировать. В педагогической психологии и дидактике показано, что в процессе формирования общих интеллектуальных умений у учащихся необходимы такие этапы:

- введение приема;
- отработка умения;
- применение умения;
- обобщение и обучение переносу на формирование новых умений и некоторые другие этапы.

На основе теоретических положений и опытно-экспериментальной работы по формированию у учащихся общих интеллектуальных умений при обучении математике выделены этапы формирования общих интеллектуальных умений:

- диагностика;
- постановка целей;
- введение приема, инструктаж;
- отработка умения;
- оперативный контроль;
- применение умения;
- обобщение и обучение переносу.

На каждом из названных этапов используются определенные методы обучения. Так, на этапе “введение приема, инструктаж” применяются словесно-индуктивный, объяснительно-иллюстративный, наглядные и практические методы. Этапу отработки умения соответствуют репродуктивные методы, практические и самостоятельные работы. При осуществлении оперативного контроля целесообразно организовывать также самостоятельную и практическую работы, использовать методы контроля и диагностики. Когда речь идет о применении умения, то применяются объяснительно-иллюстративный, проблемный методы, метод дедуктивного воспроизведения, самостоятельная работа, частично-поисковые и исследовательские методы. Те же методы работают и при обучении переносу.
Учебной деятельности на каждом из этапов формирования общих интеллектуальных умений присущи характерные ей свойства. На этапах диагностики и постановки целей - это мотивы учебной деятельности. На этапе введения приема - знание о способах учебной деятельности. На этапе отработки умения происходит овладение умением, которое на этапе оперативного контроля перерастает в овладение навыком.
При формировании общих интеллектуальных умений качества знаний претерпевают существенные изменения и углубления. Методическая схема формирования общих интеллектуальных умений на математическом материале в основной школе представлена в таблице.
В таблице указаны методы обучения, наиболее характерные для этапов формирования интеллектуальных умений. Справа в столбцах раскрываются свойства учебной деятельности и качества формируемых умений.

МЕТОДИЧЕСКАЯ СХЕМА ФОРМИРОВАНИЯ НА МАТЕМАТИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ
ОБЩИХ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ УМЕНИЙ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Такая методическая схема диктуется закономерностями формирования знаний, умений и навыков, учащихся на математическом материале. Следует отметить, что в практике обучения перечисленные этапы взаимодействуют не только в указанной последовательности, не отделены четко друг от друга, а переплетаются в различных сочетаниях. Так, этап “применение умения” имеет место и при “отработке”, и при “оперативном контроле”, при введении или закреплении одних умений происходит обобщение и перенос других и т.д.
Основу методики формирования у школьников общих интеллектуальных умений на математическом материале составляют принципы, разработанные на основе ряда психолого-педагогических исследований по развивающему обучению школьников (Л.С. Выгодский, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин, Д.Э. Зак и. др.):

- органическая связь с собственно математическим содержанием;
- минимальное привлечение специального аппарата и терминологии;
- выявление особенностей математического словоупотребления;
- постепенное повышение уровня абстрактности учебного материала;
- предъявление учебного материала в качестве материала для наблюдений, размышлений и манипулирования;
- создание учащимся условий для осознания своих действий;
- показ общей значимости интеллектуальных умений формируемых на математическом материале;
- параллельное и взаимодополняющее развитие дискурсивных и интуитивных компонентов мышления.

Перечисленные принципы учитывают специфику математического материала, особенности терминологического аппарата, способы использования учебного материала и различные формы его предъявления учащимся. Кроме того, в принципах учитывается возможное влияние математического материала на мотивацию деятельности учащихся и ее осознание (рефлексия).
Анализ современного курса математики, а также исследований, проведенных на его содержании, показывает, что действующий курс имеет достаточно оснований для формирования общих интеллектуальных умений у школьников.
Действующий курс математики предполагает овладение широким понятийным аппаратом, при усвоении которого школьники знакомятся с различными логическими структурами определений, учатся подводить объект под понятие, применять определения в процессе рассуждений. Теоретический и практический материал курса в силу своей компактности, информативности предоставляет возможности школьникам быстрее и с меньшими трудностями проследить процесс обобщения понятий. Несложность алгебраических структур - формул, законов, свойств, выраженных в символической форме, позволяет приводить конкретные примеры и использовать в своих рассуждениях примеры и контрпримеры.
Курс математики содержит в себе богатые возможности для выявления закономерностей, что позволяет формулировать гипотезы и намечать пути решения задач. Курс математики насыщен текстовыми задачами и в последнее время дополнен задачами развивающего характера, решение которых способствует формированию интеллектуальных умений эвристического характера.
Использование символического языка, преимущества которого по сравнению с естественным языком - однозначность и абстрактность, чем обеспечивается точность представления смысла и возможность совершать формальный переход от одного выражения к другому, не обращаясь к семантике символов, позволяет формировать такие качества речи школьника, как логичность, точность, последовательность и др.
Отдельные элементы и этапы методики формирования общих интеллектуальных умений (явно или неявно) рассматриваются в ряде психолого-педагогических и методических работ, присутствуют в практике обучения. Так, например, учителя используют анализ устных ответов и письменных работ учащихся, беседы и повседневное наблюдение за их учебной деятельностью для диагностики и последующего формирования интеллектуальных умений. В начале учебного года или четверти, перед изучением того или иного раздела, темы урока или отдельных его этапов, многие учителя ставят перед учащимися задачи, (цели) их учебной деятельности, определяют умения, которые должны быть сформированы.
Анализ раздела программы “Требования к математической подготовке учащихся” показывает, что по большинству тем и вопросов планируемые (и нашедшие отражение в программе) результаты обучения школьников включают в себя интеллектуальные умения. И это естественно для обучения математике, поскольку наряду со знанием фактического материала здесь важно его применение. Более того, как неоднократно подчеркивалось многими учеными-математиками и учеными-методистами, знания в математике тогда имеют значение, когда они представляют собой не простое владение информацией, а умения.
Практика работы школы показывает, что в овладении учащимися умениями имеются недостатки. Наиболее часто отмечается формализм в овладении знаниями. Он проявляется в том, что учащиеся не всегда могут применить воспроизведенные ими правила, теоремы, формулы, являющиеся теоретической основой каких-либо умений для решения конкретной задачи, т.е. они не могут актуализировать знания для выполнения определенных действий.
Например, в десятом классе учащиеся, грамотно формулируя теорему о производной суммы функций, зная формулы для производных элементарных функций (этап “применение умения”), не могут найти производную этих функций.
Значительное число учащихся затрудняется составлять план решения задачи, раскрыть его ход, даже в том случае, когда ими получен правильный результат, т.е. практически задача решена. Это говорит о том, что учащиеся не осознают самого процесса получения верного ответа, способа своей деятельности.
Некоторые учащиеся, выполняя задания по рассмотренному ранее образцу, не справляются с решением подобных заданий, если исходные данные хотя бы незначительно изменены. В этом случае определенные умения ассоциируются у учащихся только с решением какой-либо задачи образца, а методика обучения недостаточно обеспечивает возможность переноса формируемого умения на выполнение несколько отличающейся от образца задачи.
Можно указать несколько причин, объясняющих указанные недостатки при обучении умениям. Одной из основных, относящихся собственно к процессу преподавания, является отсутствие в методике обучения требования обязательного выделения приемов (способов) деятельности, лежащих в основе тех или иных умений, и обязательной ориентировки учащихся на их усвоение.
Организуя работу учащихся по овладению каким-либо умением, учитель не всегда раскрывает перед ними последовательность действий (или операций), составляющих основу той или иной работы, в частности, решения задачи. При самостоятельном (или под руководством учителя) выполнении учащимися упражнений не обращается внимание на сам процесс их выполнения, не всегда обсуждается план и способы решения.
Основным критерием деятельности учащегося является получение верного результата без анализа приведших к нему способов, т.е. основная целевая установка для учащегося при обучении умениям - правильный ответ, а не овладение приемами деятельности.
Проиллюстрируем методику формирования логических умений на примере формирования умения сравнивать объекты по указанному признаку.
Для того, чтобы развивать у школьников умение сравнивать, первым шагом учитель выдвигает цели. Цели ставятся им перед самим собой и перед учениками (в явном или неявном виде). Предлагается получить ответы на следующие вопросы:

- Что такое сравнение?
- На чем основано сравнение?
- Где применимо сравнение? и т.п.

Прежде всего, сравнение - логическое умение, применяемое как в научных исследованиях, так и в обучении, - мысленное установление сходства или различия объектов изучения.
Обучая сравнению, необходимо иметь в виду его принципы:

  • Сравнение должно иметь смысл, т.е. сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с другом. Например, мы можем говорить о сравнении свойств двух функций, но нет смысла сравнивать треугольник и массу тела.
  • Сравнение должно проходить планомерно, т.е. требуется четкое выделение тех свойств, по которым проводится сравнение. Например, сравнение многоугольников может происходить по площади, по периметру и т. д.
  • Сравнение должно быть полным, доведенным до конца.

Сравнение широко применяется в математике не только для изучения математических свойств объекта, но и для установления самих этих свойств. Так, например сравнение является полезным средством для изучения в школе прогрессий, многоугольников, длин отрезков (перпендикуляров и наклонных) и т.д. По ходу диагностики формируются мотивы учебной деятельности.
Этап, следующий за диагностикой и постановкой целей, - введение приема, или инструктаж, который распадается на три подэтапа:

1. Решение упражнений на основании изученной теории, по аналогии с известными задачами.

Например, при изучении формул сокращенного умножения, применяя формулу квадрата разности

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ученик решает пример:

(m – k)2 = m2 – 2mk + k2.

2. Осознание учащимися составляющих действий по решению задачи.

На примере формулы квадрата суммы

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Учитель объясняет решение примера:

(2xy3 + 3x2y4)2.

Решение будет таким:

(2xy3 + 3x2y4)2 = 4x2y6 + 12x3y7 + 9x4y8.

3. Показ образцов применения приема - решение учебных задач, сопровождаемое устными указаниями и советами по использованию приема.
По ходу введения приема новые знания становятся осознанными, приобретают систематичность, конкретность.
Далее следует отработка приема: ученику предлагают задания, близкие по содержанию:

1. Вычислить

f (199), если f (x) = x2 + 2x + 1.

2. Упростить выражение:

(а + b)(а - b)(а2 + ab + b2),
(a2 + а + 1)(a2 - а - 1)(а4 - а2 + 1).

На этом этапе проверяется глубина усвоенных знаний, их полнота и оперативность применения.
Форму контроля можно предложить такую: проводится проверочная работа; по окончании проверочной работы учитель, используя кодоскоп, показывает правильные результаты, а в это время каждый ученик сверяет ответы своего соседа с правильными и ставит оценку; после этого обсуждаются наиболее часто встретившиеся ошибки.
На этапе “применение приема” учитель предлагает ученикам обобщающие задачи, в которых исходное умение является средством для достижения какой-то цели и не сформулировано явно в задании. Например:

1. Найти значение выражения

a4 + a2b2 + b4, если a2 + b2 = k, ab = m.

2. Найти значение выражения

а6 + За2b2 + b6, если а2 + b2 = 1.

Аналогичным образом поставленная работа предполагается при формировании других, указанных выше интеллектуальных умений.
Для учителя, поставившего целью формирование интеллектуальных умений, основной трудностью будет подбор системы упражнений для каждого из указанных этапов.