Урок 1. “Определение линейной функции”
Цели урока: введение понятия линейной функции; отработка навыка распознавания линейной функции по заданной формуле; отработка навыка вычисления значения функции по заданному значению аргумента; формирование графической культуры учащихся.
Ход урока
Учитель. Понятие функции первоначально возникло из решения практических задач. Решим и мы некоторые из них.
Задача 1. Мама купила несколько конфет по цене 5 условных рублей за конфету и одну шоколадку по цене 65 условных рублей. Сколько она заплатила за всю покупку?
Составьте выражение, с помощью которого можно подсчитать стоимость покупки.
Учитель. Как вы думаете, от чего зависит стоимость покупки?
Ученик. От числа покупаемых конфет.
Учитель. Попытаемся теперь составить выражение, по которому можно подсчитать стоимость покупки для любого числа конфет.
Обозначим число конфет через d, а стоимость всей покупки – через n. Получаем, (ученик диктует): n = 5d + 65 (записываем формулу на доске). Переменная d может принимать только целые положительные значения (натуральные; неотрицательные).
Задача 2. На шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км.
Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. На каком расстоянии s (км) от пункта А будет мотоциклист через t часов?
Учитель. От чего зависит расстояние от пункта А до мотоциклиста, если скорость и расстояние АВ постоянны?
Ученик. От времени. Чем дольше едет мотоциклист, тем большее расстояние он проедет от пункта А.
Учитель. Какая формула выражает зависимость расстояния от времени движения? Давайте вспомним общую формулу, знакомую вам из курса физики: s = vt.
Посмотрите на таблицу 2. Давайте разберемся, как получены значения расстояния.
(Кодоскоп.)
Время, ч |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
Расстояние, км |
20 |
70 |
170 |
В момент начала движения (t = 0 (ч)) мотоциклист находился в пункте В, значит, s = 20 км. За 1 ч он отъехал от пункта В на 50 км, следовательно, расстояние s от пункта А до мотоциклиста
s = 20 + 50 = 70 (км).
За три часа мотоциклист отъехал от пункта В на расстояние, равное 150 км (используем формулу s = vt). Значит, расстояние от пункта А до мотоциклиста составит
s = 20 + 150 = 170 (км).
Попробуйте самостоятельно записать формулу, выражающую зависимость расстояния от времени движения.
Ученик. s = 50t + 20.
Учитель. Эта формула справедлива для любого t?
Ученик. Нет, только, если t > 0.
Запись на доске: s = 50t + 20, где t > 0.
Учитель. Обратите внимание на то, что полученная формула позволяет найти s для любого момента времени.
Итак, мы получили две формулы, выражающие совершенно различные факты и явления, но имеющие одинаковую структуру:
y = kx + b,
где k и b – некоторые числа, x – переменная величина.
Можно предположить, что эти факты и явления (и, быть может, многие другие) описываются одной и той же формулой. Функция, с которой мы столкнулись в обеих задачах, называется линейной.
Определение. Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x – не зависимая переменная, k и b – некоторые числа.
Учитель. Рассмотрим частные случаи.
Если b = 0, то формула y = kx + b принимает вид y = kx (k <> 0).
Какая зависимость задается этой формулой?
Ученик. Прямая пропорциональность.
Учитель. Таким образом, прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.
А что получится, если k = 0?
Ученик. Имеем y = 0 * x + b, y = b.
Учитель. Значит, при k = 0 формула y = kx + b принимает вид y = b. Функция, задаваемая этой формулой, является линейной. Она принимает одно и то же значение при любом х.
Давайте выясним, является ли линейной функция, задаваемая следующими формулами (кодоскоп).
1) y = 2x – 3; 3) y = 8x; 5) y = x/2 + 1; 7) y = x 2 – 3; 9) y =5.
2) y = - x + 5; 4) y =7 – 9x; 6) y = 2/(x + 1); 8) y = (10x –5)/5;
Обратите внимание на то, что функции y = 8x и y =5 являются линейными (это частные случаи линейной функции).
А является ли линейной функция y = (5x –1) + (-8x +9) (кодоскоп)? Что нужно сделать прежде, чем ответить на этот вопрос?
Ученик. Упростить правую часть выражения.
Учитель. Выполните преобразования самостоятельно, а потом мы сверим результат.
(Кодоскоп.) y = (5x –1) + (-8x +9),
y = -3x + 8.
Учитель. Является ли эта функция линейной? Предлагаю вам еще два аналогичных задания (кодоскоп): y = 4(x – 3) + (x + 2);
у = 7(8 – x) + (x – 10).
Попробуйте также выполнить следующие задания (кодоскоп).
Задание 1. Линейная функция задана формулой y = 0,5x + 6.
Заполните таблицу:
х |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
у |
Находим у при х = -4, 2, 10 совместно. Закончите работу самостоятельно. Результаты вычислений проверим с помощью кодоскопа.
Аналогично выполняем задание 2. (Это задание можно предложить ученикам выполнить дома.)
Задание 2. Функция задана формулой y = - 3x + 1,5.
Заполните пустые клетки таблицы:
x |
-2 |
-0,5 |
1 |
2,5 |
4 |
7 |
8 |
10 |
18 |
y |
Задание3. Некоторая линейная функция задана формулой y = kx- 1 .
Найдите число k и заполните таблицу.
x |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2 |
y |
0,8 |
Для определения k воспользуемся тем, что при х = 1,2 функция принимает значение y(1,2) = 0,8.
С другой стороны, y(1,2) = k * 1,2 – 1.
Значит, 0,8 = k * 1,2 – 1; 1,2k = 1,8; k = 1,5.
Таким образом, данная функция задана формулой y = 1,5x- 1
Заполним теперь таблицу для х = 0,2; 1; 1,4. Закончить работу по заполнению таблицы дома.
В заключение урока можно предложить самостоятельную работу, направленную на отработку навыка распознавания функции по заданной формуле.
Самостоятельная работа
Задание. Является ли линейной функция, заданная формулой:
Вариант 1.
Функция |
Ответ |
Функция |
Ответ |
1) у = - 3 |
10) у = х3 – 1 |
||
2) у = 8х2 + 5 |
11) у = 4х2 + 3 |
||
3) у = х/15 |
12) у = - х + 15 |
||
4) у = 70 |
13) у = - 8х + 3 |
||
5) у = 5/х + 16 |
14) у = - 5х + 7 |
||
6) у = 7х4 – 3 |
15) у = х |
||
7) у = 8х – 1 |
16) у = - 7/х |
||
8) у = - х/2 + 6 |
17) у = - 0,2х + 3 |
||
9) у = 3/х - 4 |
18) у = 100 |
Вариант 2 (Таблица 7)
Функция |
Ответ |
Функция |
Ответ |
1) у = - 3х – 2 |
10) у = х5 – 15 |
||
2) у = 2х2 + 3 |
11) у = х2 + 16 |
||
3) у = х/3 |
12) у = 7х – 8 |
||
4) у = 250 |
13) у = - 16х + 1 |
||
5) у = 3/х + 8 |
14) у = - 1 |
||
6) у = 6х3 – 15 |
15) у = 10х – 1 |
||
7) у = 7х + 21 |
16) у = - 5/х |
||
8) у = - х/15 + 1 |
17) у = - 0,1х + 1 |
||
9) у = 15/х - 7 |
18) у = 5 |
Задание на дом: № 579, 580 (“Алгебра-7”, Ш.А. Алимов и др., - М., “Просвещение”,
Урок – лабораторная работа. “Расположение графика линейной функции”
Цели урока: дать учащимся фактический материал для формирования гипотезы о зависимости расположения графика линейной функции от знаков коэффициентов k и b и о взаимном расположении графиков функций y = kx и y = kx + b; сформировать умение рисовать эскиз графика линейной функции в зависимости от знаков коэффициентов k и b; продолжить формирование графической и функциональной культуры учащихся.
Замечание. Урок полезно провести в компьютерном классе, используя любую среду, которая позволяет строить графики.
Лабораторная исследовательская работа
“Расположение графика линейной функции”
| k | b | y = kx + b | Схематический вид графика | k | b | y = kx + b | Схематический вид графика |
2 |
3 |
-3 |
2 |
||||
2 |
0 |
-3 |
0 |
||||
3 |
4 |
-3 |
4 |
||||
3 |
0 |
-4 |
0 |
||||
5 |
3 |
-4 |
5 |
||||
4 |
0 |
-2 |
0 |
||||
4 |
-2 |
-2 |
-2 |
||||
6 |
-3 |
-3 |
-5 |
||||
2 |
-5 |
-4 |
-3 |
||||
0 |
3 |
0 |
-5 |
Выводы.
Если k>0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции, с положительным направлением оси Ох ________________________________________ .
Если k<0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции, с положительным направлением оси Ох ________________________________________
Если k = 0, то график линейной функции расположен _____________________ оси Ох.
Если b > 0, то график функции y = kx + b получается сдвигом графика функции y = kx на ______ единиц ______ (вверх/вниз) вдоль оси ______.
Если b < 0, то график функции y = kx + b получается сдвигом графика функции y = kx на ______ единиц ______ (вверх/вниз) вдоль оси ___________.
Таким образом, график функции y = kx + b получается сдвигом графика функции y = kx на ______ единиц вдоль оси ___________.
Тестовая работа
Замечание. Первые два задания можно выполнить устно, а следующие два – предложить на следующем уроке в качестве проверочной работы.
Определите, каким функциям соответствуют графики, изображенные на рисунке.
| Задание 1 | А | Б | В | Г | Д |
| у = х + 2 | |||||
| у = х – 3 | |||||
| у = 3х | |||||
| у = -х + 2 | |||||
| у = -3х – 3 |
(Таблица 16)
| Задание 2 | А | Б | В | Г | Д |
| у = х | |||||
| у = 2х + | |||||
| у = -2х | |||||
| у = -2х + | |||||
| у = 2х – |
| Задание 4 | А | Б | В | Г | Д |
| у = 0,5х | |||||
| у = 2х + | |||||
| у = -х – 2 | |||||
| у = 0,5х + | |||||
| у = -2х – |