Содержание школьного курса математики группируется вокруг нескольких стержневых линий, одной из которых является “Урввнения”. Изучению иррациональных уравнений предшествует выделение понятия равносильности: именно теперь его появление необходимо и требует глубокой проработки.
Важно помнить, что формирование этого понятия будет продолжаться и при изучении последующих тем курса. Теоремы о равносильности уравнений и неравенств в школьном курсе отдельным вопросом не рассматриваются, поэтому очень важно обозначить проблему, показать пути её решения на конкретных примерах, заложить у учащихся потребность “держать на контроле” равносильность при решении уравнений.
Ниже вашему вниманию предлагается урок, разработанный для учащихся 10 класса по данной проблеме.
Урок- проблема “Степенная функция. Равносильные уравнения”.
Цель:
– Рассмотреть возможные результаты при преобразовании исходного уравнения.
– Ввести понятие равносильности уравнений.
Ход урока:
Обозначение проблемы
Софизм: 1) докажем: 4=5
4:4=5:5
4 (1:1)=5 (1:1)
4=5
Вывод: преобразования приводят к ошибочным выводам.
Вопрос: какие преобразования?
Решение проблемы
А.
1. 4х + 8 = 2х + 16 х
![]()
4х – 2х = 16 - 8
2х = 8
х = 4
Ответ: х = 4
2. (а) 4х + 8=2х +16 /
2
0 х
![]()
2х + 4 = х + 8
х = 4
Ответ: х = 4
3. (б) х + 3/4 = х/2 + 5/4 /
4 х
![]()
4х + 3= 2х + 5
2х = 2
х = 1
Ответ: х = 1
4.
= 2х + 5 х
![]()
+ 2х + 1 = 2х + 5
= 4
=
2
Ответ:
= 2;
= -2
6.
(
+ х + 3) = 2 х
![]()
+ х + 3 = 9
+ х – 6 = 0
= 2;
= -3
Ответ:
= 2;
= -3
х =
2 х
0
х =
х
1
х = 1
= 2;
=
Ответ:
= 2;
=
Б.
1.
(х + 1) +
( х + 3 ) = 3
( х + 1 ) ( х + 3 ) = 3
+ 4х – 5 = 3
= 1;
= -5 – посторонний корень
Ответ: х =1
2.
(
+ 1) –
( х + 1) = 1
![]()
= 1
= 3
= 0
( х + 1) (
- х + 1- 3 = 0
х + 1
0
- х – 2 = 0
= 2 ;
= - 1 - посторонний корень
Ответ: х =2
3. а.
(3х + 4) =
( 5х + 8 )
3х + 4 = 5х + 8
х = -2 - посторонний корень
Ответ: нет корней
4.
+ 1 =
![]()
( х-1)
2х -3 + х -1 -6х +
+ 6 = 0
- 3х + 2 = 0
= 2;
= 1 -посторонний корень
Ответ: х = 2
5.
= х -2 х
0
х =
- 4х + 4
- 5х + 4 = 0
= 4;
= 1 – посторонний корень
Ответ: х = 4
В.
1.
((х + 1)
( х + 3)) = 3
Корни:
= 1;
= -5
На уравнение:
( х + 1) +
( х + 3)
один корень х =1
2.
( 2х -1)
![]()
х = 2
( 2х – 1) /
.
( 2х -1)
х = 2
х = 16
Верно:
( 2х -1 )
(
х – 2) = 0
( 2х -1 ) = 0;
х – 2 = 0
2х -1 =1 х =16
х = 1
Ответ:
= 1;
= 16
3.
= 4
Ошибка: 2
х = 4
х = 2
х = 49
Верно:
=
или 2
| х | = 4
=
49
| х | =2
| х | = 49
Ответ:
=
49
4. 4
= 36
2х = 6
= 3;
= -3 - потеря корня
Ответ:
=
3
Всю информацию по равносильным уравнениям можно представить в виде схемы, опорного конспекта.
Рис. 1