Урок-проблема "Степенная функция. Равносильные уравнения"

Содержание школьного курса математики группируется вокруг нескольких стержневых линий, одной из которых является “Урввнения”. Изучению иррациональных уравнений предшествует выделение понятия равносильности: именно теперь его появление необходимо и требует глубокой проработки.

Важно помнить, что формирование этого понятия будет продолжаться и при изучении последующих тем курса. Теоремы о равносильности уравнений и неравенств в школьном курсе отдельным вопросом не рассматриваются, поэтому очень важно обозначить проблему, показать пути её решения на конкретных примерах, заложить у учащихся потребность “держать на контроле” равносильность при решении уравнений.

Ниже вашему вниманию предлагается урок, разработанный для учащихся 10 класса по данной проблеме.

Урок- проблема “Степенная функция. Равносильные уравнения”.

Цель:

– Рассмотреть возможные результаты при преобразовании исходного уравнения.
– Ввести понятие равносильности уравнений.

Ход урока:

 Обозначение проблемы

Софизм: 1) докажем: 4=5

4:4=5:5

4 (1:1)=5 (1:1)

4=5

Вывод: преобразования приводят к ошибочным выводам.

Вопрос: какие преобразования?

Решение проблемы

А.

1. 4х + 8 = 2х + 16 х

4х – 2х = 16 - 8

2х = 8

х = 4

Ответ: х = 4

2. (а) 4х + 8=2х +16 / 2 0 х

2х + 4 = х + 8

х = 4

Ответ: х = 4

3. (б) х + 3/4 = х/2 + 5/4 / 4 х

4х + 3= 2х + 5

2х = 2

х = 1

Ответ: х = 1

4. = 2х + 5 х

+ 2х + 1 = 2х + 5

= 4

= 2

Ответ: = 2; = -2

6. ( + х + 3) = 2 х

+ х + 3 = 9

+ х – 6 = 0

= 2; = -3

Ответ: = 2; = -3

5. х = 2 х0

х = х 1

х = 1

= 2; =

Ответ: = 2; =

Б.

1. (х + 1) + ( х + 3 ) = 3

( х + 1 ) ( х + 3 ) = 3

+ 4х – 5 = 3

= 1; = -5 – посторонний корень

Ответ: х =1

2. ( + 1) – ( х + 1) = 1

= 1

= 3

= 0

( х + 1) ( - х + 1- 3 = 0

х + 1 0

- х – 2 = 0

= 2 ; = - 1 - посторонний корень

Ответ: х =2

3. а. (3х + 4) = ( 5х + 8 )

3х + 4 = 5х + 8

х = -2 - посторонний корень

Ответ: нет корней

4. + 1 = ( х-1)

2х -3 + х -1 -6х + + 6 = 0

- 3х + 2 = 0

= 2; = 1 -посторонний корень

Ответ: х = 2

5. = х -2 х 0

х = - 4х + 4

- 5х + 4 = 0

= 4; = 1 – посторонний корень

Ответ: х = 4

В.

1. ((х + 1)( х + 3)) = 3

Корни: = 1; = -5

На уравнение:

( х + 1) + ( х + 3)

один корень х =1

2. ( 2х -1) х = 2 ( 2х – 1) / . ( 2х -1)

х = 2

х = 16

Верно: ( 2х -1 ) ( х – 2) = 0

( 2х -1 ) = 0; х – 2 = 0

2х -1 =1 х =16

х = 1

Ответ: = 1; = 16

3. = 4

Ошибка: 2 х = 4

х = 2

х = 49

Верно: = или 2 | х | = 4

= 49 | х | =2

| х | = 49

Ответ: = 49

4. 4 = 36

2х = 6

= 3; = -3 - потеря корня

Ответ: = 3

Всю информацию по равносильным уравнениям можно представить в виде схемы, опорного конспекта.

Рис. 1